Corrigé des 24 exercices sur la fonction carré et les polynômes en seconde à télécharger en PDF

a) \(g(x) = -3x^2 + 6x – 1\) avec un coefficient \(a = -3 \lt 0\) devant \(x^2\) : la parabole est « tournée vers le bas », donc \(g\) admet un maximum (et pas de minimum).

b) Tableau de valeurs sur \([-3\,;\,3]\) avec le pas 1 :

c) Les valeurs sont symétriques autour de \(x = 1\) : \(g(0) = g(2) = -1\), \(g(-1) = g(3) = -10\). Puis l’axe de symétrie de la parabole est la droite \(x = 1\), donc \(\alpha = 1\) et \(\beta = g(1) = -3 + 6 – 1 = 2\).

d) On place les points du tableau et le sommet \(S(1\,;\,2)\), puis on trace la parabole.

a) À l’écran, la parabole de \(h(x) = 2x^2 + 8x + 3\) est tournée vers le haut (\(a = 2 \gt 0\)). Ensuite, son point le plus bas semble être \(S(-2\,;\,-5)\).

b) Le logiciel résout \(h(x) = 3\) et trouve \(x = 0\) ou \(x = -4\). Ensuite, les points \((0\,;\,3)\) et \((-4\,;\,3)\) de la parabole ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe de la parabole. Puis l’abscisse du sommet est donc le milieu de \(-4\) et \(0\) :

\[ \alpha = \frac{-4 + 0}{2} = -2 \quad \text{et} \quad \beta = h(-2) = 2 \times 4 + 8 \times (-2) + 3 = -5. \]

Puis la conjecture est démontrée : \(S(-2\,;\,-5)\).

c) Tracé à l’aide de quelques valeurs : \(h(-5) = 13\), \(h(-4) = 3\), \(h(-3) = -3\), \(h(-2) = -5\), \(h(-1) = -3\), \(h(0) = 3\), \(h(1) = 13\).

a) \(2x – 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}\) (coefficient 2 positif : − puis +) ; \(x + 8 = 0 \iff x = -8\) (− puis +). De plus, on range les valeurs dans l’ordre croissant : \(-8\) puis \(\frac{1}{2}\), et on applique la règle des signes.

b) \((2x – 1)(x + 8) \geqslant 0\) : on garde les « + » et les zéros.

\[ S = \left]-\infty\,;\,-8\right] \cup \left[\tfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[ \]

c) On trace à la calculatrice la courbe de \(x \mapsto (2x – 1)(x + 8)\) : c’est une parabole qui coupe l’axe des abscisses en \(-8\) et \(\frac{1}{2}\) et qui est au-dessus de l’axe en dehors de ces deux valeurs. De plus, c’est cohérent avec la réponse b).

a) \(4 + x = 0 \iff x = -4\) et \(2 + x = 0 \iff x = -2\). Ensuite, les deux facteurs ont un coefficient positif devant \(x\) : chacun est négatif à gauche de sa racine et positif à droite.

b) \((4 + x)(2 + x) \lt 0\) : on garde la case « − », racines exclues (inégalité stricte).

Pour chaque inéquation, on trace la courbe du produit (une parabole) puis on dresse le tableau de signes des deux facteurs.

1) \((x + 5)(-3x + 1) \gt 0\). Racines : \(-5\) et \(\frac{1}{3}\). Par ailleurs, le produit est positif entre les racines.

\(S_1 = \left]-5\,;\,\tfrac{1}{3}\right[\).

2) \((3 – 2x)(x + 5) \lt 0\). Racines : \(-5\) et \(\frac{3}{2}\). Puis le produit est négatif à l’extérieur des racines.

\(S_2 = \left]-\infty\,;\,-5\right[ \cup \left]\tfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\).

Résoudre les inéquations 3 et 4 (exercice 5)

3) \(x(-2x + 8) \geqslant 0\). Racines : \(0\) et \(4\). Ensuite, le produit est positif entre les racines, zéros inclus.

\(S_3 = [0\,;\,4]\).

4) \((1 – 2x)(6 – 3x) \leqslant 0\). Racines : \(\frac{1}{2}\) et \(2\). Puis les deux facteurs ont un coefficient négatif : chacun est positif puis négatif ; le produit est négatif entre les racines.

\(S_4 = \left[\tfrac{1}{2}\,;\,2\right]\).

