Équations et inéquations en seconde : corrigé des 52 exercices à télécharger en PDF

a) \(f(x) = 4x – 3\) s’annule pour \(4x – 3 = 0\), soit \(x = \frac{3}{4}\). Ensuite, le coefficient \(a = 4\) est positif : \(f(x)\) est négatif avant \(\frac{3}{4}\) et positif après (signe de \(a\) à droite de la racine).

b) \(4x – 3 \gt 0\) correspond à la case « + » du tableau, zéro exclu (inégalité stricte).

a) \(g(x) = -3x – 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{3}\). Ensuite, ici \(a = -3 \lt 0\) : \(g(x)\) est positif avant \(-\frac{1}{3}\) et négatif après.

b) Oui, c’est possible : \(-0{,}502 \lt -\frac{1}{3}\) (car \(-\frac{1}{3} \approx -0{,}333\)). Par ailleurs, le nombre \(-0{,}502\) est dans la zone « + » du tableau, donc \(g(-0{,}502) \gt 0\). (Contrôle : \(g(-0{,}502) = 0{,}506\).)

c) On lit les solutions dans le tableau :

• \(-3x – 1 \leqslant 0\) : zone « − » et zéro inclus, \(S = \left[-\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\) ;
• \(-3x – 1 \gt 0\) : zone « + », zéro exclu, \(S = \left]-\infty\,;\,-\frac{1}{3}\right[\).

1. \(f(x) = -5x + 5\) s’annule en \(x = 1\) et \(a = -5 \lt 0\) : \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 1\), \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 1\).
\(g(x) = 5x – 3\) s’annule en \(x = \frac{3}{5} = 0{,}6\) et \(a = 5 \gt 0\) : \(g(x) \lt 0\) pour \(x \lt 0{,}6\), \(g(x) \gt 0\) pour \(x \gt 0{,}6\).

2.

• a) Vrai. \(0{,}982 \lt 1\), donc \(0{,}982\) est dans la zone où \(f(x) \gt 0\).
• b) Vrai. Tout réel \(x \lt 1\) (donc inférieur à 2) a une image positive, par exemple \(f(0) = 5\).
• c) Vrai. Si \(x \leqslant 0\), alors \(x \lt \frac{3}{5}\), donc \(g(x) \lt 0\) (par exemple \(g(0) = -3\)).
• d) Vrai. \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \leqslant 1\) et \(g(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant \frac{3}{5}\) : les deux sont positifs pour \(x \in \left[\frac{3}{5}\,;\,1\right]\). Exemple : \(f(0{,}8) = 1\) et \(g(0{,}8) = 1\).

a) Chaque équation est celle d’une droite : \(y = 1 – x\) (pente \(-1\)) et \(y = 2x – 5\) (pente \(2\)). Puis les pentes sont différentes, donc les droites sont sécantes : elles ont un seul point commun, et le système a un seul couple solution. (Autre justification : \(1 \times (-1) – 1 \times 2 = -3 \neq 0\), les coefficients ne sont pas proportionnels.)

b) On additionne les deux équations membre à membre, ce qui élimine \(y\) :

\[ \begin{aligned} (x + y) + (2x – y) &= 1 + 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Puis \(y = 1 – x = 1 – 2 = -1\). Vérification : \(2 + (-1) = 1\) et \(2 \times 2 – (-1) = 5\).

On note \(x\) le nombre de départ et on suit le programme :

\[ \begin{aligned} &x \;\to\; x + 8 \;\to\; 3(x + 8) \;\to\; 3(x + 8) – 24 \;\to\; 3(x + 8) – 24 – x. \end{aligned} \]

Puis on développe et on réduit :

\[ \begin{aligned} 3(x + 8) – 24 – x &= 3x + 24 – 24 – x \\ &= 2x. \end{aligned} \]

De plus, le résultat est toujours le double du nombre de départ. Par ailleurs, exemple de contrôle : avec 5, on obtient \(13 \to 39 \to 15 \to 10\), et \(10 = 2 \times 5\).

Notons \(x\) (en cm) le côté des petits triangles, avec \(0 \lt x \lt 3\). Ainsi, sur chaque côté du grand triangle, on enlève \(x\) à chaque bout : il reste un côté de l’hexagone de longueur \(6 – 2x\). Ensuite, les trois autres côtés de l’hexagone sont les côtés « intérieurs » des petits triangles, de longueur \(x\).

\[ \begin{aligned} \text{Somme des périmètres des petits triangles} &= 3 \times 3x = 9x \\ \text{Périmètre de cet hexagone} &= 3x + 3(6 – 2x) = 18 – 3x \end{aligned} \]

De même, égalité des deux : \(9x = 18 – 3x \iff 12x = 18 \iff x = 1{,}5\).

Ensuite, la conjecture n’est donc pas vraie en général : elle n’est vraie que si les petits triangles ont un côté de 1,5 cm. Puis par exemple, avec \(x = 2\) (hexagone régulier, comme sur la figure de l’énoncé), on trouve 18 cm pour les petits triangles et 12 cm pour l’hexagone.

Avec \(x\) au départ, on obtient \((x – 3)^2 – x^2\). Puis en développant :

\[ (x – 3)^2 – x^2 = x^2 – 6x + 9 – x^2 = -6x + 9. \]

a) Avec \(-4\) : \((-4 – 3)^2 – (-4)^2 = 49 – 16 = \mathbf{33}\) (et \(-6 \times (-4) + 9 = 33\)).

b) On résout \(-6x + 9 = 0 \iff x = \frac{9}{6} = 1{,}5\). Vérification : \((1{,}5 – 3)^2 – 1{,}5^2 = 2{,}25 – 2{,}25 = 0\).

Avec \(x\) au départ :

• programme vert : \(2x + 1\) ;
• programme jaune : \((x + 1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1\).

a) Les deux expressions sont égales pour tout \(x\) : Joseph a raison. De plus, tester quelques valeurs ne suffirait pas ; c’est le calcul littéral qui le prouve.

b) \(2x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}\). Par ailleurs, oui, en choisissant \(-0{,}5\), on obtient 0 avec les deux programmes.

Pour \(x\) films, la formule A coûte \(u = 30 + 1{,}45x\) euros et la formule B coûte \(v = 20 + 1{,}75x\) euros. De plus, on compare \(u\) et \(v\) : si \(u \lt v\), c’est A la moins chère.

Ainsi, pour aller plus loin : \(30 + 1{,}45x \lt 20 + 1{,}75x \iff 10 \lt 0{,}3x \iff x \gt 33{,}3\ldots\) Comme \(x\) est entier, la formule A est moins chère à partir de 34 films ; les deux tarifs ne sont jamais égaux.

