Corrigé des 46 exercices sur l’étude de fonctions en seconde : solutions détaillées à télécharger en PDF

a) D’après le tableau, la fonction \(h\) est définie sur \([-4\,;\,3]\) et :

• \(h\) est décroissante sur \([-4\,;\,-1]\) (elle passe de 4 à \(-1\)) ;
• \(h\) est croissante sur \([-1\,;\,1]\) (de \(-1\) à 3) ;
• \(h\) est décroissante sur \([1\,;\,3]\) (de 3 à 0).

b) On compare deux images en utilisant le sens de variation sur un intervalle qui contient les deux nombres.

• \(0\) et \(1\) sont dans \([-1\,;\,1]\) où \(h\) est croissante ; comme \(0 \lt 1\), on a \(h(0) \leqslant h(1)\) (et même \(h(0) \lt h(1)\) pour une fonction strictement croissante).
• \(2\) et \(2{,}5\) sont dans \([1\,;\,3]\) où \(h\) est décroissante ; comme \(2 \lt 2{,}5\), l’ordre est inversé : \(h(2) \geqslant h(2{,}5)\).

c) On place les points \((-4\,;\,4)\), \((-1\,;\,-1)\), \((1\,;\,3)\), \((3\,;\,0)\), puis on les relie en respectant les variations.

Sur la courbe, on lit : \(g(-2) = 2\), \(g(-1) = -1\), \(g(0) = 2\), \(g(1) = 3\), \(g(2) = -2\), \(g(4) = 1\). (L’énoncé écrit « de \(f\) », il s’agit bien de la fonction \(g\).) Le maximum est la plus grande ordonnée atteinte sur l’intervalle, le minimum la plus petite.

• a) Sur \([-2\,;\,0]\) : maximum 2, atteint en \(x = -2\) et en \(x = 0\) ; minimum \(-1\), atteint en \(x = -1\).
• b) Sur \([0\,;\,4]\) : maximum 3 atteint en \(x = 1\) ; minimum \(-2\) atteint en \(x = 2\).
• c) Sur \([-2\,;\,4]\) : maximum 3 en \(x = 1\) ; minimum \(-2\) en \(x = 2\).
• d) Sur \([2\,;\,4]\), \(g\) est croissante : minimum \(-2\) en \(x = 2\) ; maximum 1 en \(x = 4\).

a) Sur \([-7\,;\,3]\) : \(f\) est croissante de \(-4\) à \(2\) sur \([-7\,;\,-3]\), puis décroissante de \(2\) à \(0\) sur \([-3\,;\,3]\). Ainsi, sur cet intervalle, le minimum de \(f\) est \(-4\) (atteint en \(-7\)) et le maximum est \(2\) (atteint en \(-3\)). Donc pour tout \(x\) de \([-7\,;\,3]\) :

\[ -4 \leqslant f(x) \leqslant 2. \]

b) Sur \([-3\,;\,5]\) : \(f\) décroît de \(2\) à \(0\) sur \([-3\,;\,3]\), puis croît de \(0\) à \(3\) sur \([3\,;\,5]\). Ensuite, le minimum est \(0\) (en \(x = 3\)) et le maximum est \(3\) (en \(x = 5\)), car \(3 \gt 2\). Donc pour tout \(x\) de \([-3\,;\,5]\) :

\[ 0 \leqslant f(x) \leqslant 3. \]

Sur la courbe : \(m(-2) = 3\), \(m(-1) = -1\) (point le plus bas), \(m(0) = 2\), puis \(m\) décroît jusqu’à \(m(3) = 0\).

a) Sur \([-2\,;\,3]\), le minimum de \(m\) est \(-1\) (en \(x = -1\)) et le maximum est \(3\) (en \(x = -2\)) :

\[ -1 \leqslant m(x) \leqslant 3. \]

b) Sur \([0\,;\,3]\), \(m\) est décroissante de \(2\) à \(0\) :

\[ 0 \leqslant m(x) \leqslant 2. \]

Une fonction affine \(x \mapsto ax + b\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a \gt 0\), décroissante si \(a \lt 0\) (constante si \(a = 0\)). Puis il suffit donc de lire le coefficient \(a\) devant \(x\).

• \(f(x) = -\tfrac{1}{2}x + 1\) : \(a = -\tfrac{1}{2} \lt 0\), \(f\) est décroissante.
• \(g(x) = -2x – \tfrac{1}{4}\) : \(a = -2 \lt 0\), \(g\) est décroissante.
• \(h(x) = \tfrac{1}{5}x – 2\) : \(a = \tfrac{1}{5} \gt 0\), \(h\) est croissante.
• \(k(x) = -x + 1\) : \(a = -1 \lt 0\), \(k\) est décroissante.

a) La droite représentant \(m\) passe par le point \((0\,;\,m(0)) = (0\,;\,1)\), car son ordonnée à l’origine est 1. Or \(d_2\) coupe l’axe des ordonnées en \(-2\), pas en 1. De même, andréa a donc tort.

b) On utilise l’ordonnée à l’origine \(b\) et un second point.

