Intervalles et valeur absolue en seconde : corrigé des exercices 1 à 10

Rappel : un crochet tourné vers le nombre (« [ » à gauche, « ] » à droite) signifie que la borne est incluse (symboles \(\leqslant\), \(\geqslant\)) ; un crochet tourné vers l’extérieur signifie que la borne est exclue (symboles \(\lt\), \(\gt\)). Du côté de \(\pm\infty\), le crochet est toujours ouvert.

Les représentations graphiques des six lignes du tableau :

Pour chaque nombre, on regarde s’il est entre les bornes, puis on vérifie si une borne égale au nombre est incluse ou exclue.

1. \(1 \lt 2 \lt 3\) donc \(2 \in \;]1\,;\,3[\).
2. \(-1 \leqslant 0 \lt 2\) donc \(0 \in [-1\,;\,2[\).
3. \(0 \leqslant \frac{1}{3} \leqslant 3\) donc \(\frac{1}{3} \in [0\,;\,3]\).
4. 2 est la borne de droite, et elle est exclue (crochet « [ » tourné vers l’extérieur) : \(2 \notin \;]-2\,;\,2[\).
5. \(\sqrt{2} \approx 1{,}41 \gt 1\) donc \(\sqrt{2} \notin [-3\,;\,1]\).
6. 0 est la borne de gauche, exclue : \(0 \notin \;]0\,;\,+\infty[\) (cet intervalle contient les nombres strictement positifs).
7. \(-100 \lt 1\) donc \(-100 \in \;]-\infty\,;\,1[\).
8. \(\frac{1}{10} = 0{,}1\) et \(0{,}01 \leqslant 0{,}1 \lt 0{,}2\) donc \(\frac{1}{10} \in [0{,}01\,;\,0{,}2[\).

On transforme l’encadrement étape par étape. Ajouter un nombre ou multiplier par un nombre positif conserve l’ordre ; multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre (les bornes s’échangent, avec leurs crochets).

1. \(7 \leqslant x \leqslant 20 \iff 7 \times 7 \leqslant 7x \leqslant 7 \times 20 \iff 49 \leqslant 7x \leqslant 140\).

\(x \in [7\,;\,20] \iff 7x \in [49\,;\,140]\).

2. \(-1 \lt x \leqslant 3 \iff -3 \leqslant -x \lt 1\) (multiplication par \(-1\)) \(\iff 4 \leqslant 7-x \lt 8\).

\(x \in \;]-1\,;\,3] \iff 7-x \in [4\,;\,8[\).

3. \(-5 \leqslant x \leqslant 7 \iff -10 \leqslant 2x \leqslant 14 \iff -7 \leqslant 2x+3 \leqslant 17\).

\(x \in [-5\,;\,7] \iff 2x+3 \in [-7\,;\,17]\).

4. \(-2x \in [1\,;\,+\infty[ \iff -2x \geqslant 1 \iff x \leqslant -\frac{1}{2}\) (division par \(-2\), le sens change).

\(x \in \;\left]-\infty\,;\,-\frac{1}{2}\right] \iff -2x \in [1\,;\,+\infty[\).

5. \(3-x \in \;]-\infty\,;\,6] \iff 3-x \leqslant 6 \iff -x \leqslant 3 \iff x \geqslant -3\).

\(x \in [-3\,;\,+\infty[ \iff 3-x \in \;]-\infty\,;\,6]\).

6. \(-1 \leqslant 7+2x \leqslant 1 \iff -8 \leqslant 2x \leqslant -6 \iff -4 \leqslant x \leqslant -3\).

\(x \in [-4\,;\,-3] \iff 7+2x \in [-1\,;\,1]\).

Vérification sur une borne, par exemple en 6 : si \(x=-4\), \(7+2 \times (-4) = -1\) ; si \(x=-3\), \(7+2 \times (-3) = 1\).

1. Les points \(M(x\,;\,y)\) vérifient \(x \in \;]1\,;\,4[\) et \(y \in [5\,;\,6]\). L’abscisse est comprise entre les droites verticales \(x=1\) et \(x=4\), l’ordonnée entre les droites horizontales \(y=5\) et \(y=6\) : l’ensemble est l’intérieur d’un rectangle.