Avec \(x\) au départ : programme 1 donne \(4(x – 1)^2 – 1\), programme 2 donne \((2x – 1)(2x – 3)\).

1.

2. a) Conjecture : les deux programmes donnent toujours le même résultat.

b) On développe les deux expressions :

\[ \begin{aligned} 4(x – 1)^2 – 1 &= 4(x^2 – 2x + 1) – 1 = 4x^2 – 8x + 3 \\ (2x – 1)(2x – 3) &= 4x^2 – 6x – 2x + 3 = 4x^2 – 8x + 3 \end{aligned} \]

De même, les deux expressions sont égales pour tout réel \(x\) : la conjecture est démontrée.

a) La cellule B1 calcule \( x^2 – (x-6)(x+6) \) pour la valeur x de la cellule A1. Ensuite, recopiée vers le bas, la formule s’applique à A2, A3, A4, A5. Puis par exemple pour x = 5 : \( 25 – (-1) \times 11 = 25 + 11 = 36 \) ; pour x = 10 : \( 100 – 4 \times 16 = 100 – 64 = 36 \).

b) Conjecture : le tableur affiche toujours 36. Ensuite, on conjecture que pour tout réel x, \( x^2 – (x-6)(x+6) = 36 \).

Démonstration : on reconnaît l’identité remarquable \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \) :

\[ \begin{aligned} x^2 – (x-6)(x+6) &= x^2 – (x^2 – 36) \\ &= x^2 – x^2 + 36 \\ &= 36 \end{aligned} \]

De plus, le résultat ne dépend pas de x : la conjecture est démontrée pour tous les réels, et pas seulement pour les cinq valeurs testées.

1. a) \( 3x + 6 = 3 \times x + 3 \times 2 = \) \( 3(x+2) \).

b) On fait apparaître le facteur commun \( (x+2) \) :

\[ \begin{aligned} A &= 3(x+2) + (x+2)(x-8) \\ &= (x+2)\left[3 + (x-8)\right] \\ &= (x+2)(x-5) \end{aligned} \]

2. a) On factorise d’abord \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \) (identité remarquable), ce qui fait apparaître le facteur commun \( (x+2) \) :

\[ \begin{aligned} B &= (x-2)(x+2) + (x-1)(x+2) \\ &= (x+2)\left[(x-2) + (x-1)\right] \\ &= (x+2)(2x-3) \end{aligned} \]

b) On factorise \( x^2 + 4x = x(x+4) \) :

\[ \begin{aligned} C &= x(x+4) + (x+1)(x+4) \\ &= (x+4)\left[x + (x+1)\right] \\ &= (x+4)(2x+1) \end{aligned} \]

1. a) Pour x = 0 :

• expression de départ : \( A = 4 \times (-3) + 4 \times (-1) + 0 + 4 = -12 – 4 + 4 = -12 \) ;
• factorisation d’Alice : \( (0+4)(2 \times 0 – 4) = 4 \times (-4) = -16 \).

Par ailleurs, les deux résultats sont différents : les deux expressions ne sont pas égales pour x = 0, donc la factorisation d’Alice est fausse. (Un seul contre-exemple suffit pour le prouver.)

b) Kenza écrit \( x + 4 = (x+4) \times 1 \) : le facteur commun \( (x+4) \) apparaît dans les trois termes.

\[ \begin{aligned} A &= (x+4)(x-3) + (x+4)(x-1) + (x+4) \times 1 \\ &= (x+4)\left[(x-3) + (x-1) + 1\right] \\ &= (x+4)(2x-3) \end{aligned} \]

Ainsi, contrôle pour x = 0 : \( 4 \times (-3) = -12 \), c’est bien la valeur trouvée en a). De même, alice avait oublié le « 1 » dans le crochet.

2. a) \( 2x – 1 = (2x-1) \times 1 \) :

\[ B = (2x-1)(x+3) + (2x-1) \times 1 = (2x-1)(x+3+1) = (2x-1)(x+4) \]

b) Le facteur commun est \( (x+1) \) :

\[ \begin{aligned} C &= (x+1)(x+1) + (x+1)(x-2) + (x+1) \times 1 \\ &= (x+1)\left[(x+1) + (x-2) + 1\right] \\ &= (x+1) \times 2x = 2x(x+1) \end{aligned} \]

3. On part du membre de droite et on factorise par \( (x+6) \) avec « le coup du 1 » :

\[ \begin{aligned} (x+6)^2 + x + 6 &= (x+6)(x+6) + (x+6) \times 1 \\ &= (x+6)(x+6+1) \\ &= (x+6)(x+7) \end{aligned} \]

Ensuite, l’égalité est donc vraie pour tout réel x.

1. a) On développe la forme (1) avec \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) :

\[ f(x) = (x-3)^2 – 25 = x^2 – 6x + 9 – 25 = x^2 – 6x – 16 \]

b) On factorise la forme (1) avec \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \), où \( a = x-3 \) et \( b = 5 \) :

\[ f(x) = \left[(x-3) – 5\right]\left[(x-3) + 5\right] = (x-8)(x+2) \]

2. a) Forme (1) : \( f(3) = 0^2 – 25 = \) −25.

b) Forme (3), produit nul : \( (x-8)(x+2) = 0 \) équivaut à \( x – 8 = 0 \) ou \( x + 2 = 0 \), soit x = 8 ou x = −2. S = {−2 ; 8}.

c) Forme (2) : \( x^2 – 6x – 16 = -16 \) équivaut à \( x^2 – 6x = 0 \), soit \( x(x-6) = 0 \), donc x = 0 ou x = 6. S = {0 ; 6}.

d) Forme (1) : \( (x-3)^2 – 25 = -25 \) équivaut à \( (x-3)^2 = 0 \), donc x = 3. S = {3}.

a) Emma : pour factoriser, il faudrait un facteur commun aux deux produits ; or \( (x+3)(x-7) \) et \( (x-1)(x+2) \) n’ont aucun facteur commun, et ce n’est pas une identité remarquable. Puis sa méthode ne s’applique pas directement ici.

