Projeté orthogonal et trigonométrie : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « projeté orthogonal et trigonométrie », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur la trigonométrie dans le triangle rectangle et sur le projeté orthogonal d’un point sur une droite. Tu commences par écrire le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle, puis tu calcules des longueurs et des angles à la calculatrice. Ensuite, dans un repère, tu prouves qu’un point est bien le pied de la perpendiculaire, ce qui donne la distance d’un point à une droite.
Enfin, deux situations concrètes, une maison au bord d’une route et une rampe d’accès, réunissent toutes ces méthodes. Fais ce contrôle vers le mois de mars, quand le chapitre sur la géométrie repérée est terminé.
Ce qu’évalue le contrôle : projeté orthogonal et trigonométrie
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Repérage dans le plan (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle
- Calculer une longueur ou la mesure d’un angle avec la trigonométrie et la calculatrice
- Justifier qu’un point est le projeté orthogonal d’un autre sur une droite dans un repère
- Déterminer la distance d’un point à une droite comme la plus courte distance
- Résoudre un problème concret de pente ou de distance en combinant trigonométrie et Pythagore
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, repère d’abord l’hypoténuse, puis le côté adjacent et le côté opposé à l’angle étudié : c’est ainsi que tu choisis la bonne formule. Vérifie aussi que ta calculatrice est en mode degrés, car une réponse en radians fausse tout l’exercice. Garde les valeurs exactes aussi longtemps que possible et n’arrondis qu’à la fin. Enfin, contrôle chaque résultat : une longueur de côté doit rester plus petite que l’hypoténuse.
Le sujet du contrôle : projeté orthogonal et trigonométrie
Exercice 1 – Les rapports du triangle KLM (4 points)
Le triangle \(KLM\) ci-dessous est rectangle en \(L\), avec \(KL = 12\text{ cm}\), \(LM = 5\text{ cm}\) et \(KM = 13\text{ cm}\).
- Nomme d’abord l’hypoténuse, puis écris \(\cos \widehat{LKM}\), \(\sin \widehat{LKM}\) et \(\tan \widehat{LKM}\) sous forme de fractions.
- Déduis-en la mesure de l’angle \(\widehat{LKM}\), arrondie au dixième de degré.
- Calcule ensuite la mesure de l’angle \(\widehat{KML}\) de deux façons : avec la somme des angles d’un triangle, puis avec une tangente.
Exercice 2 – Une longueur, puis un angle (4 points)
Sur la figure, \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AC = 9\text{ cm}\) et \(\widehat{BAC} = 35^\circ\). Par ailleurs, \(DEF\) est rectangle en \(E\), avec \(DE = 6\text{ cm}\) et \(EF = 4{,}5\text{ cm}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Calcule d’abord la longueur \(BC\), arrondie au millimètre.
- Trouve de même la longueur \(AB\), arrondie au millimètre.
- Détermine enfin la mesure de l’angle \(\widehat{EDF}\), arrondie au dixième de degré.
Exercice 3 – Projeté orthogonal dans un repère (4 points)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(0\,;\,1)\), \(B(6\,;\,4)\), \(C(0\,;\,6)\) et \(H(2\,;\,2)\). La droite \((AB)\) a pour équation \(y = 0{,}5x + 1\).
- Montre tout d’abord que le point \(H\) appartient à la droite \((AB)\).
- Calcule les longueurs exactes \(AH\), \(CH\) et \(AC\).
- Démontre que le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\). Que représente alors le point \(H\) pour le point \(C\) et la droite \((AB)\) ?
- Donne la distance du point \(C\) à la droite \((AB)\), puis compare-la à la longueur \(CB\).
Exercice 4 – La maison et la route (4 points)
La maison de Soraya, notée \(P\), se trouve près d’une route rectiligne \((d)\). Le point \(H\) est le projeté orthogonal de \(P\) sur \((d)\). L’arrêt de bus \(M\) est sur la route, à \(240\text{ m}\) de la maison, et l’angle \(\widehat{PMH}\) mesure \(30^\circ\). Enfin, la boîte aux lettres \(N\) est de l’autre côté de \(H\), avec \(HN = 120\text{ m}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Calcule d’abord la distance \(PH\).
- Calcule aussi la distance \(MH\), d’abord en valeur exacte, puis arrondie au décimètre.
- Quelle est la nature du triangle \(PHN\) ? Déduis-en la mesure de l’angle \(\widehat{HNP}\), puis la distance \(PN\) arrondie au décimètre.
- Soraya veut rejoindre la route par le plus court chemin. Vers quel point doit-elle marcher, et pourquoi ?
Exercice 5 – La rampe de la médiathèque (4 points)
L’entrée de la médiathèque se trouve \(0{,}45\text{ m}\) au-dessus du trottoir. Afin de faciliter l’accès des fauteuils roulants, la commune a installé une rampe \([RT]\) de \(6\text{ m}\) de long. Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), et on note \(\alpha\) l’angle \(\widehat{TRS}\).
La figure n’est pas à l’échelle : la pente a été exagérée.
La pente d’une rampe, en pourcentage, est égale à \(\frac{TS}{RS} \times 100\). Le règlement de la commune impose une pente d’au plus \(5\,\%\).
- Calcule tout d’abord l’angle \(\alpha\), arrondi au dixième de degré.
- Détermine ensuite la longueur \(RS\) au sol, arrondie au centimètre.
- Calcule la pente de cette rampe. Respecte-t-elle donc le règlement ?
- Pour obtenir une pente de \(5\,\%\) exactement, quelle doit être la longueur au sol ? Déduis-en alors la longueur de la nouvelle rampe, arrondie au centimètre.
Réviser projeté orthogonal et trigonométrie avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon coordonnées et repérage dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche repérage dans le plan avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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