Notons \(x = AM\) (en cm). Par ailleurs, M est sur \([AD]\) donc \(0 \leqslant x \leqslant 2\) ; alors \(AN = 2x \leqslant 4 \lt 5\), N est bien sur \([AB]\). De plus, le triangle AMN est rectangle en A :

\[ \mathcal{A}_{AMN} = \frac{AM \times AN}{2} = \frac{x \times 2x}{2} = x^2. \]

a) L’aire du rectangle est \(5 \times 2 = 10\) cm². Ensuite, on veut \(\frac{10}{4} \leqslant x^2 \leqslant \frac{10}{2}\), soit \(2{,}5 \leqslant x^2 \leqslant 5\). Ainsi, comme \(x \geqslant 0\) et que la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) :

\[ \sqrt{2{,}5} \leqslant x \leqslant \sqrt{5}. \]

De même, mais \(x \leqslant 2\) et \(\sqrt{5} \approx 2{,}24 \gt 2\). Donc \(x \in \left[\sqrt{2{,}5}\,;\,2\right]\), avec \(\sqrt{2{,}5} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}58\).

b) Trois quarts de l’aire du rectangle : \(7{,}5\) cm². Or \(x \leqslant 2\) donne \(x^2 \leqslant 4 \lt 7{,}5\). Par ailleurs, l’aire de AMN ne dépasse jamais 4 cm² : Xavier a raison.

M est sur \([AB]\) avec \(BM = x\), donc \(0 \leqslant x \leqslant 5\). Puis les droites \((MN)\) et \((AC)\) sont toutes deux perpendiculaires à \((AB)\), donc parallèles. Ensuite, dans le triangle ABC, le théorème de Thalès donne :

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} \quad \text{donc} \quad MN = \frac{10x}{5} = 2x. \]

Ensuite, aire du triangle BMN (rectangle en M) : \(\frac{x \times 2x}{2} = x^2\). Puis aire de ABC : \(\frac{5 \times 10}{2} = 25\) cm², dont le quart vaut \(6{,}25\) cm².

\[ x^2 \geqslant 6{,}25 \iff x \geqslant 2{,}5 \quad (\text{car } x \geqslant 0). \]

De plus, avec \(x \leqslant 5\) : \(x \in [2{,}5\,;\,5]\).

a) Avec 5,5 : \(5{,}5 + 7 = 12{,}5\) ; \(12{,}5^2 = 156{,}25\) ; \(2 \times 156{,}25 = 312{,}5\) ; \(312{,}5 – 8 = \mathbf{304{,}5}\).

b) Avec \(x\) : on obtient \(f(x) = 2(x + 7)^2 – 8\) (forme développée : \(2x^2 + 28x + 90\)).

c) Un carré est toujours positif ou nul : \((x + 7)^2 \geqslant 0\), donc \(2(x + 7)^2 \geqslant 0\) et \(f(x) \geqslant -8\). Par ailleurs, l’égalité a lieu quand \(x + 7 = 0\), c’est-à-dire \(x = -7\).

Le logiciel donne la forme canonique : \(f(x) = -2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 – 3\).

a) Programme de calcul associé :

• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 1,5.
• Élever le résultat au carré.
• Multiplier par \(-2\).
• Soustraire 3.

b) Avec 0 : \(0 + 1{,}5 = 1{,}5\) ; \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ; \(-2 \times 2{,}25 = -4{,}5\) ; \(-4{,}5 – 3 = \mathbf{-7{,}5}\) (on retrouve \(f(0) = -7{,}5\)).
Avec \(-1{,}5\) : \(-1{,}5 + 1{,}5 = 0\) ; \(0^2 = 0\) ; \(-2 \times 0 = 0\) ; \(0 – 3 = \mathbf{-3}\).

c) \(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 \geqslant 0\), donc \(-2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 \leqslant 0\) et \(f(x) \leqslant -3\), avec égalité pour \(x = -1{,}5\).

1. a) Algorithme :

• Saisir \(x\).
• \(A\) prend la valeur \(x^2\) ; \(B\) prend la valeur \(2x – 1\).
• Si \(A \lt B\) alors afficher \(A\), sinon afficher \(B\).

b) Tests : pour \(x = 0\), \(x^2 = 0\) et \(2x – 1 = -1\), l’algorithme affiche \(-1\) ; pour \(x = 3\) : 9 et 5, il affiche 5 ; pour \(x = -2\) : 4 et \(-5\), il affiche \(-5\) ; pour \(x = 1\) : 1 et 1, il affiche 1. Conjecture : le plus petit des deux est toujours \(2x – 1\), autrement dit \(2x – 1 \leqslant x^2\) pour tout \(x\).

2. a) et b) À l’écran, la droite d’équation \(y = 2x – 1\) est toujours sous la parabole \(y = x^2\) ; elle la touche en un seul point, \(T(1\,;\,1)\). Ainsi, cela confirme la conjecture.

3. On étudie la différence :

\[ x^2 – (2x – 1) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 \geqslant 0. \]

Donc \(x^2 \geqslant 2x – 1\) pour tout réel \(x\), avec égalité seulement pour \(x = 1\).

Les quatre fonctions sont des fonctions polynômes de degré 2. Puis pour associer chacune à sa courbe, on utilise deux indices : le signe du coefficient de \(x^2\) (parabole tournée vers le haut si il est positif, vers le bas si il est négatif) et les coordonnées du sommet, faciles à lire sur une forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) : le sommet est \(S(\alpha\,;\,\beta)\).

