Les inéquations en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 7
Voici le corrigé exercices inéquations seconde de cette fiche : sept exercices qui reprennent toutes les bases de la résolution d’inéquations du premier degré. On y travaille le changement de sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, la suppression des dénominateurs, le développement d’un produit avant de résoudre, et le test d’une valeur pour savoir si elle est solution. Les solutions sont écrites sous forme d’intervalles et représentées sur une droite graduée, avec le bon sens des crochets.
La fiche se termine par trois problèmes concrets (comparer deux abonnements, encadrer une somme d’entiers consécutifs, limiter le périmètre d’un rectangle) : il faut alors choisir l’inconnue, traduire l’énoncé en inéquation, puis interpréter le résultat avec une phrase. Cette correction s’adresse aux élèves de seconde, mais aussi aux parents et enseignants qui veulent une résolution rédigée proprement. Le bon usage : chercher chaque exercice seul, au brouillon, puis comparer ligne par ligne avec la solution proposée pour repérer où le raisonnement diverge.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Inéquations : exercices de maths en 2de corrigés en PDF. (7 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 7 sur les inéquations en seconde
Exercice 1 : Inéquations à résoudre
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
Rappel : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ; on peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif sans changer le sens ; si ce nombre est strictement négatif, on change le sens de l’inégalité.
1)
\[ \begin{aligned} 2x + 2 &\geqslant 4x + 6 \\ 2x – 4x &\geqslant 6 – 2 \\ -2x &\geqslant 4 \\ x &\leqslant \frac{4}{-2} \quad \text{(division par } -2 \text{ : on change le sens)} \\ x &\leqslant -2 \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,-2\right] \).
2) On développe d’abord les deux membres.
\[ \begin{aligned} 2(3x + 3) &\gt 5(2x + 3) \\ 6x + 6 &\gt 10x + 15 \\ 6x – 10x &\gt 15 – 6 \\ -4x &\gt 9 \\ x &\lt -\frac{9}{4} \quad \text{(division par } -4 \text{)} \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,-\dfrac{9}{4}\right[ \).
3)
\[ \begin{aligned} 3(2x – 6) &\lt 2x + 6 \\ 6x – 18 &\lt 2x + 6 \\ 6x – 2x &\lt 6 + 18 \\ 4x &\lt 24 \\ x &\lt 6 \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,6\right[ \).
4) On multiplie les deux membres par 3 (positif : le sens ne change pas).
\[ \begin{aligned} \frac{x + 3}{3} &\geqslant 2 \\ x + 3 &\geqslant 6 \\ x &\geqslant 3 \end{aligned} \]
\( S = \left[3\,;\,+\infty\right[ \).
5)
\[ \begin{aligned} \frac{2x – 3}{3} &\leqslant -5 \\ 2x – 3 &\leqslant -15 \\ 2x &\leqslant -12 \\ x &\leqslant -6 \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,-6\right] \).
6) On multiplie par 5 (positif), puis on divise par \(-4\) (négatif : on change le sens).
\[ \begin{aligned} \frac{3 – 4x}{5} &\gt 1 \\ 3 – 4x &\gt 5 \\ -4x &\gt 2 \\ x &\lt -\frac{2}{4} \\ x &\lt -\frac{1}{2} \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[ \).
Exercice 2 : Inéquation du premier degré
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
On considère l’inéquation \( x^2 + 3x \geqslant (x – 1)(x + 2) \).
1. 0 est-il solution ? On calcule séparément chaque membre pour \( x = 0 \).
\[ \begin{aligned} \text{Membre de gauche : } 0^2 + 3 \times 0 &= 0 \\ \text{Membre de droite : } (0 – 1)(0 + 2) &= -1 \times 2 = -2 \end{aligned} \]
Comme \( 0 \geqslant -2 \), l’inégalité est vraie : 0 est solution de l’inéquation.
2. \( -\frac{1}{2} \) est-il solution ?
\[ \begin{aligned} \text{Gauche : } \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{4} – \frac{3}{2} = \frac{1}{4} – \frac{6}{4} = -\frac{5}{4} \\ \text{Droite : } \left(-\frac{1}{2} – 1\right)\left(-\frac{1}{2} + 2\right) &= \left(-\frac{3}{2}\right) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} \end{aligned} \]
Or \( -\frac{5}{4} \geqslant -\frac{9}{4} \) (car \( -5 \geqslant -9 \)). L’inégalité est vraie : \( -\frac{1}{2} \) est solution.