Pierre a raison : dans chaque produit, le terme en \( x^2 \) est \( x \times x = x^2 \), et comme on soustrait le second produit, les \( x^2 \) s’annulent. Par ailleurs, on obtient une équation du premier degré.

b) On développe :

\[ \begin{aligned} (x+3)(x-7) &= x^2 – 7x + 3x – 21 = x^2 – 4x – 21 \\ (x-1)(x+2) &= x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \end{aligned} \]

De plus, l’équation devient :

\[ \begin{aligned} (x^2 – 4x – 21) – (x^2 + x – 2) &= 0 \\ -5x – 19 &= 0 \\ x &= -\dfrac{19}{5} \end{aligned} \]

On pose x = CM, avec \( 0 \leqslant x \leqslant 10 \). Par ailleurs, alors DM = 10 − x.

Théorème de Pythagore dans le triangle ADM rectangle en D, puis dans BCM rectangle en C :

\[ \begin{aligned} MA^2 &= AD^2 + DM^2 = 36 + (10-x)^2 \\ MB^2 &= BC^2 + CM^2 = 64 + x^2 \end{aligned} \]

Ainsi, des longueurs étant positives, MA = MB équivaut à \( MA^2 = MB^2 \) :

\[ \begin{aligned} 36 + 100 – 20x + x^2 &= 64 + x^2 \\ 136 – 20x &= 64 \\ -20x &= -72 \\ x &= 3{,}6 \end{aligned} \]

3,6 est bien compris entre 0 et 10. Vérification : \( MA^2 = 36 + 6{,}4^2 = 36 + 40{,}96 = 76{,}96 \) et \( MB^2 = 64 + 3{,}6^2 = 64 + 12{,}96 = 76{,}96 \).

1. a) Pour résoudre \( f(x) = 0 \), il vaut mieux factoriser : on obtient une équation produit nul. Puis en développant, on obtiendrait \( x^2 + 4x + 3 = 0 \), que l’on ne sait pas résoudre directement en seconde.

b) Avec \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \), où \( a = x+2 \) et \( b = 1 \) :

\[ f(x) = (x+2)^2 – 1^2 = (x+2-1)(x+2+1) = (x+1)(x+3) \]

\( (x+1)(x+3) = 0 \) équivaut à x + 1 = 0 ou x + 3 = 0, soit x = −1 ou x = −3. S = {−3 ; −1}.

2. a) \( (x+2)^2 – 1 = -1 \) équivaut à \( (x+2)^2 = 0 \), donc x + 2 = 0 : S = {−2}.

b) \( (x+2)^2 – 1 = 3 \) équivaut à \( (x+2)^2 = 4 \), donc x + 2 = 2 ou x + 2 = −2, soit x = 0 ou x = −4. S = {−4 ; 0}.

(On peut aussi écrire \( (x+2)^2 – 4 = 0 \), soit \( x(x+4) = 0 \).)

On vérifie d’abord l’affichage du logiciel en développant :

\[ \begin{aligned} (x-4)(2x-1) – x(x-5) &= 2x^2 – x – 8x + 4 – x^2 + 5x \\ &= x^2 – 4x + 4 \\ &= (x-2)^2 \end{aligned} \]

De même, l’affichage est correct. Ensuite, fred peut s’en servir pour les deux équations :

• (E) \( (x-2)^2 = 0 \) équivaut à x − 2 = 0 : S = {2}.
• (F) \( (x-2)^2 = 16 \) équivaut à x − 2 = 4 ou x − 2 = −4, soit x = 6 ou x = −2 : S = {−2 ; 6}. Attention à ne pas oublier la solution négative : un carré égal à 16 vient de 4 ou de −4.

On utilise la substitution (quand une inconnue est facile à isoler) ou la combinaison (pour éliminer une inconnue). Ensuite, on vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Système 1 : \( x – 3y = -17 \) et \( 2x + 4y = 6 \). Puis de la première, \( x = 3y – 17 \). Puis dans la seconde : \( 2(3y – 17) + 4y = 6 \), soit \( 10y – 34 = 6 \), donc y = 4 et \( x = 12 – 17 = -5 \). S = {(−5 ; 4)}.

Système 2 : \( 2a + 3b = -2 \) et \( 4a + b = 6 \). De plus, de la seconde, \( b = 6 – 4a \). De plus, dans la première : \( 2a + 18 – 12a = -2 \), soit \( -10a = -20 \), donc a = 2 et b = 6 − 8 = −2. S = {(2 ; −2)}.

Système 3 : \( 3x – y = 9 \) et \( x – 4y = 14 \). Par ailleurs, de la première, \( y = 3x – 9 \). Ensuite, dans la seconde : \( x – 12x + 36 = 14 \), soit \( -11x = -22 \), donc x = 2 et y = 6 − 9 = −3. S = {(2 ; −3)}.

Résoudre les systèmes 4, 5 et 6

Système 4 : \( 6x + y = 0 \) et \( 4x – 3y = -11 \). Ainsi, de la première, \( y = -6x \). Par ailleurs, dans la seconde : \( 4x + 18x = -11 \), soit \( 22x = -11 \), donc \( x = -\dfrac{1}{2} \) et y = 3. S = {(−0,5 ; 3)}.

Système 5 : \( 5p – q = -3 \) et \( 2p – 3q = 4 \). De même, de la première, \( q = 5p + 3 \). Puis dans la seconde : \( 2p – 15p – 9 = 4 \), soit \( -13p = 13 \), donc p = −1 et q = −5 + 3 = −2. S = {(−1 ; −2)}.

Système 6 : on multiplie la première équation par 10 : \( 2x + 3y = -10 \) ; la seconde donne \( x = 9y – 5 \). Ensuite, alors \( 2(9y – 5) + 3y = -10 \), soit \( 21y – 10 = -10 \), donc y = 0 et x = −5. S = {(−5 ; 0)}.

Puis exemple de vérification (système 6) : \( 0{,}2 \times (-5) + 0{,}3 \times 0 = -1 \) et \( 5 + 0 = 5 \).

Le signe de \( ax + b \) (avec a ≠ 0) change en \( x = -\dfrac{b}{a} \) : il est du signe de a à droite de cette valeur, du signe contraire à gauche.

a) La fonction s’annule en −4 et est positive à droite : il faut a > 0 et \( -\dfrac{b}{a} = -4 \), c’est-à-dire b = 4a. De plus, trois exemples :

• \( f_1(x) = x + 4 \) ;
• \( f_2(x) = 2x + 8 \) ;
• \( f_3(x) = 0{,}5x + 2 \).

b) La fonction s’annule en \( \dfrac{1}{3} \) et est négative à droite : il faut a < 0 et \( -\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3} \), c’est-à-dire \( b = -\dfrac{a}{3} \). Par ailleurs, trois exemples :

• \( g_1(x) = -3x + 1 \) ;
• \( g_2(x) = -6x + 2 \) ;
• \( g_3(x) = -x + \dfrac{1}{3} \).