De même, sur le quadrillage, une unité correspond à deux carreaux (on le voit avec les graduations 1 sur chaque axe).

• \(f(x) = x^2 + 4x + 1\) : on complète le carré, \(x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 – 4 + 1 = (x+2)^2 – 3\). Coefficient \(1 \gt 0\), sommet \((-2\,;\,-3)\). De plus \(f(0) = 1\). C’est la parabole bleue : \(f\) est représentée par \(\mathcal{P}_2\).
• \(g(x) = (x-1)^2 – 2\) : coefficient \(1 \gt 0\), sommet \((1\,;\,-2)\). C’est la parabole verte : \(g\) est représentée par \(\mathcal{P}_1\).
• \(h(x) = -\dfrac{1}{2}(x+1)^2 + 3\) : coefficient \(-\dfrac{1}{2} \lt 0\) (tournée vers le bas), sommet \((-1\,;\,3)\). C’est la parabole violette : \(h\) est représentée par \(\mathcal{P}_3\).
• \(k(x) = -x^2 + x\) : coefficient \(-1 \lt 0\), et \(k(x) = x(1-x)\) s’annule en 0 et en 1. Son sommet est au milieu, en \(x = 0{,}5\), avec \(k(0{,}5) = -0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}25\). C’est la parabole rouge : \(k\) est représentée par \(\mathcal{P}_4\).

Les trois fonctions sont écrites sous forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha = -1\) : les trois sommets ont la même abscisse \(-1\). De plus, on les distingue sans calculatrice par le signe de \(a\) et par l’ordonnée \(\beta\) du sommet.

• \(f(x) = -2(x+1)^2 + 3\) : \(a = -2 \lt 0\), la parabole est tournée vers le bas, de sommet \((-1\,;\,3)\). Une seule courbe est tournée vers le bas : \(f\) correspond à \(\mathcal{P}_3\).
• \(g(x) = 2(x+1)^2 – 3\) : \(a = 2 \gt 0\), tournée vers le haut, sommet \((-1\,;\,-3)\) en dessous de l’axe des abscisses : \(g\) correspond à \(\mathcal{P}_1\).
• \(h(x) = 2(x+1)^2 + 3\) : \(a = 2 \gt 0\), tournée vers le haut, sommet \((-1\,;\,3)\) au-dessus de l’axe des abscisses : \(h\) correspond à \(\mathcal{P}_2\).

Vérification avec les points marqués : \(g(0) = 2 – 3 = -1\) et \(g(-2) = 2 – 3 = -1\), ce sont bien les deux croix de \(\mathcal{P}_1\) sur la droite d’ordonnée \(-1\) ; \(f(0) = -2 + 3 = 1\), croix de \(\mathcal{P}_3\) à l’ordonnée 1.

On lit dans le tableau : \(h\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), son minimum est 3, atteint en \(x = 1\), et \(h(0) = 4\), \(h(3) = 7\).

Ensuite, la courbe d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole, symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par son sommet, ici la droite d’équation \(x = 1\) : deux nombres symétriques par rapport à 1 (comme 0 et 2, ou \(-1\) et 3) ont la même image.

a) Sur l’image, une partie de l’affirmation est effacée ; on lit « h … 4 », c’est-à-dire \(h(0) = 4\). Ensuite, le tableau donne bien 4 sous le 0 : l’affirmation est vraie. Attention : 4 n’est pas le minimum de \(h\), le minimum vaut 3.

b) \(-1\) et 3 sont symétriques par rapport à 1, car \(\dfrac{-1 + 3}{2} = 1\). Donc \(h(-1) = h(3) = 7\) : vrai.

c) \(3{,}5 \gt 3\) : sur \(]-\infty\,;\,1]\), \(h\) décroît vers 3 en prenant toutes les valeurs supérieures à 3, donc 3,5 a un antécédent inférieur à 1 ; sur \([1\,;\,+\infty[\), \(h\) croît à partir de 3, donc 3,5 a aussi un antécédent supérieur à 1. Par ailleurs, le nombre 3,5 a deux antécédents : faux.

Vrai ou faux : les questions d et e (exercice 13)

d) Le minimum de \(h\) est 3, donc pour tout réel \(x\), \(h(x) \geqslant 3\). Puis on ne peut jamais avoir \(h(x) = 1\) : l’équation n’a pas de solution, c’est vrai.

e) Pour \(x \leqslant 0\), \(h\) est décroissante donc \(h(x) \geqslant h(0) = 4\) : ces nombres sont bien solutions. Puis mais ce ne sont pas les seules : par symétrie \(h(2) = h(0) = 4\), et pour \(x \geqslant 2\), \(h(x) \geqslant 4\). De plus, par exemple \(h(3) = 7 \geqslant 4\) alors que \(3 \gt 0\). Ensuite, les solutions sont \(]-\infty\,;\,0] \cup [2\,;\,+\infty[\) : l’affirmation est fausse.

