Algorithmes et programmes : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

Voici un programme écrit avec le langage Python.

print(« Entrer x : »)
x=int(input())
y=4*x
y=y+1
y=y**2
print(« y= », y)

a) Quel est le type de la variable \(x\) ?

b) Pour chacune des valeurs suivantes de \(x\) saisie en entrée, donner la valeur de \(y\) affichée en sortie.

• \(x = 3\)
• \(x = -1\)
• \(x = 11\)

c) Le programme définit une fonction \(f : x \mapsto y\). Exprimer \(y\) en fonction du nombre entier \(x\).

Voici un algorithme.

Variables : C, C’ sont des chaînes de caractères
\(\ell\) est un nombre entier naturel
Entrée : Saisir C (non vide)
Traitement : Affecter à \(\ell\) la valeur Lgr (C)
   Affecter à C’ la chaîne Sch (C,\(\ell\),1)
Sortie : Afficher C^{\prime}

Décrire le fonctionnement et le rôle de cet algorithme.

• Lgr (C) donne pour résultat le nombre de caractères de la chaîne C.
  Lgr (« algorithme ») = 10
• Sch (C,\(a\),\(b\)) donne pour résultat la sous-chaîne extraite de C à partir du caractère \(a\) ayant \(b\) caractères.
  Sch (« informatique », 3,6) = « format »

Un magasin de reprographie applique le tarif suivant :

• \(0{,}15\,€\) l^{\prime}unité jusqu^{\prime}à 50 photocopies ;
• \(0{,}10\,€\) l’unité au-delà.

Romain écrit un programme afin d’automatiser le calcul du prix à payer pour N photocopies réalisées.

print(« Entrer N : »)
N=int(input())
if N<=50:
   Prix=… ①
else:
   Prix=… ②
print(« Prix= », Prix)

a) Compléter les lignes ① et ② de ce programme.

b) Saisir le programme à l’ordinateur.

c) Contrôler son fonctionnement à l’aide d’exemples.

Louise participe à une course de \(7\,\text{km}\). Elle court à la vitesse de \(15\,\text{km.h}^{-1}\) pendant les 5 premiers kilomètres puis à la vitesse de \(12\,\text{km.h}^{-1}\) jusqu’à l’arrivée.

a) Calculer le temps mis par Louise.

b) À un temps \(t\) (en min), on associe la distance \(d(t)\) (en km) parcourue par Louise pendant cette durée. Écrire un algorithme qui saisit \(t\) puis calcule et affiche \(d(t)\).

Voici un algorithme.

Variables : \(n\), \(i\), S sont des nombres entiers naturels
Entrée : Saisir \(n\) (\(n \geqslant 1\))
Traitement : Affecter à S la valeur 0
   Pour \(i\) allant de 1 à \(n\)
      Affecter à S la valeur S + \(i^2\)
   Fin Pour
Sortie : Afficher S

a) Exécuter cet algorithme avec la valeur \(n = 5\) en entrée. Quel est le résultat affiché en sortie ?

b) De façon plus générale, expliquer le rôle de cet algorithme.

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leqslant 0 \\ x & \text{si } 0 \lt x \leqslant 1 \\ -2x + 3 & \text{si } 1 \lt x \end{cases}\]

Écrire l’algorithme d’une fonction \(f\) qui donne pour résultat \(f(x)\) suivant la valeur de \(x\).

Suzy a écrit un programme avec le langage Python afin de simuler 100 lancers d’une pièce de monnaie équilibrée et compter le nombre de Pile obtenus.

from random import random
n=0
for i in range(1,101):
   #pour i allant de 1 à 100
   x=random()
   if x<0.5:
      n=n+1
print(« n= », n)

a) Expliquer le rôle de chacune des variables du programme.

b) Suzy souhaite effectuer M fois la simulation. Comment doit-elle modifier son programme ?

Note : la fonction random() du langage Python renvoie un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. On l’importe du module random.

a) N est un nombre entier naturel non nul. Quel est le résultat donné par la fonction diviseurs (N) dont l’algorithme est le suivant ?

Fonction diviseurs (N)
   Affecter à \(x\) la valeur 0
   Pour \(k\) allant de 1 à N
      Si \(k\) divise N alors
         Affecter à \(x\) la valeur \(x+1\)
      Fin Si
   Fin Pour
Résultat \(x\)

b) Écrire un programme qui détermine les nombres entiers de 1 à 100 qui possèdent au moins dix diviseurs.

Voici un programme écrit avec le langage Python.

print(« Entrer x : »)
x=int(input())
y=x**2
y=-y+3*x
y=y+4
print(« y= », y)

a) Quel est le type de la variable \(x\) ?

b) Pour chacune des valeurs suivantes de \(x\) saisie en entrée, donner la valeur de \(y\) affichée en sortie.

• \(x = 1\)
• \(x = -2\)
• \(x = 12\)

c) Le programme définit une fonction \(f : x \mapsto y\). Exprimer \(y\) en fonction du nombre entier \(x\).

Voici un programme écrit avec le langage Python.

print(« Entrer n : »)
n=int(input())
S=0
for j in range(1,n+1):
   S=S+2*j
print(« S= », S)

a) On saisit \(n = 4\), quelle valeur le programme affiche-t-il en sortie ?

b) De façon plus générale, expliquer le calcul effectué par ce programme.