Vérification pour \( g_1 \) : \( -3 \times \dfrac{1}{3} + 1 = 0 \) et le coefficient −3 est négatif.

Toutes ces équations sont des équations produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

• a) x + 4 = 0 ou x − 7 = 0 : S = {−4 ; 7}.
• b) 2x + 3 = 0 ou 4x − 5 = 0 : \( x = -\dfrac{3}{2} \) ou \( x = \dfrac{5}{4} \). S = {−3/2 ; 5/4}.
• c) −x = 0 ou 5 − 4x = 0 : x = 0 ou \( x = \dfrac{5}{4} \). S = {0 ; 5/4}.
• d) −15x + 3 = 0 ou 3x + 9 = 0 : \( x = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} \) ou x = −3. S = {−3 ; 1/5}.
• e) \( (2x-4)^2 = 0 \) équivaut à 2x − 4 = 0, donc x = 2. S = {2}.
• f) 3x = 0 ou x − 5 = 0 : S = {0 ; 5}.

1. On reconnaît \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \) avec a = x et b = 4 :

\[ x^2 – 16 = x^2 – 4^2 = (x-4)(x+4) \]

2. \( x^2 – 16 = 0 \) équivaut à \( (x-4)(x+4) = 0 \), donc x − 4 = 0 ou x + 4 = 0, soit x = 4 ou x = −4.

Méthode : tout passer dans un membre, factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.

a) \( 5x^2 – 6x = x(5x – 6) = 0 \), donc x = 0 ou \( x = \dfrac{6}{5} \). S = {0 ; 6/5}.

b) Facteur commun \( (x+4) \) :

\[ (x+4)\left[(2x+1) + (3-5x)\right] = (x+4)(4-3x) = 0 \]

donc x = −4 ou \( x = \dfrac{4}{3} \). S = {−4 ; 4/3}.

c) Facteur commun \( (x-7) \), attention au signe moins devant le second produit :

\[ (x-7)\left[(3x-5) – (9x-4)\right] = (x-7)(-6x-1) = 0 \]

donc x = 7 ou \( x = -\dfrac{1}{6} \). S = {−1/6 ; 7}.

d) \( 4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1) = 4(x+1)^2 \). Donc \( (x+1)^2 = 0 \), x = −1. S = {−1}.

e) On ne divise pas par \( (4x-7) \) (il pourrait être nul !) : on passe tout à gauche.

\[ \begin{aligned} (4x-7)(9x+5) – (8x-3)(4x-7) &= 0 \\ (4x-7)\left[(9x+5) – (8x-3)\right] &= 0 \\ (4x-7)(x+8) &= 0 \end{aligned} \]

donc \( x = \dfrac{7}{4} \) ou x = −8. S = {−8 ; 7/4}.

Une équation \( x^2 = k \) a deux solutions \( \sqrt{k} \) et \( -\sqrt{k} \) si k > 0, une seule (0) si k = 0, et aucune si k < 0 (un carré est toujours positif ou nul).

• a) \( x^2 = 81 \) : x = 9 ou x = −9. S = {−9 ; 9}.
• b) \( x^2 = -7 \) : −7 est négatif, pas de solution, S = ∅.
• c) \( x^2 = 15 \) : S = \( \{-\sqrt{15} \, ; \sqrt{15}\} \).
• d) \( 3x^2 = 48 \) équivaut à \( x^2 = 16 \) : S = {−4 ; 4}.
• e) \( 2x^2 + 20 = 0 \) équivaut à \( x^2 = -10 \) : pas de solution, S = ∅.
• f) \( 4x^2 – 2 = 1 \) équivaut à \( 4x^2 = 3 \), soit \( x^2 = \dfrac{3}{4} \) : \( x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) ou \( x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Méthode : on ramène tout dans un membre, on factorise (identités remarquables, facteur commun), puis on applique la règle du produit nul ; ou bien on utilise « \(X^2=k\) avec \(k\gt 0\) équivaut à \(X=\sqrt{k}\) ou \(X=-\sqrt{k}\) ».

a) \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Donc \((x+3)^2=0 \iff x+3=0 \iff x=-3\). \(\mathcal{S}=\{-3\}\).

b) \(36x^2-12x+22=21 \iff 36x^2-12x+1=0 \iff (6x-1)^2=0 \iff x=\dfrac{1}{6}\). \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{6}\right\}\).

c) \(4x^2=8x \iff 4x^2-8x=0 \iff 4x(x-2)=0 \iff x=0\) ou \(x=2\). \(\mathcal{S}=\{0\,;\,2\}\). (On ne divise surtout pas par \(x\), on perdrait la solution 0.)

d) \(5(2x+1)^2=20 \iff (2x+1)^2=4 \iff 2x+1=2\) ou \(2x+1=-2 \iff x=\dfrac{1}{2}\) ou \(x=-\dfrac{3}{2}\). \(\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right\}\).

e) On passe tout à gauche et on utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[ \begin{aligned} (3x+4)^2-(5x-6)^2=0 &\iff \big[(3x+4)-(5x-6)\big]\big[(3x+4)+(5x-6)\big]=0 \\ &\iff (-2x+10)(8x-2)=0 \\ &\iff x=5 \text{ ou } x=\dfrac{1}{4}. \end{aligned} \]

\(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{4}\,;\,5\right\}\).

f) \((x-2)^2-100=0 \iff (x-2-10)(x-2+10)=0 \iff (x-12)(x+8)=0 \iff x=12\) ou \(x=-8\). \(\mathcal{S}=\{-8\,;\,12\}\).

L’équation \(\sqrt{x}=k\) (avec \(x\geqslant 0\)) a une unique solution \(x=k^2\) si \(k\geqslant 0\), et aucune solution si \(k\lt 0\), car une racine carrée est toujours positive.

• a) \(\sqrt{x}=12 \iff x=12^2=144\). \(\mathcal{S}=\{144\}\).
• b) \(\sqrt{x}=-2\) : impossible, car \(\sqrt{x}\geqslant 0\). \(\mathcal{S}=\varnothing\).
• c) \(\sqrt{x}=11{,}5 \iff x=11{,}5^2=132{,}25\). \(\mathcal{S}=\{132{,}25\}\).
• d) \(3\sqrt{x}=21 \iff \sqrt{x}=7 \iff x=49\). \(\mathcal{S}=\{49\}\).

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Ensuite, on commence donc toujours par chercher la valeur interdite.