3. Résolution. On développe le second membre :
\[ (x – 1)(x + 2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \]
\[ \begin{aligned} x^2 + 3x &\geqslant x^2 + x – 2 \\ x^2 + 3x – x^2 – x &\geqslant -2 \\ 2x &\geqslant -2 \\ x &\geqslant -1 \end{aligned} \]
Les termes en \( x^2 \) s’éliminent : on se ramène à une inéquation du premier degré. On vérifie la cohérence avec les questions 1 et 2 : \( 0 \geqslant -1 \) et \( -\frac{1}{2} \geqslant -1 \), ces deux nombres sont bien dans l’ensemble des solutions.
Exercice 3 : Résolution d'inéquations
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
a.
\[ \begin{aligned} 2x – 7 &\gt 2 – x \\ 2x + x &\gt 2 + 7 \\ 3x &\gt 9 \\ x &\gt 3 \end{aligned} \]
\( S = \left]3\,;\,+\infty\right[ \).
b.
\[ \begin{aligned} 5 + y &\geqslant 7 + 3y \\ y – 3y &\geqslant 7 – 5 \\ -2y &\geqslant 2 \\ y &\leqslant -1 \quad \text{(division par } -2 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]
\( S = \left]-\infty\,;\,-1\right] \).
c.
\[ \begin{aligned} 3t + 2 &\leqslant 2(1 + 3t) \\ 3t + 2 &\leqslant 2 + 6t \\ 3t – 6t &\leqslant 2 – 2 \\ -3t &\leqslant 0 \\ t &\geqslant 0 \quad \text{(division par } -3 \text{)} \end{aligned} \]
\( S = \left[0\,;\,+\infty\right[ \).
Exercice 4 : Problème et inéquations
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
1. Avec la formule A, on paie la carte 55 € puis 20 € par entrée :
\[ A(y) = 55 + 20y \quad \text{(en euros)} \]
2. Avec la formule B, on paie la carte 80 € puis 15 € par entrée :
\[ B(y) = 80 + 15y \quad \text{(en euros)} \]
3. La formule B est plus intéressante lorsqu’elle coûte strictement moins cher que la formule A :
\[ \begin{aligned} 80 + 15y &\lt 55 + 20y \\ 15y – 20y &\lt 55 – 80 \\ -5y &\lt -25 \\ y &\gt 5 \quad \text{(division par } -5 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]
Le nombre d’entrées \( y \) est un entier naturel : \( y \gt 5 \) signifie \( y \geqslant 6 \). Vérification :
| Nombre d’entrées | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Formule A (€) | 135 | 155 | 175 | 195 |
| Formule B (€) | 140 | 155 | 170 | 185 |
Pour 5 entrées, les deux formules coûtent le même prix (155 €) ; dès 6 entrées, B est moins chère.
Exercice 5 : Inéquation et droite graduée
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
On résout d’abord l’inéquation.
\[ \begin{aligned} -2x + 7 &\lt 5x + 29 \\ -2x – 5x &\lt 29 – 7 \\ -7x &\lt 22 \\ x &\gt -\frac{22}{7} \quad \text{(division par } -7 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]
\( S = \left]-\dfrac{22}{7}\,;\,+\infty\right[ \), avec \( -\frac{22}{7} \approx -3{,}14 \) (entre \(-4\) et \(-3\), proche de \(-3\)).
Sur la droite graduée, on colorie la partie à droite de \( -\frac{22}{7} \). Le nombre \( -\frac{22}{7} \) n’est pas solution (inégalité stricte) : le crochet est tourné vers l’extérieur de la partie coloriée.
Exercice 6 : Somme de 3 entiers consécutifs et inéquation
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
On note \( n \) le plus petit des trois entiers. Les trois entiers consécutifs sont \( n \), \( n + 1 \) et \( n + 2 \) ; le plus grand est \( n + 2 \). Leur somme vaut :
\[ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 \]
« La somme est comprise entre 12 et 27 » se traduit (bornes incluses) par l’encadrement :
\[ \begin{aligned} 12 &\leqslant 3n + 3 \leqslant 27 \\ 12 – 3 &\leqslant 3n \leqslant 27 – 3 \\ 9 &\leqslant 3n \leqslant 24 \\ 3 &\leqslant n \leqslant 8 \end{aligned} \]
Donc \( n \in \{3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\} \) et le plus grand nombre \( n + 2 \) vérifie \( 5 \leqslant n + 2 \leqslant 10 \).