• \(j(x) = 4x – 2\) : \(j(0) = -2\) et \(j(1) = 2\). La droite passe par \((0\,;\,-2)\) et \((1\,;\,2)\) : c’est \(d_2\).
• \(k(x) = -2x\) : \(k(0) = 0\) et \(k(1) = -2\). Droite passant par l’origine et \((1\,;\,-2)\) : c’est \(d_3\).
• \(\ell(x) = 2\) : fonction constante, droite horizontale à la hauteur 2 : c’est \(d_4\).
• \(m(x) = -0{,}5x + 1\) : \(m(0) = 1\) et \(m(2) = 0\). Droite passant par \((0\,;\,1)\) et \((2\,;\,0)\) : c’est \(d_1\).

Le tableau donne : \(g(-1) = 1\), \(g(0) = 3\), \(g(1) = 0\), \(g(3) = -1\), \(g(4) = 0\), \(g(6) = 2\), avec \(g\) croissante sur \([-1\,;\,0]\), décroissante sur \([0\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,6]\).

a) On place ces six points et on les relie en respectant les flèches du tableau.

b) On cherche les \(x\) tels que \(g(x) \leqslant 0\).

• Sur \([-1\,;\,0]\), \(g(x) \geqslant 1\) : aucune solution.
• Sur \([0\,;\,3]\), \(g\) décroît de 3 à \(-1\) et vaut 0 en \(x = 1\) : \(g(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [1\,;\,3]\).
• Sur \([3\,;\,6]\), \(g\) croît de \(-1\) à 2 et vaut 0 en \(x = 4\) : \(g(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [3\,;\,4]\).

Le tableau donne : \(h(-3) = -5\), \(h(-2) = 0\), \(h(-1) = 2\) (maximum local), \(h(4) = 0\) (minimum local), \(h(4{,}5) = 2\), \(h(6) = 3\). De plus, on cherche les \(x\) tels que \(h(x) \geqslant 2\).

• Sur \([-3\,;\,-1]\), \(h\) croît de \(-5\) à 2 : \(h(x) \geqslant 2\) seulement pour \(x = -1\).
• Sur \([-1\,;\,4]\), \(h\) décroît de 2 à 0 : \(h(x) \geqslant 2\) seulement pour \(x = -1\) (déjà compté).
• Sur \([4\,;\,6]\), \(h\) croît de 0 à 3 et vaut 2 en \(4{,}5\) : \(h(x) \geqslant 2\) pour \(x \in [4{,}5\,;\,6]\).

a) Quand M avance de A vers B, le domaine coloré s’agrandit : on conjecture que \(f\) est croissante sur \([0\,;\,8]\).

b) Plaçons H, le pied de la hauteur issue de C sur \([AB]\) : \(AH = DC = 5\), \(CH = AD = 3\) et \(HB = 8 – 5 = 3\).

Cas \(x \in [0\,;\,5]\). Le domaine coloré est un rectangle de longueur \(x\) et de largeur \(AD = 3\) :

\[ f(x) = 3x. \]

Cas \(x \in [5\,;\,8]\). Le domaine est formé du rectangle AHCD (aire \(5 \times 3 = 15\)) et d’un trapèze rectangle de hauteur \(HM = x – 5\). Ensuite, dans le triangle CHB, rectangle et isocèle en H (\(CH = HB = 3\)), la hauteur du domaine au point M vaut \(MB = 8 – x\). Par ailleurs, le trapèze a donc pour bases \(3\) et \(8 – x\) :

\[ \begin{aligned} f(x) &= 15 + \frac{(3 + 8 – x)(x – 5)}{2} \\ &= 15 + \frac{(11 – x)(x – 5)}{2} \\ &= -0{,}5x^2 + 8x – 12{,}5. \end{aligned} \]

Vérifications : \(f(5) = 15\) (les deux formules se raccordent) et \(f(8) = 19{,}5\), qui est bien l’aire du trapèze \(\frac{(8 + 5) \times 3}{2} = 19{,}5\).

a) \(f(x) = -2x + 3{,}5\) est une fonction affine de coefficient directeur \(a = -2\). Ensuite, comme \(a \lt 0\), \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

b) Deux points suffisent pour tracer une droite : \(f(0) = 3{,}5\) et \(f(1) = -2 + 3{,}5 = 1{,}5\). Puis on trace la droite passant par \(A(0\,;\,3{,}5)\) et \(B(1\,;\,1{,}5)\) ; elle coupe l’axe des abscisses en \(x = 1{,}75\) (car \(-2x + 3{,}5 = 0 \iff x = 1{,}75\)).

Puis la droite « descend » de gauche à droite : quand \(x\) augmente de 1, \(f(x)\) diminue de 2. De plus, c’est cohérent avec le tableau de variation.