Remarque : les données du tableau correspondent à \(h(x) = (x-1)^2 + 3\) (on vérifie \(h(0) = 1 + 3 = 4\) et \(h(3) = 4 + 3 = 7\)).

Deux fonctions ont un coefficient de \(x^2\) positif (\(f\) et \(h\)) : leurs courbes sont les deux paraboles tournées vers le haut, \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\). Puis les deux autres (\(g\) et \(k\)) ont un coefficient négatif : ce sont \(\mathcal{P}_3\) et \(\mathcal{P}_4\).

• \(f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) (identité remarquable). Son sommet est \((-1\,;\,0)\) : la parabole touche l’axe des abscisses en \(-1\). \(f\) est représentée par \(\mathcal{P}_1\).
• \(h(x) = x^2 + 1\) : sommet \((0\,;\,1)\). \(h\) est représentée par \(\mathcal{P}_2\). Contrôle : \(h(1) = 2\), croix de \(\mathcal{P}_2\) au point \((1\,;\,2)\).
• \(g(x) = -x^2\) et \(k(x) = -\dfrac{1}{2}x^2\) ont toutes les deux leur sommet en O. On les départage avec un point : \(g(1) = -1\) et \(k(2) = -\dfrac{1}{2} \times 4 = -2\). La parabole rouge passe par \((1\,;\,-1)\) : \(g\) est représentée par \(\mathcal{P}_4\). La violette, plus « ouverte », passe par \((2\,;\,-2)\) : \(k\) est représentée par \(\mathcal{P}_3\).

Le tableau indique que \(f\) a un minimum égal à \(-2\), atteint en \(x = 1\), et que \(f(5) = 0\) : 5 est une solution de \(f(x) = 0\).

Par ailleurs, ahmed utilise la symétrie de la parabole : la courbe d’une fonction polynôme de degré 2 est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x = 1\) (la verticale qui passe par le sommet). Ainsi, deux nombres symétriques par rapport à 1 ont la même image.

De même, le symétrique de 5 par rapport à 1 est le nombre \(x\) tel que 1 soit le milieu de \(x\) et 5 :

\[ \frac{x + 5}{2} = 1 \iff x + 5 = 2 \iff x = -3 \]

Donc \(f(-3) = f(5) = 0\).

Ensuite, il n’y a pas d’autre solution : sur \([1\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante et ne prend la valeur 0 qu’une fois (en 5) ; sur \(]-\infty\,;\,1]\), elle est décroissante et ne prend la valeur 0 qu’une fois (en \(-3\)).

Vérification possible : \(f(x) = a(x-1)^2 – 2\) et \(f(5) = 16a – 2 = 0\) donne \(a = \dfrac{1}{8}\) ; alors \(f(-3) = \dfrac{1}{8} \times 16 – 2 = 0\).

On commence par développer les expressions, puis on calcule l’image de 0 que la calculatrice affiche en bas de trois des écrans.

• \(f(x) = \left(2x + \dfrac{1}{2}\right)\left(x – \dfrac{10}{4}\right) = 2x^2 – 5x + \dfrac{1}{2}x – \dfrac{5}{4} = 2x^2 – 4{,}5x – 1{,}25\), donc \(f(0) = -1{,}25\).
• \(g(x) = 2x + \dfrac{1}{2x – \frac{10}{4}}\) n’est pas un polynôme : elle n’est pas définie quand \(2x = 2{,}5\), c’est-à-dire en \(x = 1{,}25\). Sa courbe est « coupée » en deux morceaux. \(g(0) = \dfrac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\).
• \(h(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)x – \dfrac{10}{4} = 2x^2 + x – 2{,}5\), donc \(h(0) = -2{,}5\).
• \(p(x) = 2x^2 + \dfrac{1}{2}x – \dfrac{10}{4} = 2x^2 + 0{,}5x – 2{,}5\), donc \(p(0) = -2{,}5\).

Capture 2 : la calculatrice affiche \(f(x) = -1{,}25\) pour \(x = 0\), c’est la courbe de \(f\).

Identifier les captures 3 et 4 (exercice 16)

Capture 3 : la courbe a deux morceaux, de part et d’autre d’une valeur interdite proche de 1, et l’écran affiche \(-0{,}4\) pour \(x = 0\) : c’est \(g\).

