Trigonométrie : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

Tracer un cercle trigonométrique et placer les points :

a) M image de \(\dfrac{4\pi}{3}\) ; b) N image de \(\dfrac{19\pi}{2}\) ;
c) P image de \(-\dfrac{3\pi}{4}\) ; d) R image de \(\dfrac{29\pi}{4}\).

Tracer un cercle trigonométrique et placer les points :

a) M image de \(\dfrac{\pi}{5}\) ; b) N image de \(\dfrac{11\pi}{6}\) ;
c) P image de \(-\dfrac{7\pi}{6}\) ; d) R image de \(-\dfrac{17\pi}{3}\).

Donner deux nombres réels positifs et un nombre réel négatif ayant le même point image sur un cercle trigonométrique que :

a) \(\pi\) ; b) \(\dfrac{\pi}{2}\) ;
c) \(\dfrac{\pi}{4}\) ; d) \(-\dfrac{3\pi}{5}\).

a) Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée au centième près de \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\).

b) Déterminer à l^{\prime}aide d^{\prime}un cercle trigonométrique les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\).

a) Utiliser la figure ci-contre pour calculer la valeur exacte de OH.

b) Quelle est la mesure en degrés de l’angle \(\widehat{HOM}\) ?

c) Retrouver les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{4}\).

\(\mathscr{C}\) est un cercle trigonométrique de centre O.

A et B sont les points de \(\mathscr{C}\) d’ordonnée 0,5.

C et D sont les points de \(\mathscr{C}\) d^{\prime}ordonnée \(-0{,}6\).

Déterminer une valeur approchée au centième près de la longueur \(\ell\) de la figure rouge ci-dessus.

\((O\ ;\ I,\ J)\) est un repère orthonormé. L^{\prime}arc \(\widehat{IJ}\) est un quart de cercle de centre O et de rayon 1. B est le point de cet arc d’ordonnée 0,6.

Calculer une valeur approchée au centième près de la longueur L de la figure rouge ci-dessous.

On considère l’algorithme suivant :

Variables : \(k\), \(n\) sont des nombres entiers naturels ; S est un nombre réel
Entrée : Saisir \(n\)
Traitement : Affecter à S la valeur 0
Pour \(k\) allant de 0 à \(n\)
   Affecter à S la valeur \(S+\cos\dfrac{k\pi}{n}\)
Fin Pour
Sortie : Afficher S

Écrire la somme S calculée par l^{\prime}algorithme et donner sa valeur lorsque :

a) \(n=4\)     b) \(n=5\)

\((O\ ;\ I,\ J)\) est un repère orthonormé.

M est un point du cercle trigonométrique de centre O.

Pour chacune de ces mesures de l^{\prime}angle \(\widehat{IOM}\), donner un nombre réel dont M est le point image.

a) \(180^{\circ}\)   b) \(90^{\circ}\)   c) \(10^{\circ}\)
d) \(60^{\circ}\)   e) \(30^{\circ}\)   f) \(45^{\circ}\)

Sur le cercle trigonométrique ci-contre :

• M est le point image du nombre réel \(\dfrac{\pi}{10}\) ;
• N est tel que \(\widehat{ION}=135^{\circ}\).

a) Calculer mentalement la mesure en degrés de \(\widehat{IOM}\).

b) Donner mentalement un nombre réel dont N est le point image.

Sur les figures ci-dessous, ABCD est un carré et IMNPQR un hexagone régulier, tous les deux inscrits dans un cercle trigonométrique de centre O.

Dans chaque cas, indiquer mentalement le nombre réel de l’intervalle \([0\ ;\ 2\pi]\) dont chacun des sommets est l’image.

• \(\dfrac{\pi}{3}\)
• \(-\dfrac{7\pi}{4}\)
• \(-\dfrac{13\pi}{6}\)
• \(2\pi\)
• \(15\pi\)
• \(\dfrac{7\pi}{6}\)
• \(\dfrac{2\pi}{3}\)
• \(-\dfrac{5\pi}{4}\)

• \(\dfrac{\pi}{6}\)
• \(\dfrac{17\pi}{6}\)
• \(\dfrac{5\pi}{4}\)
• \(-\dfrac{8\pi}{3}\)
• \(\dfrac{3\pi}{2}\)
• \(-\dfrac{11\pi}{2}\)
• \(\dfrac{5\pi}{3}\)
• \(-\dfrac{9\pi}{4}\)

A est le point image du nombre réel \(\dfrac{\pi}{3}\) sur un cercle trigonométrique de centre O.

a) Placer le point A dans un repère orthonormé \((O\ ;\ I,\ J)\).

b) Construire le point B symétrique du point A par rapport à la droite (OI).
Donner un nombre réel associé au point B.

c) Construire le point C symétrique du point A par rapport à la droite (OJ).
Donner un nombre réel associé au point C.

d) Construire le point D symétrique du point A par rapport au point O.
Donner un nombre réel associé au point D.

Voici un algorithme.

Variables : \(a\), \(b\), \(d\) sont des nombres réels
Entrées : Saisir \(a\), \(b\)
Traitement et sortie : Affecter à \(d\) la valeur \(\dfrac{b-a}{\pi}\)
Si \(d\) est un multiple de 2 alors
   Afficher « Oui »
sinon
   Afficher « Non »
Fin Si

a) Tester cet algorithme pour \(a=\dfrac{\pi}{3}\) et \(b=\dfrac{7\pi}{3}\).

b) Remplacer les affichages « Oui » et « Non » dans l’algorithme afin qu’un utilisateur comprenne le rôle de ceux-ci.

Jeanne a réalisé la figure suivante à l’aide d’un spirographe.

Voyant que les sommets de sa rosace partagent le cercle rouge en 8 arcs de même longueur, elle affirme :

« Dans un certain repère, ceux-ci sont associés aux nombres réels \(\dfrac{\pi}{8}\), \(\dfrac{2\pi}{8}\), \(\dfrac{3\pi}{8}\)… ». A-t-elle raison ?

Un plomb d’architecte de forme conique a un diamètre de 50 mm. Calculer une valeur approchée au dixième près, en degrés, de son angle au sommet.

À l’aide des informations codées ci-contre, calculer la distance NR, en mètres, entre le nageur et le requin. Donner une valeur approchée au centième près.

Avec un guide

Voici le dessin d’une maquette d’un range-vélos à l’échelle 1/2. L’arc \(\widehat{AC}\) est un arc de cercle de centre O et de rayon 1 m.

a) On souhaite qu^{\prime}un individu de 1,80 m puisse passer sans se baisser sous le range-vélos en taille réelle. Déterminer la distance AB sur la maquette.

b) Donner une valeur approchée au centième près de la longueur, en mètres, de l^{\prime}arc \(\widehat{AC}\) sur la maquette, puis en réalité.

Conseil La longueur \(x\) de l’arc \(\widehat{AC}\) vérifie une relation du type \(\sin x=a\).

Déterminer un angle

Dans ce cube d’arête 1, on admet que le triangle EAC est rectangle en A. Déterminer, au dixième près, la mesure en degrés de l’angle \(\widehat{AOC}\).

Les nombres réels \(\dfrac{101\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\) ont-ils le même point image sur un cercle trigonométrique ?