Un antécédent de k par h est un nombre x tel que \( h(x) = k \). Ensuite, on résout donc l’équation \( 3x – 8 = k \), qui donne \( x = \dfrac{k + 8}{3} \) : chaque nombre a un seul antécédent.

a) \( 3x – 8 = 3 \iff 3x = 11 \iff x = \dfrac{11}{3} \).

b) \( 3x – 8 = -5 \iff 3x = 3 \iff x = 1 \).

c) \( 3x – 8 = \dfrac{1}{2} \iff 3x = \dfrac{17}{2} \iff x = \dfrac{17}{6} \).

d) \( 3x – 8 = 0{,}1 \iff 3x = 8{,}1 \iff x = 2{,}7 \).

1.

\[ f(6) = \frac{4}{3} \times 6 + 5 = 8 + 5 = 13 \qquad f(7) = \frac{4}{3} \times 7 + 5 = \frac{28}{3} + \frac{15}{3} = \frac{43}{3} \]

2.

\[ f(-5) = \frac{4}{3} \times (-5) + 5 = -\frac{20}{3} + \frac{15}{3} = -\frac{5}{3} \]

On résout \( f(x) = 0 \), c’est-à-dire \( (3 – 2x)(5x – 1) = 0 \). Puis un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

• \( 3 – 2x = 0 \iff x = \dfrac{3}{2} \) ;
• \( 5x – 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{5} \).

Le dénominateur \( 1 + x^2 \) est toujours supérieur ou égal à 1, donc jamais nul : f est bien définie sur \( \mathbb{R} \).

1. \( f(3) = \dfrac{4 \times 3 + 2}{1 + 9} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4 \). Donc \( f(3) \neq 1 \).

2. \( f(2) = \dfrac{8 + 2}{1 + 4} = \dfrac{10}{5} = 2 \) et \( f(0) = \dfrac{0 + 2}{1 + 0} = 2 \). De plus, les images de 2 et de 0 sont égales (à 2).

3.

\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4 \times \frac{1}{2} + 2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{5}{4}} = 4 \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5} \]

4. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (le dénominateur ne s’annule jamais) : \( 4x + 2 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2} \).

Pour lire une image, on part de l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée. Ensuite, pour lire des antécédents, on part de l’axe des ordonnées, on trace la droite horizontale et on lit les abscisses des points d’intersection avec la courbe.

a) Le point de la courbe d’abscisse −1 a pour ordonnée environ 1,5 : f(−1) ≈ 1,5.

b) Le point de la courbe d’abscisse 0 est le sommet : f(0) = 3.

c) La droite d’équation y = 1 coupe la courbe en deux points, d’abscisses environ −1,4 et 1,4 : 1 a deux antécédents, environ −1,4 et 1,4.

d) La droite d’équation y = 3 ne touche la courbe qu’au sommet : 3 a un seul antécédent, 0.

La courbe est formée de deux segments : de \( (-2 \,;\, 1) \) à \( (0 \,;\, 3) \), puis de \( (0 \,;\, 3) \) à \( (3 \,;\, -1) \).

a) g(0) = 3 (sommet de la courbe).

b) g(−2) = 1 (extrémité gauche). Par ailleurs, pour g(1), le point d’abscisse 1 est sur le second segment, qui descend de 4 unités quand x avance de 3 : sa hauteur est \( 3 – \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}7 \). Par ailleurs, graphiquement, on lit g(1) ≈ 1,7.

c)

• −1 : la droite y = −1 ne touche la courbe qu’en son extrémité droite, d’abscisse 3 : un seul antécédent, 3.
• 1 : la droite y = 1 coupe la courbe en deux points : l’extrémité gauche, d’abscisse −2, et un point du second segment, d’abscisse 1,5 (car \( 3 – \dfrac{4}{3} \times 1{,}5 = 3 – 2 = 1 \)).
• 5 : la courbe ne monte pas au-dessus de 3 : 5 n’a aucun antécédent.

La fonction u n’est définie que pour les entiers naturels n (0, 1, 2, 3…).

1. \( u(2) = 4 + 3 \times 2 = 10 \). Puis en revanche, −4 et \( \dfrac{1}{2} \) ne sont pas des entiers naturels : leurs images par u n’existent pas.

2.

• \( 4 + 3n = 40 \iff 3n = 36 \iff n = 12 \), qui est bien un entier naturel : 40 a pour antécédent 12.
• \( 4 + 3n = 147 \iff 3n = 143 \iff n = \dfrac{143}{3} \approx 47{,}67 \). Ce n’est pas un entier (143 n’est pas divisible par 3, car \( 1 + 4 + 3 = 8 \)) : 147 n’a pas d’antécédent par u.