Puis il reste \(h\) et \(p\), qui ont la même image de 0. De plus, on les distingue sur la capture 1, tracée sur \([-4\,;\,4]\) : on calcule les images de \(-4\) et 4.

\[ \begin{aligned} h(4) &= 32 + 4 – 2{,}5 = 33{,}5 \quad \text{et} \quad h(-4) = 32 – 4 – 2{,}5 = 25{,}5 \\ p(4) &= 32 + 2 – 2{,}5 = 31{,}5 \quad \text{et} \quad p(-4) = 32 – 2 – 2{,}5 = 27{,}5 \end{aligned} \]

De plus, sur la capture 1, la courbe est nettement plus haute à droite (vers 33) qu’à gauche (vers 25) : l’écart est d’environ 8, comme pour \(h\) (\(33{,}5 – 25{,}5 = 8\)), alors que pour \(p\) il ne serait que de 4. Ensuite, la parabole coupe aussi l’axe des abscisses un peu avant 1, or \(p(1) = 2 + 0{,}5 – 2{,}5 = 0\) exactement, tandis que \(h\) s’annule vers 0,9. Par ailleurs, la capture 1 représente \(h\), et la capture 4 (valeur \(-2{,}5\) en 0) représente \(p\).

1. Sur l’écran de la calculatrice, la courbe de \(f(x) = -x^2 + x\) est une parabole tournée vers le bas qui monte puis redescend, avec un sommet en \(x = 0{,}5\) (le tableau de valeurs donne \(f(0) = f(1) = 0\) et \(f(0{,}5) = 0{,}25\)). Puis on conjecture :

\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{1}{2}\right]\), décroissante sur \(\left[\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\), avec un maximum \(\dfrac{1}{4}\) en \(\dfrac{1}{2}\).

2. a.

• La ligne 1 importe la bibliothèque Sympy de calcul formel (calcul avec des lettres).
• La ligne 2 déclare a et b comme des symboles (des lettres et non des nombres), pour pouvoir calculer avec.
• La ligne 3 demande de factoriser la différence \(f(a) – f(b)\), et Sympy affiche le résultat factorisé.

Attention : la commande tapée contient une faute de signe. Ensuite, elle calcule \((-a^2 + a) – (-b^2 – b)\), alors que \(f(b) = -b^2 + b\). Par ailleurs, avec la bonne expression \((-a^2+a)-(-b^2+b)\), Sympy répond \(-(a-b)(a+b-1)\). Ainsi, c’est ce résultat, démontré en c., qui est utile.

Démontrer les variations de f (exercice 17)

b. Pour étudier les variations de \(f\) sur un intervalle, on compare \(f(a)\) et \(f(b)\) quand \(a \lt b\), c’est-à-dire qu’on étudie le signe de \(f(a) – f(b)\). Puis une forme factorisée permet de trouver ce signe facteur par facteur, avec la règle des signes d’un produit.

c. Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ \begin{aligned} f(a) – f(b) &= -a^2 + a + b^2 – b \\ &= -(a^2 – b^2) + (a – b) \\ &= -(a-b)(a+b) + (a-b) \\ &= (a-b)\big(-(a+b) + 1\big) \\ &= -(a-b)(a+b-1) \end{aligned} \]

d. Soit \(a \lt b\), donc \(a – b \lt 0\).

• Si \(a \lt b \leqslant \dfrac{1}{2}\) : \(a + b \lt 1\), donc \(a + b – 1 \lt 0\). Le produit \((a-b)(a+b-1)\) est positif (deux facteurs négatifs), donc \(f(a) – f(b) = -(a-b)(a+b-1) \lt 0\) : \(f(a) \lt f(b)\). \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{1}{2}\right]\).
• Si \(\dfrac{1}{2} \leqslant a \lt b\) : \(a + b \gt 1\), donc \(a + b – 1 \gt 0\). Le produit \((a-b)(a+b-1)\) est négatif, donc \(f(a) – f(b) \gt 0\) : \(f(a) \gt f(b)\). \(f\) est décroissante sur \(\left[\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\).

De même, la conjecture de la question 1 est démontrée, et le maximum vaut \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

a. À la calculatrice, la courbe de \(f(x) = 2x^2\) est une parabole tournée vers le haut, de sommet O, plus « serrée » que celle de \(x^2\). De plus, on conjecture que \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum 0 en 0.

b. Méthode du cours : on prend deux réels \(a\) et \(b\) de l’intervalle avec \(a \lt b\), et on étudie le signe de \(f(a) – f(b)\).

Ensuite, soit \(0 \leqslant a \lt b\).

\[ f(a) – f(b) = 2a^2 – 2b^2 = 2(a^2 – b^2) = 2(a-b)(a+b) \]

• \(a \lt b\), donc \(a – b \lt 0\) ;
• \(a \geqslant 0\) et \(b \gt 0\), donc \(a + b \gt 0\) ;
• \(2 \gt 0\).

Puis le produit \(2(a-b)(a+b)\) a un seul facteur négatif : il est négatif. Donc \(f(a) – f(b) \lt 0\), c’est-à-dire \(f(a) \lt f(b)\).

De plus, deux nombres positifs et leurs images par \(f\) sont rangés dans le même ordre : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ f(a) – f(b) = ka^2 – kb^2 = k(a^2 – b^2) = k(a-b)(a+b) \]

Par ailleurs, on prend \(a \lt b\), donc \(a – b \lt 0\), et on étudie le signe de ce produit sur chaque intervalle.

• Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(a \lt b \leqslant 0\) donc \(a + b \lt 0\). Le produit \((a-b)(a+b)\) est positif.
• Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(0 \leqslant a \lt b\) donc \(a + b \gt 0\). Le produit \((a-b)(a+b)\) est négatif.

a. Si \(k \gt 0\) :

• sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f(a) – f(b) = k \times (\text{positif}) \gt 0\), donc \(f(a) \gt f(b)\) : l’ordre est inversé, \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) ;
• sur \([0\,;\,+\infty[\), \(f(a) – f(b) = k \times (\text{négatif}) \lt 0\), donc \(f(a) \lt f(b)\) : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

b. Si \(k \lt 0\), les signes s’inversent :

• sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f(a) – f(b) = k \times (\text{positif}) \lt 0\), donc \(f(a) \lt f(b)\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) ;
• sur \([0\,;\,+\infty[\), \(f(a) – f(b) = k \times (\text{négatif}) \gt 0\), donc \(f(a) \gt f(b)\) : \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

Ainsi, en résumé, la parabole d’équation \(y = kx^2\) a son sommet en O ; elle est tournée vers le haut si \(k \gt 0\) (minimum 0) et vers le bas si \(k \lt 0\) (maximum 0).

On note \(m = \dfrac{a+b}{2}\). Ensuite, il faut montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x) \geqslant f(m)\).

Étape 1 : développer \(f(x)\).

\[ f(x) = x^2 – 2ax + a^2 + x^2 – 2bx + b^2 = 2x^2 – 2(a+b)x + a^2 + b^2 \]

Étape 2 : calculer \(f(m)\). On a \(m – a = \dfrac{b-a}{2}\) et \(m – b = \dfrac{a-b}{2}\), donc

\[ f(m) = \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a-b)^2}{4} + \frac{(a-b)^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{2} \]

Étape 3 : étudier \(f(x) – f(m)\). On montre que c’est un carré multiplié par 2 :

\[ \begin{aligned} 2(x – m)^2 &= 2\left(x^2 – (a+b)x + \frac{(a+b)^2}{4}\right) = 2x^2 – 2(a+b)x + \frac{(a+b)^2}{2} \\ f(x) – f(m) &= 2x^2 – 2(a+b)x + a^2 + b^2 – \frac{(a-b)^2}{2} \end{aligned} \]

Or \(a^2 + b^2 – \dfrac{(a-b)^2}{2} = \dfrac{2a^2 + 2b^2 – a^2 + 2ab – b^2}{2} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = \dfrac{(a+b)^2}{2}\). Donc

\[ f(x) – f(m) = 2x^2 – 2(a+b)x + \frac{(a+b)^2}{2} = 2\left(x – \frac{a+b}{2}\right)^2 \]

Conclusion. Un carré est positif ou nul, donc \(f(x) – f(m) \geqslant 0\), c’est-à-dire \(f(x) \geqslant f(m)\) pour tout réel \(x\). De même, l’égalité a lieu seulement si \(x = m\). Par ailleurs, la fonction \(f\) admet un minimum, égal à \(\dfrac{(a-b)^2}{2}\), atteint en \(x = \dfrac{a+b}{2}\).

a. À la calculatrice, la courbe de \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) est une parabole tournée vers le haut. Puis le tableau de valeurs donne \(f(-4) = f(-2) = -3\) et \(f(-3) = 9 – 18 + 5 = -4\), la plus petite valeur. Ensuite, on conjecture que \(f\) admet un minimum égal à \(-4\), atteint en \(x = -3\).

b. Pour tout réel \(x\) :

\[ f(x) – (-4) = x^2 + 6x + 5 + 4 = x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x+3)^2 \]

(on reconnaît l’identité remarquable \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\)).

c. Un carré est toujours positif ou nul : pour tout réel \(x\), \((x+3)^2 \geqslant 0\), donc \(f(x) – (-4) \geqslant 0\), c’est-à-dire \(f(x) \geqslant -4\). De plus \(f(-3) = (-3+3)^2 – 4 = -4\) : la valeur \(-4\) est atteinte. Puis la conjecture est démontrée.

a. À la calculatrice, la courbe de \(f(x) = -x^2 + 4x – 3\) est une parabole tournée vers le bas (coefficient \(-1\) devant \(x^2\)) : elle monte puis redescend, et ses valeurs deviennent aussi négatives que l’on veut. De plus, la fonction n’a donc pas de minimum ; l’énoncé parle de minimum, mais la question porte en réalité sur son maximum (c’est ce que confirme la question b). Ensuite, le tableau de valeurs donne \(f(1) = f(3) = 0\) et \(f(2) = -4 + 8 – 3 = 1\), la plus grande valeur. Par ailleurs, on conjecture que \(f\) admet un maximum égal à 1, atteint en \(x = 2\).

b. Pour tout réel \(x\) :

\[ 1 – f(x) = 1 – (-x^2 + 4x – 3) = 1 + x^2 – 4x + 3 = x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2 \]

c. Pour tout réel \(x\), \((x-2)^2 \geqslant 0\), donc \(1 – f(x) \geqslant 0\), c’est-à-dire \(f(x) \leqslant 1\). Ensuite, et \(f(2) = 1 – (2-2)^2 = 1\) : la valeur 1 est atteinte en 2. Puis la conjecture est démontrée.