• Les côtés verticaux (\(x=1\) et \(x=4\)) sont exclus (inégalités strictes) : on les trace en pointillés.
• Les côtés horizontaux (\(y=5\) et \(y=6\)) sont inclus, sauf leurs extrémités : on les trace en trait plein.

2. On commence par résoudre chaque encadrement.

\[ \begin{aligned} 1 \leqslant 2x+1 \leqslant 4 &\iff 0 \leqslant 2x \leqslant 3 \\ &\iff 0 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 5 \lt 2-5y \lt 6 &\iff 3 \lt -5y \lt 4 \\ &\iff -\frac{4}{5} \lt y \lt -\frac{3}{5} \quad \text{(division par } -5 \text{, le sens change)} \end{aligned} \]

Donc \(x \in \left[0\,;\,\frac{3}{2}\right]\) et \(y \in \left]-\frac{4}{5}\,;\,-\frac{3}{5}\right[\), soit \(0 \leqslant x \leqslant 1{,}5\) et \(-0{,}8 \lt y \lt -0{,}6\). C’est encore un rectangle, cette fois avec les côtés verticaux inclus (trait plein) et les côtés horizontaux exclus (pointillés).

1. La fonction reçoit trois nombres \(a\), \(b\) et \(x\). Elle renvoie True (VRAI) lorsque \(x \gt a\) et \(x \lt b\), c’est-à-dire lorsque \(a \lt x \lt b\), et False (FAUX) sinon.

Ce programme teste si le nombre \(x\) appartient à l’intervalle ouvert \(]a\,;\,b[\) (avec \(a \lt b\)).

2. Il suffit de remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges du côté des bornes incluses. En Python, \(\geqslant\) s’écrit >= et \(\leqslant\) s’écrit <=. En Scratch, qui n’a pas de bloc « ≥ », on écrit par exemple « (x > a) ou (x = a) », ou bien « non (x < a) ».

Intervalle \([a\,;\,b]\) :
def DansIntervalle(a, b, x):
    if x >= a and x <= b:
        return(True)
    else:
        return(False)

Intervalle \(]a\,;\,b]\) : on remplace la ligne 2 par if x > a and x <= b:

Intervalle \([a\,;\,b[\) : on remplace la ligne 2 par if x >= a and x < b:

Exemple de contrôle avec \(a=1\), \(b=3\) : pour \(x=1\), la première version renvoie True, la deuxième False, la troisième True.

1. La fonction reçoit deux nombres \(a\) et \(x\). Elle renvoie True lorsque \(a \lt x\), c’est-à-dire \(x \gt a\), et False sinon. Il n’y a qu’une borne : ce programme teste si \(x\) appartient à l’intervalle \(]a\,;\,+\infty[\).

2. On garde la même structure et on change seulement la condition de la ligne 2.

• \(x \in [a\,;\,+\infty[ \iff x \geqslant a\) : if x >= a: (en Scratch : « (a < x) ou (a = x) »).
• \(x \in \;]-\infty\,;\,a] \iff x \leqslant a\) : if x <= a: (en Scratch : « (x < a) ou (x = a) »).
• \(x \in \;]-\infty\,;\,a[ \iff x \lt a\) : if x < a: (en Scratch : « x < a »).

Par exemple, la version pour \(]-\infty\,;\,a]\) :
def DansIntervalleBis(a, x):
    if x <= a:
        return(True)
    else:
        return(False)

Le mot « ou » correspond à une réunion \(\cup\) : \(x\) est dans l’un des deux ensembles au moins. On résout d’abord chaque inégalité, puis on réunit.