1.

\[ g(2) = 2 \times 2^3 – 3 \times 2 + 1 = 16 – 6 + 1 = 11 \]

2. Un point \( M(x \,;\, y) \) appartient à la courbe de g si et seulement si \( y = g(x) \). Ainsi, comme \( g(2) = 11 \), le point A(2 ; 11) appartient à la courbe.

3. Il suffit de calculer une autre image, par exemple \( g(0) = 0 – 0 + 1 = 1 \) : le point B(0 ; 1) appartient à la courbe. (Autre exemple : \( g(1) = 2 – 3 + 1 = 0 \), donc C(1 ; 0) convient aussi.)

1. On calcule l’image de l’abscisse de M :

\[ g\left(\frac{2}{3}\right) = 5 \times \frac{2}{3} + 2 = \frac{10}{3} + \frac{6}{3} = \frac{16}{3} \]

Or \( \dfrac{16}{3} \neq 5 \) (car \( 5 = \dfrac{15}{3} \)) : le point M n’appartient pas à \( \mathscr{C}_g \).

2. T a une ordonnée nulle, donc son abscisse x vérifie \( g(x) = 0 \) :

\[ 5x + 2 = 0 \iff x = -\frac{2}{5} = -0{,}4 \]

1. \( f(0) = \dfrac{0 + 4}{0 + 1} = 4 \). Or l’ordonnée de A est 5 et \( 4 \neq 5 \) : A n’appartient pas à \( \mathscr{C}_f \).

2. On résout \( f(x) = 0 \) avec \( x \neq -1 \). Ensuite, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul :

\[ 2x + 4 = 0 \iff x = -2 \]

et \( -2 \neq -1 \), donc cette valeur convient.

1. \( f(-1) = 3 \times (-1)^2 + 6 = 3 + 6 = 9 \) : c’est bien l’ordonnée de A, donc A appartient à \( \mathscr{C}_f \).

2. \( f(4) = 3 \times 16 + 6 = 54 \) : B(4 ; 54).

3. On résout \( f(x) = 33 \) :

\[ 3x^2 + 6 = 33 \iff 3x^2 = 27 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3 \]

1. a) \( h(x) = 4 – (x – 3)^2 \). De même, par exemple \( h(0{,}5) = 4 – (-2{,}5)^2 = 4 – 6{,}25 = -2{,}25 \).

b) et c) On place ces 11 points (unité 1 cm sur chaque axe), puis on les relie à main levée par une courbe « arrondie » (et non par des segments). Puis on obtient une parabole tournée vers le bas, de sommet (3 ; 4), symétrique par rapport à la droite x = 3.

2. Avec \( h(x) = \dfrac{3}{x + 1} \) (défini sur [0 ; 5] car \( x + 1 \geqslant 1 \)). Ensuite, par exemple \( h(2{,}5) = \dfrac{3}{3{,}5} = \dfrac{6}{7} \approx 0{,}86 \). Puis valeurs arrondies au centième :

De plus, on place les points et on trace une courbe qui décroît de 3 à 0,5, de moins en moins vite (c’est un morceau d’hyperbole).

1. Marius met au moins 5 litres (quantité minimale délivrée) et au plus 40 litres (capacité du réservoir vide) : \( x \in [5 \,;\, 40] \).

2. La fonction P n’a de sens que pour ces valeurs : son ensemble de définition est \( \mathscr{D}_P = [5 \,;\, 40] \).

3. Le prix payé est le nombre de litres multiplié par le prix d’un litre :

\[ P(x) = 1{,}40 \times x = 1{,}4x \]

Par ailleurs, par exemple, pour un plein de 40 L, Marius paie \( P(40) = 1{,}4 \times 40 = 56 \) €.

1. La bande verticale traverse la largeur du rectangle et doit y tenir : sa largeur x ne peut pas dépasser la plus petite dimension, 5. De plus, une largeur est positive, donc \( x \in [0 \,;\, 5] \).

2. La bande horizontale est un rectangle de dimensions 7 et x, d’aire 7x. Ensuite, la bande verticale a pour dimensions 5 et x, d’aire 5x. Par ailleurs, en additionnant, le carré central de côté x est compté deux fois : on retire son aire \( x^2 \) une fois.

\[ \mathscr{A}(x) = 7x + 5x – x^2 = 12x – x^2 \]

3. Tableau de valeurs avec un pas de 1 :

Vérification pour x = 5 : \( 60 – 25 = 35 \), et l’aire totale du rectangle est 35 : la croix recouvre alors toute la hauteur, ce qui est cohérent (\( 7 \times 5 = 35 \)).

1. Avec \( h(x) = (3x + 1)(5 – x) \) ; par exemple \( h(-1{,}5) = (-4{,}5 + 1)(5 + 1{,}5) = -3{,}5 \times 6{,}5 = -22{,}75 \).

2. \( h(x) = 0 \iff 3x + 1 = 0 \) ou \( 5 – x = 0 \iff x = -\dfrac{1}{3} \) ou \( x = 5 \). Ainsi, mais h est définie sur [−2 ; 2] et 5 n’appartient pas à cet intervalle. (Le tableau le confirmait : h change de signe entre −0,5 et 0.)