Soit \(x\) la quantité produite et vendue, en tonnes, avec \(x \in [0\,;\,13]\). Ensuite, on travaille en milliers d’euros, comme pour le coût.

• Recette : une tonne rapporte 40 000 €, soit 40 milliers d’euros, donc \(R(x) = 40x\).
• Bénéfice = recette − coût :

\[ B(x) = 40x – (x^2 + 25x + 36) = -x^2 + 15x – 36 \]

a. À la calculatrice, sur \([0\,;\,13]\), la courbe de \(B\) est une parabole tournée vers le bas. Puis le tableau de valeurs donne \(B(7) = B(8) = 20\), et le sommet semble au milieu, en \(x = 7{,}5\) : \(B(7{,}5) = -56{,}25 + 112{,}5 – 36 = 20{,}25\). De plus, on conjecture que le bénéfice maximum est 20,25 milliers d’euros, soit 20 250 €, pour 7,5 tonnes.

b. On montre que \(20{,}25 – B(x)\) est un carré. Ensuite, pour tout \(x\) :

\[ \begin{aligned} 20{,}25 – B(x) &= 20{,}25 + x^2 – 15x + 36 \\ &= x^2 – 15x + 56{,}25 \\ &= x^2 – 2 \times 7{,}5 \times x + 7{,}5^2 \\ &= (x – 7{,}5)^2 \end{aligned} \]

Puis un carré est positif ou nul, donc \(20{,}25 – B(x) \geqslant 0\), soit \(B(x) \leqslant 20{,}25\) pour tout \(x\) de \([0\,;\,13]\). De plus, l’égalité a lieu pour \(x = 7{,}5\), qui appartient bien à \([0\,;\,13]\). Par ailleurs, la conjecture est démontrée.

Par ailleurs, le bénéfice maximum est donc de 20 250 € par semaine, obtenu en produisant et en vendant 7,5 tonnes.

Partie A. Modélisation

1. On introduit deux inconnues : \(L\), la longueur de chaque ligne droite (c’est la longueur du rectangle de pelouse), et \(\ell\), le rayon des deux demi-cercles (la largeur du rectangle est le diamètre \(2\ell\)). Puis on prend une piste de 350 m exactement (la plus courte autorisée).

2. Le tour de piste est formé de deux lignes droites et de deux demi-cercles, c’est-à-dire d’un cercle complet de rayon \(\ell\) :

\[ 2L + 2\pi\ell = 350 \iff L + \pi\ell = 175 \iff L = 175 – \pi\ell \]

(le 175 m du schéma correspond à un demi-tour : une ligne droite et un demi-cercle). Ensuite, l’aire du rectangle de pelouse vaut alors

\[ L \times 2\ell = 2\ell(175 – \pi\ell) = 2(175\ell – \pi\ell^2) = 2\,\mathcal{A}(\ell) \quad \text{avec} \quad \mathcal{A}(\ell) = 175\ell – \pi\ell^2 \]

Remarque : l’expression \(\mathcal{A}(\ell) = 175\ell – \pi\ell^2\) donnée par l’énoncé est l’aire de la moitié du rectangle (la partie située d’un côté de l’axe de la piste, de dimensions \(L\) et \(\ell\)). Puis l’aire de toute la pelouse, \(2\,\mathcal{A}(\ell)\), est maximale pour la même valeur de \(\ell\) : on peut donc travailler avec \(\mathcal{A}\) comme le demande l’énoncé, puis doubler l’aire à la fin.

3. On cherche la valeur de \(\ell\) pour laquelle \(\mathcal{A}(\ell)\) est maximale, et la valeur de ce maximum.

Partie B : le domaine de définition (exercice 24)

Partie B. Outils algébriques

1. \(\ell\) est une longueur (un rayon) non nulle, donc \(\ell \gt 0\). \(\mathcal{A}(\ell)\) est une aire, et la pelouse doit exister (longueur \(L\) positive), donc \(\mathcal{A}(\ell) \gt 0\).