• a) Valeur interdite : \(-9\). \(x-2=0 \iff x=2\), et \(2\neq -9\). \(\mathcal{S}=\{2\}\).
• b) Valeur interdite : \(-3\). \(2x-7=0 \iff x=\dfrac{7}{2}\), valeur autorisée. \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\).
• c) Valeur interdite : \(5\). \(20-4x=0 \iff x=5\)… mais 5 est la valeur interdite : le quotient n’est pas défini pour \(x=5\). \(\mathcal{S}=\varnothing\).
• d) Valeur interdite : \(-\dfrac{3}{2}\). \(5x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{5}\), valeur autorisée. \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{5}\right\}\).

Après avoir noté la valeur interdite, on utilise l’égalité des produits en croix : pour \(B\neq 0\) et \(D\neq 0\), \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D} \iff A\times D=B\times C\).

a) \(x\neq -6\). \(\dfrac{2x-1}{x+6}=1 \iff 2x-1=x+6 \iff x=7\). \(\mathcal{S}=\{7\}\).

b) \(x\neq -3\). \(\dfrac{4}{2x+6}=9 \iff 4=9(2x+6) \iff 4=18x+54 \iff 18x=-50 \iff x=-\dfrac{25}{9}\). Puis cette valeur est différente de \(-3\). \(\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{25}{9}\right\}\).

c) \(x\neq 4\). \(\dfrac{2x}{x-4}=-3 \iff 2x=-3(x-4) \iff 2x=-3x+12 \iff 5x=12 \iff x=\dfrac{12}{5}\). \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{12}{5}\right\}\).

d) \(x\neq 1\). \(\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{1}{2} \iff 2(x+1)=x-1 \iff 2x+2=x-1 \iff x=-3\). \(\mathcal{S}=\{-3\}\).

a) \(2x+2=0 \iff x=-1\) : valeur interdite \(-1\).

\[ \dfrac{x}{2x+2}+5=0 \iff \dfrac{x}{2x+2}=-5 \iff x=-5(2x+2) \iff x=-10x-10 \iff 11x=-10 \iff x=-\dfrac{10}{11}. \]

\(-\dfrac{10}{11}\neq -1\) : \(\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{10}{11}\right\}\).

b) Valeur interdite : 2. \(\dfrac{10+x}{x-2}=2 \iff 10+x=2(x-2) \iff 10+x=2x-4 \iff x=14\). \(\mathcal{S}=\{14\}\).

c) Valeur interdite : 2. \(\dfrac{3}{2x-4}=-5 \iff 3=-5(2x-4) \iff 3=-10x+20 \iff 10x=17 \iff x=\dfrac{17}{10}=1{,}7\). \(\mathcal{S}=\{1{,}7\}\).

d) Valeur interdite : 3. \(\dfrac{x+1}{3-x}=1 \iff x+1=3-x \iff 2x=2 \iff x=1\). \(\mathcal{S}=\{1\}\).

Pour \(x\neq 0\) et \(k\neq 0\) : \(\dfrac{1}{x}=k \iff x=\dfrac{1}{k}\) (deux nombres inverses l’un de l’autre). Ainsi, si \(k=0\), il n’y a pas de solution, car un quotient de numérateur 1 n’est jamais nul.

• a) \(\dfrac{1}{x}=4 \iff x=\dfrac{1}{4}\). \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}\).
• b) \(\dfrac{1}{x}=-1 \iff x=-1\). \(\mathcal{S}=\{-1\}\).
• c) \(\dfrac{1}{x}=10 \iff x=\dfrac{1}{10}=0{,}1\). \(\mathcal{S}=\{0{,}1\}\).
• d) \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3} \iff x=3\). \(\mathcal{S}=\{3\}\).
• e) \(\dfrac{1}{x}=0\) : impossible, le numérateur 1 n’est pas nul. \(\mathcal{S}=\varnothing\).
• f) \(\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5} \iff x=-5\). \(\mathcal{S}=\{-5\}\).

On remplace \(x\) par chaque valeur, en mettant les nombres négatifs entre parenthèses.

• a) \(A=0^2+5\times 0+10=\mathbf{10}\).
• b) \(A=(-2)^2+5\times(-2)+10=4-10+10=\mathbf{4}\).
• c) \(A=10^2+5\times 10+10=100+50+10=\mathbf{160}\).
• d) \(A=(\sqrt{2})^2+5\sqrt{2}+10=2+5\sqrt{2}+10=\mathbf{12+5\sqrt{2}}\).

Chaque équation est déjà un produit nul (ou un carré nul) : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

a) \((3x-1)^2=0 \iff 3x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{3}\). \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{3}\right\}\).

b) \((3-2x)(5-x)(6+10x)=0 \iff 3-2x=0\) ou \(5-x=0\) ou \(6+10x=0\), soit \(x=\dfrac{3}{2}\) ou \(x=5\) ou \(x=-\dfrac{6}{10}=-\dfrac{3}{5}\). \(\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}\,;\,\dfrac{3}{2}\,;\,5\right\}\).

c) On factorise d’abord \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) : \((x-3)(x+3)(x+20)=0 \iff x=3\) ou \(x=-3\) ou \(x=-20\). \(\mathcal{S}=\{-20\,;\,-3\,;\,3\}\).

On isole le carré, puis : \(X^2=k\) a deux solutions \(\sqrt{k}\) et \(-\sqrt{k}\) si \(k\gt 0\), aucune si \(k\lt 0\).

a) \((x+4)^2=121 \iff x+4=11\) ou \(x+4=-11 \iff x=7\) ou \(x=-15\). \(\mathcal{S}=\{-15\,;\,7\}\).

b) \((2x+1)^2=9 \iff 2x+1=3\) ou \(2x+1=-3 \iff x=1\) ou \(x=-2\). \(\mathcal{S}=\{-2\,;\,1\}\).

c) \(3(2-x)^2=48 \iff (2-x)^2=16 \iff 2-x=4\) ou \(2-x=-4 \iff x=-2\) ou \(x=6\). \(\mathcal{S}=\{-2\,;\,6\}\).

d) \((5-x)^2=-2\) : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir \(-2\). \(\mathcal{S}=\varnothing\).

Les antécédents de 0 par \(f\) sont les solutions de l’équation \(f(x)=0\) :

\[ (5x+1)(x-4)=0 \iff 5x+1=0 \text{ ou } x-4=0 \iff x=-\dfrac{1}{5} \text{ ou } x=4. \]

Vérification : \(f(4)=21\times 0=0\) et \(f\left(-\dfrac{1}{5}\right)=0\times\left(-\dfrac{21}{5}\right)=0\).