| n | Les trois entiers | Somme | Plus grand |
|---|---|---|---|
| 3 | 3, 4, 5 | 12 | 5 |
| 4 | 4, 5, 6 | 15 | 6 |
| 5 | 5, 6, 7 | 18 | 7 |
| 6 | 6, 7, 8 | 21 | 8 |
| 7 | 7, 8, 9 | 24 | 9 |
| 8 | 8, 9, 10 | 27 | 10 |
Remarque : si l’on comprend « strictement comprise entre 12 et 27 », on exclut les sommes 12 et 27 : il reste \( 4 \leqslant n \leqslant 7 \), et le plus grand nombre vaut alors 6, 7, 8 ou 9.
Exercice 7 : Périmètre et inéquation
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
On note \( L \) la longueur du rectangle, en cm. Sa largeur vaut 5,3 cm, donc son périmètre est :
\[ P = 2 \times (L + 5{,}3) = 2L + 10{,}6 \]
Le périmètre est inférieur ou égal à 37 cm :
\[ \begin{aligned} 2L + 10{,}6 &\leqslant 37 \\ 2L &\leqslant 37 – 10{,}6 \\ 2L &\leqslant 26{,}4 \\ L &\leqslant 13{,}2 \end{aligned} \]
De plus, la longueur doit être strictement supérieure à la largeur : \( L \gt 5{,}3 \). En regroupant les deux conditions :
\[ 5{,}3 \lt L \leqslant 13{,}2 \quad \text{soit} \quad L \in \left]5{,}3\,;\,13{,}2\right] \]
Vérification pour \( L = 13{,}2 \) : \( P = 2 \times (13{,}2 + 5{,}3) = 2 \times 18{,}5 = 37 \) cm, la limite autorisée.
La méthode à retenir sur les inéquations
- Regrouper les termes en \( x \) dans un membre et les nombres dans l’autre, en changeant le signe de ce qu’on fait passer de l’autre côté.
- Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité ; par un nombre positif, le sens est conservé.
- Avec des parenthèses ou un produit, on développe d’abord ; avec un dénominateur positif, on multiplie les deux membres par ce dénominateur.
- Pour tester si un nombre est solution, on calcule chaque membre séparément, puis on compare.
- On écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle : crochet tourné vers les solutions si la borne est incluse (\( \leqslant, \geqslant \)), tourné vers l’extérieur si elle est exclue (\( \lt, \gt \)).
- Dans un problème, on nomme l’inconnue, on traduit l’énoncé, puis on interprète : un nombre d’entrées ou un entier ne prend que des valeurs entières.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par \(-2\), \(-4\) ou \(-7\) (exercices 1, 3 et 5).
- Mal développer \( 2(3x+3) \) ou \( 3(2x-6) \) en ne multipliant que le premier terme.
- Dans le problème des abonnements, répondre « 5 entrées » : pour 5 entrées les deux formules coûtent le même prix, B n’est donc pas plus intéressante.
- Placer le crochet dans le mauvais sens sur la droite graduée ou confondre borne incluse et borne exclue.
- Oublier la condition « longueur supérieure à la largeur » dans l’exercice 7, ce qui donnerait à tort \( 0 \lt L \leqslant 13{,}2 \).
Questions fréquentes
Pourquoi change-t-on le sens de l’inégalité quand on divise par un nombre négatif ?
Multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre des nombres : par exemple \( 2 \lt 3 \) mais \( -2 \gt -3 \). Diviser par \(-4\), c’est multiplier par \(-\frac{1}{4}\), donc l’ordre s’inverse aussi. C’est la seule règle qui distingue vraiment la résolution d’une inéquation de celle d’une équation.
Comment vérifier le résultat d’une inéquation ?
On choisit une valeur dans l’intervalle trouvé et une valeur en dehors, puis on les remplace dans l’inéquation de départ. La première doit rendre l’inégalité vraie, la seconde fausse. On peut aussi tester la borne pour savoir si elle doit être incluse ou exclue.
Faut-il donner la solution sous forme d’intervalle en seconde ?
Oui, en seconde on attend l’ensemble des solutions noté \( S \) sous forme d’intervalle, par exemple \( S = \left]-\infty\,;\,-2\right] \). L’écriture \( x \leqslant -2 \) est juste mais on termine par l’intervalle. Dans un problème concret, on ajoute une phrase de conclusion avec l’unité.
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