1. \( -2x + 5 = -2 \iff -2x = -7 \iff x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5 \).

2. Dans le cas général, \( -2x + 5 = b \iff -2x = b – 5 \iff x = \dfrac{5 – b}{2} \) : tout nombre b a exactement un antécédent. Puis un programme en Python :

b = float(input(« Valeur de b : « ))
x = (5 – b) / 2
print(« L’antécédent de », b, « est », x)

De même, en langage naturel : saisir b ; x prend la valeur (5 − b) / 2 ; afficher x. Test : pour b = −2, le programme affiche 3,5.

1. \( h(0) = 0 + 0 + b = b \), et le tableau donne \( h(0) = -7 \) : b = −7.

\( h(1) = 1 + a – 7 = a – 6 \), et le tableau donne \( h(1) = -3 \) : \( a – 6 = -3 \), donc a = 3.

Vérification avec les deux autres colonnes : \( h(-1) = 1 – 3 – 7 = -9 \) et \( h(2) = 4 + 6 – 7 = 3 \). ✔ Donc \( h(x) = x^2 + 3x – 7 \).

2. \( h(-1) = -9 \) et \( h(1) = -3 \). Ensuite, comme \( h(-1) \neq h(1) \), h n’est pas paire. Puis comme \( h(-1) \neq -h(1) = 3 \), h n’est pas impaire.

3. \( h(x) = -7 \iff x^2 + 3x – 7 = -7 \iff x^2 + 3x = 0 \iff x(x + 3) = 0 \iff x = 0 \) ou \( x = -3 \).

On lit sur la courbe deux points marqués : \( (0 \,;\, 3) \) et \( (2 \,;\, 5) \) (ainsi que \( (-2 \,;\, 5) \)).

• \( f(0) = a \times 0 + b = b \) et \( f(0) = 3 \), donc b = 3.
• \( f(2) = 4a + 3 \) et \( f(2) = 5 \), donc \( 4a = 2 \) et \( a = \dfrac{1}{2} \).

Ainsi \( f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3 \). Ensuite, on résout alors \( f(x) = 10 \) :

\[ \frac{1}{2}x^2 + 3 = 10 \iff \frac{1}{2}x^2 = 7 \iff x^2 = 14 \iff x = \sqrt{14} \text{ ou } x = -\sqrt{14} \]

(\( \sqrt{14} \approx 3{,}74 \) : ces points sont en dehors de la fenêtre du graphique, d’où l’intérêt du calcul.)

A. Un cas particulier

1. Avec BM = 3 cm, on enlève dans chaque coin un carré de 3 cm de côté. Puis le fond de la boîte est un carré de côté \( 15 – 2 \times 3 = 9 \) cm et les quatre rabats sont des rectangles de 9 cm sur 3 cm, que l’on replie pour former les côtés.

2. La boîte est un pavé droit de base 9 cm × 9 cm et de hauteur 3 cm :

\[ V = 9 \times 9 \times 3 = 243 \text{ cm}^3 \]

3. Avec BM = 8 cm, les deux coins d’un même côté mesureraient \( 2 \times 8 = 16 \) cm, plus que les 15 cm du côté du carré : c’est impossible. De plus, il faut \( 2 \times BM \lt 15 \), soit \( BM \lt 7{,}5 \) cm.

Partie B : la fonction volume

B. Une fonction

1. Si BM = x, le fond est un carré de côté \( 15 – 2x \) et la hauteur vaut x :

\[ V(x) = x(15 – 2x)^2 \]

2. Il faut \( x \geqslant 0 \) et \( 15 – 2x \geqslant 0 \), c’est-à-dire \( x \leqslant 7{,}5 \). Ensuite, l’ensemble de définition de V est \( [0 ; 7{,}5] \) (pour x = 0 ou x = 7,5, la « boîte » est plate et son volume est nul).

3. On trace la courbe sur la calculatrice avec la fenêtre \( 0 \leqslant x \leqslant 7{,}5 \) et \( 0 \leqslant y \leqslant 275 \).

Résoudre l’inéquation (question 4)

4. On cherche les x pour lesquels la courbe est au-dessus de la droite d’équation y = 100 (ou dessus). Par ailleurs, les points d’intersection ont pour abscisses environ 0,51 et 5,34 (on le confirme au tableau de valeurs : \( V(0{,}5) = 98 \), \( V(0{,}6) \approx 114{,}3 \), \( V(5{,}3) \approx 102{,}6 \), \( V(5{,}4) \approx 95{,}3 \)).

De plus, le volume est supérieur ou égal à 100 cm³ pour x compris entre 0,51 et 5,34 environ.