1. Au bout d’un jour, \(t=1\) :

\[ N(1)=(0{,}5\times 1+1)^2=1{,}5^2=2{,}25. \]

\(N\) est exprimé en milliers : il y a environ 2 250 bactéries au bout d’un jour.

2. 16 000 bactéries correspondent à \(N(t)=16\) (en milliers). De plus, on résout \((0{,}5t+1)^2=16\) sur \([0\,;\,10]\) :

\[ 0{,}5t+1=4 \quad\text{ou}\quad 0{,}5t+1=-4. \]

De même, pour \(t\in[0\,;\,10]\), \(0{,}5t+1\geqslant 1\gt 0\), donc la seconde égalité est impossible. Ainsi \(0{,}5t=3\), soit \(t=6\).

Vérification : \(N(6)=(3+1)^2=16\).

1. La boîte fermée est un pavé droit à base carrée de côté \(x\) (\(x\gt 0\)) et de hauteur 2. Ensuite, sa surface extérieure comprend :

• le fond et le couvercle : 2 carrés d’aire \(x^2\), soit \(2x^2\) ;
• les 4 faces latérales : 4 rectangles de \(x\) sur 2, soit \(4\times 2x=8x\).

Donc \(S(x)=2x^2+8x\). Puis développons la formule proposée :

\[ 2(x+2)^2-8=2(x^2+4x+4)-8=2x^2+8x+8-8=2x^2+8x. \]

De plus, on retrouve bien \(S(x)=2(x+2)^2-8\).

2. On résout \(S(x)=72\) avec la forme canonique :

\[ \begin{aligned} 2(x+2)^2-8=72 &\iff 2(x+2)^2=80 \\ &\iff (x+2)^2=40 \\ &\iff x+2=\sqrt{40} \text{ ou } x+2=-\sqrt{40}. \end{aligned} \]

Or \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\). Ensuite, la solution \(x=-2-2\sqrt{10}\) est négative : elle ne convient pas pour une longueur. Par ailleurs, il reste \(x=-2+2\sqrt{10}\approx 4{,}32\).

1. On développe :

\[ h(x)=(x-5)(x+11)=x^2+11x-5x-55=x^2+6x-55. \]

2. On développe la forme proposée :

\[ (x+3)^2-64=x^2+6x+9-64=x^2+6x-55=h(x). \]

3. a) La forme développée est la plus adaptée : \(h(0)=0^2+6\times 0-55=\mathbf{-55}\).

3. b) Pour \(h(x)=0\), on prend la forme factorisée :

\[ (x-5)(x+11)=0 \iff x=5 \text{ ou } x=-11. \]

Par ailleurs, pour \(h(x)=-64\), on prend la forme canonique :

\[ (x+3)^2-64=-64 \iff (x+3)^2=0 \iff x=-3. \]

1. L’expression n’est pas définie quand son dénominateur est nul : \(3x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{3}\). A n’est pas définie pour \(x=-\dfrac{1}{3}\).

2.

• a) \(A=\dfrac{1+3}{3+1}=\dfrac{4}{4}=\mathbf{1}\).
• b) \(A=\dfrac{-2+3}{-6+1}=\dfrac{1}{-5}=\mathbf{-\dfrac{1}{5}}\).
• c) \(A=\dfrac{\frac{1}{2}+3}{\frac{3}{2}+1}=\dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}}=\dfrac{7}{2}\times\dfrac{2}{5}=\mathbf{\dfrac{7}{5}}\).
• d) \(A=\dfrac{-\frac{2}{7}+3}{-\frac{6}{7}+1}=\dfrac{\frac{19}{7}}{\frac{1}{7}}=\dfrac{19}{7}\times 7=\mathbf{19}\).

3. A s’annule quand son numérateur est nul (et le dénominateur non nul) : \(x+3=0 \iff x=-3\), et \(-3\neq -\dfrac{1}{3}\). A s’annule pour \(x=-3\).

4. Pour \(x\neq -\dfrac{1}{3}\) : \(\dfrac{x+3}{3x+1}=3 \iff x+3=3(3x+1) \iff x+3=9x+3 \iff 8x=0 \iff x=0\). Vérification : \(A=\dfrac{3}{1}=3\).

Notons \( O \) le pied de l’arbre 2, \( P_1 \), \( P_2 \), \( P_3 \) les piquets 1, 2, 3 et \( G \) la position de Georges. Ainsi, d’après le schéma :

• \( O \), \( P_2 \) et \( P_1 \) sont alignés (le côté du U vise l’arbre 2), avec \( P_2P_1 = 1 \text{ m} \) ;
• \( O \), \( P_3 \) et \( G \) sont alignés (Georges se place dans l’alignement du piquet 3 et de l’arbre 2) ;
• \( (P_2P_3) \) et \( (P_1G) \) sont parallèles (deux côtés du U, tous deux perpendiculaires à \( (OP_1) \)), avec \( P_2P_3 = 1 \text{ m} \) et \( P_1G = 1{,}1 \text{ m} \) (longueur mesurée).

De même, on note \( L = OP_1 \) la longueur à estimer (distance entre les deux arbres). Ensuite, alors \( OP_2 = L – 1 \).

Puis dans le triangle \( OP_1G \), \( P_2 \in [OP_1] \), \( P_3 \in [OG] \) et \( (P_2P_3) \parallel (P_1G) \) : d’après le théorème de Thalès,

\[ \frac{OP_2}{OP_1} = \frac{P_2P_3}{P_1G} \iff \frac{L – 1}{L} = \frac{1}{1{,}1} \]

De plus, par produit en croix :

\[ \begin{aligned} 1{,}1(L – 1) &= L \\ 1{,}1L – 1{,}1 &= L \\ 0{,}1L &= 1{,}1 \\ L &= 11 \end{aligned} \]

Par ailleurs, la distance entre les deux arbres est de 11 m : Georges devra prévoir un câble d’au moins 11 m (plus la longueur nécessaire pour l’attacher).

Les points A, E, C d’une part et D, E, B d’autre part sont alignés, avec E entre A et C et entre D et B (configuration « papillon »). Puis on lit : \( EA = 7 \), \( EC = 5 \), \( EB = x \) et \( ED = x + 3 \), avec \( x \gt 0 \).

