Fonction monotone
En bref : Une fonction monotone sur un intervalle est une fonction qui ne change jamais de sens de variation sur cet intervalle : soit elle est toujours croissante, soit elle est toujours décroissante.
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Définition : Fonction monotone
Une fonction monotone sur un intervalle \(I\) est une fonction dont le sens de variation reste le même sur tout \(I\). Si elle est croissante, ses images suivent l’ordre des nombres ; si elle est décroissante, elles le renversent.
Cette propriété dépend de l’intervalle choisi. La fonction carré n’est pas monotone sur \(\mathbb{R}\), car elle descend puis remonte, mais elle l’est sur \(]-\infty\,;\,0]\) et sur \([0\,;\,+\infty[\). Une fonction monotone n’a donc pas de sommet ni de creux à l’intérieur de l’intervalle : on peut comparer deux images en comparant simplement les deux nombres de départ.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande si une fonction est toujours croissante ou toujours décroissante sur un intervalle.
- Dans un tableau de variations, il n’y a qu’une seule flèche sur l’intervalle étudié.
- On doit comparer deux images sans les calculer, à partir de l’ordre des nombres de départ.
- La courbe monte (ou descend) sans jamais faire demi-tour.
La méthode
- Choisir l’intervalle d’étude et lire ou établir le tableau de variations de la fonction dessus.
- Vérifier qu’une seule flèche couvre tout l’intervalle ; si le sens change, découper en plusieurs intervalles.
- Pour comparer deux images, placer les deux nombres de départ dans l’ordre, puis appliquer le sens de la flèche.
- Conclure en citant l’intervalle : la propriété n’a de sens que sur celui-ci.
Fonction monotone : exemple corrigé
Énoncé
La fonction \(h\) est définie sur \([-2\,;\,8]\). Elle est croissante sur \([-2\,;\,3]\) et décroissante sur \([3\,;\,8]\). Est-elle monotone sur \([-2\,;\,8]\) ? Sur \([4\,;\,7]\) ? Comparer \(h(5)\) et \(h(6{,}5)\).
Corrigé
Sur \([-2\,;\,8]\), le sens change en \(x=3\) : la fonction n’est pas monotone sur tout l’intervalle.
L’intervalle \([4\,;\,7]\) est entièrement dans la zone décroissante : elle y est monotone. Comme \(5<6{,}5\) et que \(h\) décroît, l’ordre se renverse : \(h(5)>h(6{,}5)\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(f(x)=3x-5\) est-elle monotone sur \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
Oui : le coefficient \(3\) est positif, donc elle est croissante sur tout \(\mathbb{R}\).
Question 2
Sur \(]0\,;\,+\infty[\), la fonction inverse est décroissante. Comparer \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{5}\) à l’aide de cette propriété.
Voir la réponse
Comme \(2<5\) et que l’ordre se renverse, \(\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{5}\), c’est-à-dire \(0{,}5>0{,}2\).
Ne pas confondre Fonction monotone et Extremum
Une fonction monotone sur un intervalle ne présente aucun sommet ni creux à l’intérieur : elle va toujours dans le même sens. Un extremum apparaît précisément là où le sens de variation change. Dire qu’une fonction est monotone, c’est donc affirmer qu’elle n’a pas d’extremum local au milieu de l’intervalle.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction croissante
- Fonction décroissante
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Extremum
- Fonction affine
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