5. 1 dL = 0,1 L = 100 cm³. Par ailleurs, d’après la question précédente, le volume dépasse 1 dL dès que x est entre 0,51 et 5,34 environ : oui. Ainsi, par exemple avec x = 2,5 : le fond mesure \( 15 – 5 = 10 \) cm de côté et \( V = 10 \times 10 \times 2{,}5 = 250 \text{ cm}^3 \), soit 2,5 dL. De même, c’est d’ailleurs le volume maximal que l’on lit sur la courbe.

1. M est sur le segment [AB] qui mesure 6 cm, donc \( 0 \leqslant AM \leqslant 6 \) : AM ne peut pas valoir 7. Puis on a aussi BN = x ≤ BC = 8, qui est alors automatiquement vérifié. Ensuite, l’ensemble de définition de f est \( [0 ; 6] \).

2. L’aire de MNPQ est l’aire du rectangle moins celle des quatre triangles rectangles des coins :

• en A : AM = x et AQ = AD − DQ = 8 − x, aire \( \frac{x(8 – x)}{2} \) ;
• en B : BM = 6 − x et BN = x, aire \( \frac{x(6 – x)}{2} \) ;
• en C : CN = 8 − x et CP = x, aire \( \frac{x(8 – x)}{2} \) ;
• en D : DP = 6 − x et DQ = x, aire \( \frac{x(6 – x)}{2} \).

\[ \begin{aligned} f(x) &= 6 \times 8 – 2 \times \frac{x(8 – x)}{2} – 2 \times \frac{x(6 – x)}{2} \\ &= 48 – (8x – x^2) – (6x – x^2) \\ &= 2x^2 – 14x + 48 \end{aligned} \]

Lecture graphique (question 3)

3. Fenêtre adaptée : \( 0 \leqslant x \leqslant 6 \) et \( 0 \leqslant y \leqslant 50 \) (f(0) = 48, f(6) = 36 et la courbe descend jusqu’à 23,5 pour x = 3,5).

4. On résout \( f(x) \geqslant 24 \) :

\[ 2x^2 – 14x + 48 \geqslant 24 \iff 2x^2 – 14x + 24 \geqslant 0 \iff x^2 – 7x + 12 \geqslant 0 \]

Or \( (x – 3)(x – 4) = x^2 – 7x + 12 \). Puis le produit \( (x – 3)(x – 4) \) est positif ou nul quand les deux facteurs ont le même signe, c’est-à-dire pour \( x \leqslant 3 \) ou \( x \geqslant 4 \). Ensuite, avec \( x \in [0 ; 6] \) :

On lit sur la courbe : f(−4) = 2 ; la courbe descend jusqu’à son point le plus bas, d’abscisse −1 et d’ordonnée environ −1,8 ; puis elle remonte jusqu’à f(5) = 2.

Lectures graphiques : f(−4) = 2 ; minimum d’environ −1,6 en x = −1 ; maximum local 1 en x = 1 ; la courbe s’arrête en x = 4,5 avec f(4,5) = −1,5.

La courbe part de (−3 ; 2), descend jusqu’à son point le plus bas, d’ordonnée −1, atteint pour x ≈ −0,3 (très légèrement à gauche de l’axe des ordonnées), puis remonte jusqu’au point d’abscisse 4, d’ordonnée environ 1,5.

Remarque : avec la précision du dessin, on ne peut pas affirmer que le minimum est atteint exactement en 0 ; une lecture « x ≈ −0,3 » ou « x proche de 0 » est acceptée.

1. La fonction f est définie sur [−3 ; 4].

• f est croissante sur [−3 ; 0] : quand x augmente de −3 à 0, f(x) augmente de 1 à 3.
• f est décroissante sur [0 ; 4] : quand x augmente de 0 à 4, f(x) diminue de 3 à −4.
• Son maximum est 3, atteint en x = 0 ; son minimum est −4, atteint en x = 4.

2.

Pour chaque courbe, on repère les extrémités et les points où la courbe change de sens (sommets et creux), puis on lit leurs coordonnées.

a)

b) (la courbe commence vers x ≈ −2,3)

c)

d) (le dernier creux est légèrement à gauche de l’axe des ordonnées)

1. a) D’après le tableau, g est décroissante sur [2 ; 5].

b) 3 et 4 appartiennent à [2 ; 5] et \( 3 \lt 4 \). De plus, une fonction décroissante change l’ordre : \( g(3) \gt g(4) \). Ensuite, le plus grand est g(3).

2. 1 et 1,5 appartiennent à [1 ; 2], où g est croissante : elle conserve l’ordre. Puis comme \( 1 \lt 1{,}5 \), on a \( g(1) \lt g(1{,}5) \).

3. −2 et 0 appartiennent à [−3 ; 1], où g est décroissante. De plus, comme \( -2 \lt 0 \), on a \( g(-2) \gt g(0) \).