Droites (AB) et (CD), comme le demande l’énoncé. D’après la réciproque du théorème de Thalès, elles sont parallèles si et seulement si \( \frac{EA}{EC} = \frac{EB}{ED} \), c’est-à-dire \( \frac{7}{5} = \frac{x}{x + 3} \). Or \( \frac{7}{5} \gt 1 \) alors que \( \frac{x}{x + 3} \lt 1 \) (le numérateur est plus petit que le dénominateur). Ensuite, il n’existe donc aucune valeur de \( x \) : (AB) et (CD) ne sont jamais parallèles. Ainsi, par le calcul, \( 7(x + 3) = 5x \) donne \( x = -10{,}5 \), qui n’est pas une longueur.

Droites (AD) et (BC), celles qui sont tracées sur la figure. C’est sans doute ce que l’énoncé voulait demander. Puis elles sont parallèles si et seulement si

\[ \frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} \iff \frac{7}{5} = \frac{x + 3}{x} \]

De même, par produit en croix (avec \( x \neq 0 \)) :

\[ \begin{aligned} 7x &= 5(x + 3) \\ 7x &= 5x + 15 \\ 2x &= 15 \\ x &= 7{,}5 \end{aligned} \]

Vérification : \( ED = 10{,}5 \) et \( \frac{10{,}5}{7{,}5} = 1{,}4 = \frac{7}{5} \).

1. Le volume d’un pavé droit est \( \mathscr{V} = L \times \ell \times h \). Ensuite, comme \( L \times \ell \neq 0 \), on divise par \( L\ell \) :

\[ h = \frac{\mathscr{V}}{L\ell} \]

2. Le pavé a six faces, deux à deux identiques : deux faces \( L \times \ell \), deux faces \( L \times h \) et deux faces \( \ell \times h \). Donc

\[ \mathscr{A} = 2L\ell + 2Lh + 2\ell h \]

Puis on isole \( h \) :

\[ \begin{aligned} \mathscr{A} – 2L\ell &= 2Lh + 2\ell h \\ \mathscr{A} – 2L\ell &= 2h(L + \ell) \\ h &= \frac{\mathscr{A} – 2L\ell}{2(L + \ell)} \end{aligned} \]

(division possible car \( L + \ell \gt 0 \)).

On effectue la même opération dans les deux membres de l’inéquation.

• On soustrait 8 de chaque côté : le sens de l’inégalité ne change pas.
  \[ 2x + 8 – 8 \lt 100 – 8 \quad \text{donc} \quad 2x \lt 92 \]
• On divise par 2 de chaque côté : 2 est positif, le sens ne change pas.
  \[ \frac{2x}{2} \lt \frac{92}{2} \quad \text{donc} \quad x \lt 46 \]

Même démarche : on fait la même opération dans les deux membres, en changeant le sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

a) \( 4x + 5 \leqslant -x + 100 \)

\[ \begin{aligned} 4x + 5 + x &\leqslant -x + 100 + x &&\text{(on ajoute } x\text{)} \\ 5x + 5 &\leqslant 100 \\ 5x + 5 – 5 &\leqslant 100 – 5 &&\text{(on soustrait 5)} \\ 5x &\leqslant 95 \\ x &\leqslant 19 &&\text{(on divise par 5, positif)} \end{aligned} \]

\( S = \left] -\infty \,;\, 19 \right] \).

b) \( x – 10 \leqslant 4x + 23 \)

\[ \begin{aligned} x – 10 – 4x &\leqslant 4x + 23 – 4x &&\text{(on soustrait } 4x\text{)} \\ -3x – 10 &\leqslant 23 \\ -3x &\leqslant 33 &&\text{(on ajoute 10)} \\ x &\geqslant -11 &&\text{(on divise par } -3\text{, négatif : le sens change)} \end{aligned} \]

\( S = \left[ -11 \,;\, +\infty \right[ \).

a) \( 2x + 2 \leqslant 10 \iff 2x \leqslant 8 \iff x \leqslant 4 \). \( S = \left] -\infty \,;\, 4 \right] \).

b) \( 4x + 5 \lt -25 \iff 4x \lt -30 \iff x \lt -7{,}5 \). \( S = \left] -\infty \,;\, -7{,}5 \right[ \).

c) \( -2x + 6 \leqslant 0 \iff -2x \leqslant -6 \iff x \geqslant 3 \) (division par \( -2 \), le sens change). \( S = \left[ 3 \,;\, +\infty \right[ \).

d) \( -3x – 7 \geqslant 101 \iff -3x \geqslant 108 \iff x \leqslant -36 \) (division par \( -3 \), le sens change). \( S = \left] -\infty \,;\, -36 \right] \).

On regroupe les termes en \( x \) dans un membre et les constantes dans l’autre.

a) \( 3x + 2 \leqslant x – 14 \iff 2x \leqslant -16 \iff x \leqslant -8 \). \( S = \left] -\infty \,;\, -8 \right] \).

b) \( -2x – 5 \gt 4x + 31 \iff -6x \gt 36 \iff x \lt -6 \) (division par \( -6 \), le sens change). \( S = \left] -\infty \,;\, -6 \right[ \).

c) \( 9x + 19 \leqslant -x + 51 \iff 10x \leqslant 32 \iff x \leqslant 3{,}2 \). \( S = \left] -\infty \,;\, 3{,}2 \right] \).

d) \( -3x + 5 \lt -x + 17 \iff -2x \lt 12 \iff x \gt -6 \) (division par \( -2 \), le sens change). \( S = \left] -6 \,;\, +\infty \right[ \).

De plus, contrôle rapide en d) avec \( x = 0 \) : \( 5 \lt 17 \) est vrai, et 0 est bien dans \( \left] -6 \,;\, +\infty \right[ \).

a) On développe d’abord :

\[ \begin{aligned} 2(x + 1) – 7x &\gt 5 – x \\ 2x + 2 – 7x &\gt 5 – x \\ -5x + 2 &\gt 5 – x \\ -4x &\gt 3 \\ x &\lt -\frac{3}{4} \end{aligned} \]

(division par \( -4 \) : le sens change). \( S = \left] -\infty \,;\, -\frac{3}{4} \right[ \).

b)

\[ \begin{aligned} 4x + 5 &\leqslant 3(x – 1) + 3 \\ 4x + 5 &\leqslant 3x – 3 + 3 \\ 4x + 5 &\leqslant 3x \\ x &\leqslant -5 \end{aligned} \]

\( S = \left] -\infty \,;\, -5 \right] \).

c) \( 3(x + 4) \gt 0 \iff x + 4 \gt 0 \) (division par 3, positif) \( \iff x \gt -4 \). \( S = \left] -4 \,;\, +\infty \right[ \).

d) \( \frac{x – 5}{2} \leqslant 0 \iff x – 5 \leqslant 0 \) (multiplication par 2, positif) \( \iff x \leqslant 5 \). \( S = \left] -\infty \,;\, 5 \right] \).