1. \(x \geqslant 3\) ou \(x \leqslant 0\) : \(x \in \;]-\infty\,;\,0] \cup [3\,;\,+\infty[\).
2. \(x-6 \gt 0 \iff x \gt 6\) ; \(5x \leqslant 5 \iff x \leqslant 1\). Donc \(x \in \;]-\infty\,;\,1] \cup \;]6\,;\,+\infty[\).
3. \(-4x \leqslant -20 \iff x \geqslant 5\) (division par \(-4\), le sens change). Donc \(x \in \;]-\infty\,;\,2] \cup [5\,;\,+\infty[\).
4. \(3x \geqslant 12 \iff x \geqslant 4\). Or si \(x \geqslant 4\), alors \(x \geqslant 3\) : la réunion est \([3\,;\,+\infty[ \cup [4\,;\,+\infty[\) = \([3\,;\,+\infty[\).
5. \(7x-4 \geqslant 3 \iff 7x \geqslant 7 \iff x \geqslant 1\) ; \(1-x \gt 0 \iff x \lt 1\). Tout réel vérifie l’une ou l’autre : \(x \in \;]-\infty\,;\,1[ \cup [1\,;\,+\infty[ = \mathbb{R}\).
6. \(1-x \gt -3 \iff -x \gt -4 \iff x \lt 4\) ; \(2x+1 \leqslant 7 \iff x \leqslant 3\). Comme \(]-\infty\,;\,3] \subset \;]-\infty\,;\,4[\), on obtient \(x \in \;]-\infty\,;\,4[\).

Le mot « et » correspond à une intersection \(\cap\) : on garde seulement les nombres communs aux deux intervalles.

1. \(a \lt 3\) et \(a \gt -6\) : \(]-\infty\,;\,3[ \;\cap\; ]-6\,;\,+\infty[\) = \(]-6\,;\,3[\).
2. \(-a \geqslant -7 \iff a \leqslant 7\). On cherche \([-5\,;\,+\infty[ \;\cap\; ]-\infty\,;\,7]\) = \([-5\,;\,7]\).
3. \(2a+1 \lt 3 \iff 2a \lt 2 \iff a \lt 1\) ; \(3a-1 \geqslant 0 \iff a \geqslant \frac{1}{3}\). On cherche \(]-\infty\,;\,1[ \;\cap\; \left[\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\) = \(\left[\frac{1}{3}\,;\,1\right[\).
4. \(3(2-a) \lt 3 \iff 6-3a \lt 3 \iff -3a \lt -3 \iff a \gt 1\) (division par \(-3\)) ; \(a-1 \geqslant 2 \iff a \geqslant 3\). On cherche \(]1\,;\,+\infty[ \;\cap\; [3\,;\,+\infty[\) = \([3\,;\,+\infty[\).

Par définition, \(|x| = x\) si \(x \geqslant 0\) et \(|x| = -x\) si \(x \lt 0\). Un nombre est donc égal à sa valeur absolue si et seulement s’il est positif ou nul. On étudie le signe de chaque nombre.

1. \(2 \geqslant 0\) : oui, \(|2| = 2\).
2. \(3-\frac{8}{3} = \frac{9}{3}-\frac{8}{3} = \frac{1}{3} \geqslant 0\) : oui.
3. \(9\pi \approx 28{,}27 \gt 25\), donc \(25-9\pi \lt 0\) : non, \(|25-9\pi| = 9\pi-25\).
4. \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{3}{6}-\frac{2}{6} = \frac{1}{6} \geqslant 0\) : oui.
5. \(2 \lt 5\) donc \(\sqrt{2} \lt \sqrt{5}\) et \(\sqrt{2}-\sqrt{5} \lt 0\) : non, \(|\sqrt{2}-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-\sqrt{2}\).
6. \(-2+9 \times (-3) = -2-27 = -29 \lt 0\) : non, \(|-29| = 29\).

La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro : on enlève le signe « − » d’un nombre négatif, et un nombre positif reste inchangé.

1. \(|-5| = 5\).
2. \(\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}\) (quotient de deux négatifs, donc positif), donc \(\left|\frac{-2}{-3}\right| = \frac{2}{3}\).
3. \(\sqrt{289} = 17\) car \(17^2 = 289\), donc \(\left|-\sqrt{289}\right| = |-17| = 17\).
4. On calcule d’abord le nombre en respectant les priorités :
   \[ \begin{aligned} 3-\frac{2}{3} \times (6-4) &= 3-\frac{2}{3} \times 2 \\ &= \frac{9}{3}-\frac{4}{3} \\ &= \frac{5}{3} \end{aligned} \]
   Ce nombre est positif, donc \(\left|3-\frac{2}{3} \times (6-4)\right| = \frac{5}{3}\).