1. a) 2 et 4 sont dans [1 ; 7], où f est décroissante, et \( 2 \lt 4 \) : donc \( f(2) \gt f(4) \).

b) −2 et −1 sont dans [−2 ; 0], où f est décroissante, et \( -2 \lt -1 \) : donc \( f(-2) \gt f(-1) \) (f(−2) = 5 est d’ailleurs le maximum de f).

2. On cherche le minimum de f. Par ailleurs, sur [−2 ; 1], f(x) est au moins égal à 1 ; sur [1 ; 7], f décroît de 4 à 0, donc \( f(x) \geqslant 0 \). Ainsi f(x) ≥ 0 pour tout x de l’ensemble de définition :

\[ S = [-2 ; 7] \]

3. On sait que f(−1,5) = 4.

• Sur [−2 ; 0], f décroît de 5 à 1 : \( f(x) \gt 4 \) pour \( x \in [-2 ; -1{,}5[ \) et \( f(x) \leqslant 4 \) pour \( x \in [-1{,}5 ; 0] \).
• Sur [0 ; 1], f croît de 1 à 4 : \( f(x) \leqslant 4 \).
• Sur [1 ; 7], f décroît de 4 à 0 : \( f(x) \leqslant 4 \).

\( f(x) \leqslant 4 \) a pour ensemble de solutions \( [-1{,}5 ; 7] \) et \( f(x) \gt 4 \) a pour ensemble de solutions \( [-2 ; -1{,}5[ \).

1. La courbe de f va du point (−3 ; 6) au point (2 ; −1) en descendant toujours : f est décroissante sur [−3 ; 2].

• f admet un maximum égal à 6, atteint pour x = −3 ;
• f admet un minimum égal à −1, atteint pour x = 2.

2. La courbe de g part du point (−3 ; −2,5 environ), monte jusqu’à 2 en x = −2, redescend vers 1,4 en x = −1, remonte jusqu’à 2 en x = 0, puis redescend jusqu’à 1 environ en x = 0,5.

• g admet un maximum égal à 2, atteint deux fois : pour x = −2 et pour x = 0 ;
• g admet un minimum d’environ −2,5 (lecture graphique), atteint pour x = −3.

1. La courbe commence au point d’abscisse −1 et s’arrête au point d’abscisse 3 : \( D_f = [-1 ; 3] \).

2. Les points les plus hauts ont pour ordonnée 1,5 : le maximum de f est 1,5, atteint pour x = 0 et x = 2.

3. Les points les plus bas ont pour ordonnée −0,5 : le minimum de f est −0,5, atteint pour x = −1, x = 1 et x = 3.

Le tableau impose : f définie sur [−2,5 ; 2,5], f(−2,5) = −2, croissante jusqu’à f(1) = 1,5, puis décroissante jusqu’à f(2,5) = −1. Par ailleurs, on élimine :

• la courbe ② : elle commence en x = −2 avec une ordonnée voisine de −2,5 ;
• la courbe ③ : elle commence en x = −3 et descend d’abord ;
• la courbe ④ : elle descend entre −2 et −1, alors que f doit être croissante sur [−2,5 ; 1].

Ainsi, la courbe ① part de (−2,5 ; −2), monte jusqu’à (1 ; 1,5) puis descend jusqu’à (2,5 ; −1) : elle correspond.

On traduit chaque propriété :

• définie sur [−3 ; 5], croissante sur [−3 ; −1], décroissante sur [−1 ; 4], croissante sur [4 ; 5] : les valeurs de x du tableau sont −3, −1, 4 et 5 ;
• l’image de −3 est 1 : f(−3) = 1 ;
• sur [−3 ; 4], f monte puis descend, donc son maximum est atteint en −1 : f(−1) = 6 ;
• sur [−1 ; 5], f descend puis monte, donc son minimum est atteint en 4 : f(4) = −3 ;
• 5 est un antécédent de 7 : f(5) = 7.

1. Attention : la commande tapée dans Xcas trace \( 0{,}5x^3 + 0{,}375x^2 – 2{,}25x + 2 \), c’est-à-dire \( \frac{f(x)}{2} + 1 \), et non f elle-même. De même, diviser par 2 et ajouter 1 ne change pas le sens de variation : la courbe affichée a les mêmes variations que f, aux mêmes valeurs de x.

Ensuite, on lit un sommet pour x = −1,5 et un creux pour x = 1. Puis on calcule les images avec l’expression de f :

\[ \begin{aligned} f(-5) &= -125 + 18{,}75 + 22{,}5 + 2 = -81{,}75 \\ f(-1{,}5) &= -3{,}375 + 1{,}6875 + 6{,}75 + 2 = 7{,}0625 \\ f(1) &= 1 + 0{,}75 – 4{,}5 + 2 = -0{,}75 \\ f(5) &= 125 + 18{,}75 – 22{,}5 + 2 = 123{,}25 \end{aligned} \]

Étudier les variations de trois autres fonctions (question 2)

2. a) Pour \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \), la courbe change de sens en 0 et en 2 : f(−3) = −52, f(0) = 2, f(2) = −2, f(3) = 2.

b) \( x^2 – 6x + 10 = (x – 3)^2 + 1 \) : ce dénominateur est le plus petit en x = 3 (il vaut 1), il décroît sur [0 ; 3] et croît sur [3 ; 5]. Puis son inverse g varie en sens contraire : g(0) = 1/10 = 0,1, g(3) = 1, g(5) = 1/5 = 0,2.

c) \( x \mapsto 0{,}001x^5 \) et \( x \mapsto 4x – 2 \) sont croissantes, donc leur somme h est croissante sur [−5 ; 4] : h(−5) = −3,125 − 20 − 2 = −25,125 et h(4) = 1,024 + 16 − 2 = 15,024.