2. On factorise par \(\ell\) : \(\mathcal{A}(\ell) = \ell(175 – \pi\ell)\). Ainsi, comme \(\ell \gt 0\), le produit \(\ell(175 – \pi\ell)\) est strictement positif si et seulement si \(175 – \pi\ell \gt 0\) :

\[ \begin{cases} \mathcal{A}(\ell) \gt 0 \\ \ell \gt 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 175 – \pi\ell \gt 0 \\ \ell \gt 0 \end{cases} \iff 0 \lt \ell \lt \frac{175}{\pi} \]

3. L’ensemble de définition de la fonction \(\mathcal{A}\) est \(\left]0\,;\,\dfrac{175}{\pi}\right[\), avec \(\dfrac{175}{\pi} \approx 55{,}7\).

Partie C. Conjecture à l’aide d’une calculatrice

1. On saisit \(Y_1 = X(175 – \pi X)\) et on choisit une fenêtre adaptée à l’ensemble de définition : \(X\) de 0 à 56, et \(Y\) de 0 à 2 600 (une valeur test comme \(\mathcal{A}(25) \approx 2\,411\) indique l’ordre de grandeur).

2. La courbe est un arc de parabole tournée vers le bas. De plus, on conjecture :

Le maximum semble valoir environ 2 437 m², atteint pour \(\ell \approx 27{,}85\) m.

Parties C et D : conjecture et algorithme (exercice 24)

Partie D. Algorithme

1. Traduction en langage naturel :

• Fonction \(\mathcal{A}(\ell)\) : renvoyer \(\ell \times (175 – \pi \times \ell)\).
• Fonction maximum(pas) : \(\ell\) prend la valeur 0 ; tant que \(\mathcal{A}(\ell) \lt \mathcal{A}(\ell + \text{pas})\), \(\ell\) prend la valeur \(\ell + \text{pas}\) ; renvoyer \(\ell\).

2. Le programme part de 0 et avance de « pas » en « pas » tant que la fonction augmente. Ensuite, il s’arrête dès que la valeur suivante n’est plus plus grande : il renvoie donc une valeur approchée de l’abscisse du maximum, à « pas » près.

3. En console : maximun(1) renvoie 28, maximun(0.1) renvoie environ 27,9 et maximun(0.01) renvoie environ 27,85 (l’affichage peut montrer 27.850000000001554, à cause des arrondis de l’ordinateur). Réponse mesurée : le rayon doit valoir environ 27,85 m ; la précision dépend du pas, et le programme ne démontre rien, il donne seulement une valeur approchée.

Partie E : la preuve par calcul formel (exercice 24)

Partie E. Calcul formel

1.

• Ligne 1 : on définit la fonction \(a(x) = x(175 – \pi x)\) ; GeoGebra l’affiche développée : \(-\pi x^2 + 175x\).
• Ligne 2 : on calcule l’image exacte de \(\dfrac{175}{2\pi}\) : \(a\left(\dfrac{175}{2\pi}\right) = \dfrac{30625}{4\pi}\).
• Ligne 3 : on factorise \(\dfrac{30625}{4\pi} – a(x)\) ; le résultat est \(\dfrac{(2\pi x – 175)^2}{4\pi}\).
• Ligne 4 : on demande une valeur approchée de \(\dfrac{30625}{4\pi}\), soit environ 2 437,06.

2. La ligne 3 donne, pour tout \(x\) :

\[ \frac{30625}{4\pi} – a(x) = \frac{(2\pi x – 175)^2}{4\pi} \]

De même, on peut le vérifier : \(\dfrac{(2\pi x – 175)^2}{4\pi} = \dfrac{4\pi^2x^2 – 700\pi x + 30625}{4\pi} = \pi x^2 – 175x + \dfrac{30625}{4\pi}\). Par ailleurs, un carré est positif et \(4\pi \gt 0\), donc ce quotient est positif ou nul : \(a(x) \leqslant \dfrac{30625}{4\pi}\) pour tout \(x\), avec égalité seulement quand \(2\pi x – 175 = 0\), soit \(x = \dfrac{175}{2\pi}\). Puis la ligne 3 démontre que \(\dfrac{30625}{4\pi}\) est le maximum.

3. Conclusion : \(\mathcal{A}\) admet un maximum exact \(\dfrac{30625}{4\pi} \approx 2\,437{,}06\), atteint pour \(\ell = \dfrac{175}{2\pi} \approx 27{,}85\) m, ce qui confirme les conjectures des parties C et D. Ensuite, on en déduit les dimensions de la pelouse :

\[ \begin{aligned} L &= 175 – \pi \times \frac{175}{2\pi} = 175 – 87{,}5 = 87{,}5 \text{ m} \\ 2\ell &= \frac{175}{\pi} \approx 55{,}7 \text{ m} \end{aligned} \]

Ensuite, le rectangle de pelouse mesure donc 87,5 m sur environ 55,7 m : les lignes droites mesurent 87,5 m et les demi-cercles ont un rayon d’environ 27,85 m. Puis son aire totale vaut \(2 \times \dfrac{30625}{4\pi} = \dfrac{30625}{2\pi} \approx 4\,874\) m² (le double du maximum de \(\mathcal{A}\), qui correspond à une moitié du rectangle).