1. Si Assia vend \( x \) kilos à 1,50 € le kilo, elle encaisse \( 1{,}5x \) euros. De plus, elle a dépensé 2,90 € de graines, donc son bénéfice est \( 1{,}5x – 2{,}9 \) euros. Ensuite, elle veut un bénéfice d’au moins 25 € :

\[ 1{,}5x – 2{,}9 \geqslant 25 \]

2.

\[ \begin{aligned} 1{,}5x &\geqslant 25 + 2{,}9 \\ 1{,}5x &\geqslant 27{,}9 \\ x &\geqslant \frac{27{,}9}{1{,}5} = 18{,}6 \end{aligned} \]

Vérification : \( 1{,}5 \times 18{,}6 = 27{,}9 \) € de ventes, moins 2,90 € de graines, font bien 25 € de bénéfice.

1. Au bout de \( x \) mois, le premier lot a rapporté \( 100\,000 + 1\,400x \) euros et le second \( 5\,000 + 2\,000x \) euros. Par ailleurs, la deuxième offre est plus intéressante lorsque :

\[ 5\,000 + 2\,000x \gt 100\,000 + 1\,400x \]

2.

\[ \begin{aligned} 2\,000x – 1\,400x &\gt 100\,000 – 5\,000 \\ 600x &\gt 95\,000 \\ x &\gt \frac{95\,000}{600} \approx 158{,}3 \end{aligned} \]

Par ailleurs, comme \( x \) est un nombre entier de mois, il faut \( x \geqslant 159 \). Vérification :

• après 158 mois : 321 000 € (offre 2) contre 321 200 € (offre 1), la première offre est encore meilleure ;
• après 159 mois : 323 000 € (offre 2) contre 322 600 € (offre 1), la deuxième offre l’emporte.

La figure se compose de trois parties (longueurs en cm) :

• un triangle de base \( x \) et de hauteur 6 : aire \( \frac{6x}{2} = 3x \) ;
• un rectangle de dimensions \( x \) et 2 : aire \( 2x \) ;
• un carré de côté 2 : aire \( 4 \).

Ainsi, aire totale : \( 3x + 2x + 4 = 5x + 4 \). Puis on veut qu’elle dépasse \( 50 \text{ cm}^2 \) :

\[ \begin{aligned} 5x + 4 &\gt 50 \\ 5x &\gt 46 \\ x &\gt 9{,}2 \end{aligned} \]

Vérification : pour \( x = 9{,}2 \), l’aire vaut \( 5 \times 9{,}2 + 4 = 50 \text{ cm}^2 \) exactement ; il faut donc une valeur strictement plus grande.

On a \( AB = 12 \), \( AD = 8 \), \( DC = 5 \) (en dam) et \( AM = x \) avec \( 0 \leqslant x \leqslant 12 \).

• Le triangle \( CBM \) a pour base \( MB = 12 – x \) et pour hauteur la distance de C à (AB), égale à \( AD = 8 \) : \[ \mathscr{A}_{CBM} = \frac{8(12 – x)}{2} = 48 – 4x \]
• ADCM est un trapèze rectangle de bases \( AM = x \) et \( DC = 5 \), de hauteur 8 : \[ \mathscr{A}_{ADCM} = \frac{(x + 5) \times 8}{2} = 4x + 20 \]

Contrôle : la somme vaut \( 68 \text{ dam}^2 \), l’aire du trapèze ABCD \( \frac{(12 + 5) \times 8}{2} = 68 \).

1. Aires égales :

\[ 4x + 20 = 48 – 4x \iff 8x = 28 \iff x = 3{,}5 \]

De même, chaque parcelle mesure alors \( 34 \text{ dam}^2 \).

2. Aire de ADCM supérieure à celle de CBM :

\[ 4x + 20 \gt 48 – 4x \iff 8x \gt 28 \iff x \gt 3{,}5 \]

Ensuite, avec la contrainte \( x \leqslant 12 \) (M sur [AB]) : \( x \in \left] 3{,}5 \,;\, 12 \right] \).

On pose \( x = AM \) (en cm). Puis comme M est sur [AD] et P sur [AB], \( 0 \leqslant x \leqslant 3 \). De plus, AMNP est un carré de côté \( x \), donc \( \mathscr{A}_{AMNP} = x^2 \).

Par ailleurs, NICJ est un rectangle de côtés \( NJ = AB – AP = 5 – x \) et \( NI = AD – AM = 3 – x \).

1. On veut \( x^2 = (5 – x)(3 – x) \) :

\[ \begin{aligned} x^2 &= 15 – 5x – 3x + x^2 \\ 0 &= 15 – 8x \\ x &= \frac{15}{8} = 1{,}875 \end{aligned} \]

Vérification : \( 1{,}875^2 = 3{,}515625 \) et \( (5 – 1{,}875)(3 – 1{,}875) = 3{,}125 \times 1{,}125 = 3{,}515625 \).

2. Le périmètre de NICJ vaut \( 2\big((5 – x) + (3 – x)\big) = 16 – 4x \). Ensuite, on veut :

\[ 16 – 4x \gt 10 \iff -4x \gt -6 \iff x \lt 1{,}5 \]

(division par \( -4 \) : le sens change). Ainsi, avec \( x \geqslant 0 \) : \( x \in \left[ 0 \,;\, 1{,}5 \right[ \) (et \( x \gt 0 \) si l’on veut un vrai carré).

1. M est un point du segment [AD] et \( AD = 10 \), donc \( 0 \leqslant AM \leqslant 10 \) : \( x \in [0 \,;\, 10] \).

2. Aire du rectangle ABNM : \( AB \times AM = 8x \).

De même, le triangle NDC est rectangle en C, avec \( DC = AB = 8 \) et \( NC = BC – BN = 10 – x \) :

\[ \mathscr{A}_{NDC} = \frac{8(10 – x)}{2} = 40 – 4x \]

Ensuite, on résout :

\[ \begin{aligned} 8x &\geqslant 40 – 4x \\ 12x &\geqslant 40 \\ x &\geqslant \frac{40}{12} = \frac{10}{3} \end{aligned} \]

Puis avec \( x \leqslant 10 \) : \( x \in \left[ \frac{10}{3} \,;\, 10 \right] \). Vérification : pour \( x = \frac{10}{3} \), les deux aires valent \( \frac{80}{3} \approx 26{,}7 \).