Milieu et distance dans un repère : contrôle de maths en seconde

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Ce qu’évalue le contrôle : milieu et distance dans un repère

Le sujet du contrôle : milieu et distance dans un repère

Dans tout le sujet, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O \,;\, \vec{i} \,,\, \vec{j})\). Les racines carrées sont données sous forme exacte, simplifiée si possible.

Exercice 1 – Automatismes du repère (3 points)

On considère les points \(E(-3 \,;\, 5)\), \(F(7 \,;\, -1)\), \(G\left(\frac{1}{2} \,;\, -4\right)\) et \(H\left(\frac{3}{2} \,;\, 6\right)\).

1. Calcule d’abord les coordonnées du milieu du segment \([EF]\). (0,75 point)
2. Calcule ensuite la longueur \(EF\), puis simplifie le résultat. (0,75 point)
3. Donne les coordonnées du milieu du segment \([GH]\). (0,75 point)
4. Le point \(K(1 \,;\, 3)\) est le milieu du segment \([UV]\), avec \(U(4 \,;\, -2)\). Trouve alors les coordonnées du point \(V\). (0,75 point)

Exercice 2 – Le triangle ABC (5 points)

On donne les points \(A(-2 \,;\, 1)\), \(B(2 \,;\, 3)\) et \(C(4 \,;\, -1)\).

1. Place les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le repère ci-dessus. (0,5 point)
2. Calcule les longueurs \(AB\), \(BC\) et \(AC\) sous forme simplifiée. (1,5 point)
3. Démontre que le triangle \(ABC\) est isocèle et rectangle, en précisant le sommet concerné. (1,5 point)
4. Déduis-en le centre \(\Omega\) et le rayon du cercle circonscrit au triangle \(ABC\). (1 point)
5. Le point \(D(0 \,;\, 3)\) appartient-il à ce cercle ? Justifie par un calcul. (0,5 point)

Exercice 3 – Quatrième sommet d’un parallélogramme (4 points)

Sur la figure, on a placé les points \(M(-3 \,;\, -2)\), \(N(3 \,;\, -1)\) et \(P(4 \,;\, 3)\). On veut placer un point \(Q\) de sorte que \(MNPQ\) soit un parallélogramme.

1. Calcule les coordonnées du point \(I\), milieu de la diagonale \([MP]\). (1 point)
2. Quand \(MNPQ\) est un parallélogramme, ses diagonales ont le même milieu. Déduis-en les coordonnées de \(Q\). (1 point)
3. Compare \(MN\) et \(NP\). Le parallélogramme \(MNPQ\) est-il un losange ? (1 point)
4. Calcule enfin les longueurs des diagonales \(MP\) et \(NQ\). Ce parallélogramme est-il un rectangle ? (1 point)

Exercice 4 – Un point de l’axe des abscisses (3,5 points)

On considère les points \(A(1 \,;\, 5)\) et \(B(7 \,;\, 1)\), ainsi qu’un point \(R(x \,;\, 0)\) de l’axe des abscisses. On cherche la position de \(R\) pour qu’il soit à égale distance de \(A\) et de \(B\).

1. Exprime \(RA^2\) puis \(RB^2\) en fonction de \(x\), sous forme développée et réduite. (1 point)
2. Résous l’équation \(RA^2 = RB^2\), puis donne les coordonnées du point \(R\) cherché. (1 point)
3. Démontre que le triangle \(ABR\) est rectangle et isocèle en \(R\). (1 point)
4. Calcule son aire, en unités d’aire. (0,5 point)

Exercice 5 – Le plan du camping (4,5 points)

Sur le plan d’un camping, on a placé un repère orthonormé dont l’unité représente 10 mètres. La tente de Nolwenn est au point \(T(-4 \,;\, 2)\), les sanitaires au point \(S(2 \,;\, -6)\) et l’accueil au point \(A(4 \,;\, -2)\).

1. Calcule les distances \(TS\), \(TA\) et \(AS\) en unités, sous forme exacte, puis donne \(TS\) en mètres. (1,5 point)
2. Démontre que le triangle \(TAS\) est rectangle en \(A\). (1 point)
3. Le gérant veut installer un lampadaire \(L\) situé à la même distance de la tente, des sanitaires et de l’accueil. Donne ses coordonnées, puis cette distance en mètres. (1 point)
4. Nolwenn passe par l’accueil pour aller aux sanitaires, mais son frère Yanis y va en ligne droite. Vérifie que \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\), puis encadre la longueur du trajet de Nolwenn en mètres. De combien de mètres, environ, son détour allonge-t-il donc le chemin ? (1 point)

Réviser milieu et distance dans un repère avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon coordonnées et repérage dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche repérage dans le plan avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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