• a) \( f(x) = -2x + 4 \) est une fonction affine de coefficient directeur −2, négatif : f est décroissante sur \( \mathbb{R} \) → tableau \( u_3 \).
• b) La fonction cube est croissante sur \( \mathbb{R} \) → tableau \( u_4 \).
• c) La fonction carré est décroissante sur \( ]-\infty ; 0] \), croissante sur \( [0 ; +\infty[ \), avec h(0) = 0 → tableau \( u_2 \).
• d) \( \sqrt{x} \) n’existe que pour \( x \geqslant 0 \) ; la fonction racine carrée est croissante et k(0) = 0 + 1 = 1 → tableau \( u_1 \). (L’énoncé dit « définie sur ℝ », mais k n’est définie que sur \( [0 ; +\infty[ \).)

a) On lit : f(−2) = 1 ; un creux d’ordonnée environ −0,2 pour x ≈ −1,3 ; un sommet (0,5 ; 4) ; f(2,5) = 2.

b) g est affine de coefficient directeur −5, négatif : g est décroissante sur \( \mathbb{R} \).

c) h est la fonction carré : décroissante sur \( ]-\infty ; 0] \) et croissante sur \( [0 ; +\infty[ \), avec un minimum h(0) = 0.

d) Ici, aucune formule ni aucun graphique n’est donné : on ne peut pas déterminer les variations de k par le calcul. Ensuite, on peut seulement faire une hypothèse raisonnable : plus Jonas révise, meilleure est sa note, donc k serait croissante, sans jamais dépasser 20 (et elle pourrait même baisser si Jonas révise trop longtemps et arrive fatigué au devoir).

1. N est sur le segment [BC] de longueur 8 cm, donc \( 0 \leqslant BN \leqslant 8 \). De plus AM = x ≤ AB = 10 et CP = x ≤ CD = 10 sont alors vérifiés. Donc \( x \in [0 ; 8] \).

2. M est sur [AB] : \( BM = AB – AM = 10 – x \).

3. N est sur [BC] : \( CN = BC – BN = 8 – x \).

4. Le triangle BMN est rectangle en B :

\[ \mathcal{A}_{BMN} = \frac{BM \times BN}{2} = \frac{(10 – x) \times x}{2} = \frac{10x – x^2}{2} \]

5. Le triangle CNP est rectangle en C : \( \mathcal{A}_{CNP} = \frac{CN \times CP}{2} = \frac{(8 – x)x}{2} = \frac{8x – x^2}{2} \). Donc :

\[ f(x) = \frac{10x – x^2}{2} + \frac{8x – x^2}{2} = \frac{18x – 2x^2}{2} = 9x – x^2 \]

6. a) On développe :

\[ -(x – 4{,}5)^2 + 20{,}25 = -(x^2 – 9x + 20{,}25) + 20{,}25 = -x^2 + 9x = f(x) \]

b) Un carré est toujours positif ou nul, donc \( -(x – 4{,}5)^2 \leqslant 0 \) et \( f(x) \leqslant 20{,}25 \) pour tout x. De plus, l’égalité a lieu quand \( x – 4{,}5 = 0 \), soit x = 4,5, qui appartient bien à [0 ; 8].

1. \[ h(20) = -0{,}05 \times 20^2 + 0{,}9 \times 20 + 2 = -20 + 18 + 2 = 0 \]

Par ailleurs, la hauteur est nulle : la balle touche le sol au bout de 20 mètres.

2. a) On développe :

\[ \begin{aligned} -0{,}05(x – 9)^2 + 6{,}05 &= -0{,}05(x^2 – 18x + 81) + 6{,}05 \\ &= -0{,}05x^2 + 0{,}9x – 4{,}05 + 6{,}05 \\ &= -0{,}05x^2 + 0{,}9x + 2 = h(x) \end{aligned} \]

b) Un carré est toujours positif ou nul : \( (x – 9)^2 \geqslant 0 \) pour tout x.

c) Donc \( -0{,}05(x – 9)^2 \leqslant 0 \) et \( h(x) \leqslant 6{,}05 \). Ainsi, l’égalité a lieu pour \( x = 9 \) : \( h(9) = 6{,}05 \).