Le programme suivant simule 10 lancers d’un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

VARIABLES
   S EST_DU_TYPE NOMBRE
   k EST_DU_TYPE NOMBRE
   x EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
   S PREND_LA_VALEUR 0
   POUR k ALLANT_DE 1 A 10
      DEBUT_POUR
      x PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(1,6)
      S PREND_LA_VALEUR S+x
      FIN_POUR
   AFFICHER S
FIN_ALGORITHME

a) Expliquer ce que représente la valeur de la variable S affichée à la fin du programme.

b) Quelle est la valeur la plus grande de S que le programme peut afficher ?

La location journalière d’une voiture coûte \(50\,€\), plus :

• \(0{,}25\,€\) par km parcouru jusqu’à 100 km ;
• \(0{,}35\,€\) par km au-delà.

Voici un algorithme qui, suivant le nombre \(x\) de kilomètres parcourus dans la journée, détermine et affiche le montant \(m\) de la location.

Variables : \(x\) est un nombre entier naturel
\(m\) est un nombre réel
Entrée : Saisir \(x\)
Traitement : Si \(x \leqslant 100\) alors
   Affecter à \(m\) la valeur ……
   sinon
   Affecter à \(m\) la valeur ……
Fin Si
Sortie : Afficher \(m\)

a) Recopier et compléter cet algorithme.

b) Coder cet algorithme dans un langage de programmation.

c) Tester le programme obtenu avec différentes valeurs de \(x\).

Sur une droite graduée, A et B sont deux points d’abscisses respectives \(a\) et \(b\).

a) Exprimer la distance AB en fonction de \(a\) et \(b\).

b) Écrire l’algorithme d’une fonction distance \((a,\,b)\) qui donne pour résultat la distance AB.

ABC est un triangle dont on connaît les longueurs, en cm, des côtés.

Écrire l’algorithme d’une fonction H\((a,\,b,\,c)\) qui donne pour résultat la chaîne « Vrai » si le triangle ABC est rectangle en A et la chaîne « Faux » sinon.

Un cylindre a pour hauteur \(h\) cm et pour base un disque de rayon R cm. L’aire, en \(\text{cm}^2\), de sa base est notée S et le volume, en \(\text{cm}^3\), du cylindre est noté V.

a) L’algorithme ci-dessous permet de saisir en entrée R et \(h\) puis calcule S, V et affiche V en sortie.

Variables : R, \(h\), S, V sont des nombres réels
Entrées : Saisir R, \(h\)
Traitement : Affecter à S la valeur ……
   Affecter à V la valeur ……
Sortie : Afficher V

Recopier et compléter cet algorithme.

b) Coder cet algorithme dans un langage de programmation.

c) Contrôler le programme avec des exemples.

On considère l’algorithme de la fonction nombre ci-dessous qui prend comme argument un nombre \(a\) et qui renvoie \(e\) :

Fonction nombre(a)
   b prend la valeur de a²
   c prend la valeur la valeur a-b
   d prend la valeur 2c
   e prend la valeur d - c + b
   Renvoyer e
Fin

Préciser le plus petit ensemble auquel appartient nombre(a) pour les arguments de \(a\) suivantes :

\(2\) ; \(-4\) ; \(\sqrt{2}\).

Lorsqu’on exécute le script ci-contre :

from math import *
def nombre (a):
   b=a/2
   c=3+b
   d=sqrt(c)
   return d

a. nombre (3) est-il un entier ?

b. nombre (12) est-il un entier ?

c. nombre (\(-4\)) est-il un entier ?

d. Quel sera l’affichage de nombre (\(-12\)) ?

On considère l’algorithme de la fonction operation ci-dessous.

Fonction operation(a)
   b prend la valeur de -a.
   c prend la valeur la valeur b²
   d prend la valeur -2c
   e prend la valeur d + |a|
   Si e ∈ ℤ alors
      renvoyer « entier »
      Sinon Renvoyer « pas entier. »
      Fin du si
Fin

Qu’affiche la fonction operation lorsqu’on lui donne comme argument :

• \(-2\) ?
• \(3\) ?
• \(\sqrt{2}\) ?

On considère le script de la fonction compteur prenant comme argument un nombre strictement compris entre 0 et 1.

from math import *
def compteur(a):
   N=0
   while a>=0.1:
      a=a*a
      N=N+1
   return N

a. Quelle est la valeur de compteur (0.9) ? compteur (0.1) ?

b. Que représente l’affichage de ce programme ?

Voici un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de \(\sqrt{n}\) pour tout entier naturel non nul à \(p\) près :

from math import*
def val_app (n,p):
    u=n
    while u-sqrt(n)>p:
        u=(1/2)*(u+n/u)
    return u

1. Appliquer cet algorithme avec \(n=2\) et \(p=0{,}01\) en complétant le tableau suivant en arrondissant les résultats à \(10^{-3}\) près :
   

   \(u\)	\(2\)	\(1{,}5\)	…
   \(u-\sqrt{2}\)	\(0{,}586\)	…	…

   Donner l'affichage de l'algorithme.

2. Quel est l'affichage de val_app (3,0.0001) ?
3. Quel est l'affichage de val_app (7,0.00001) ?

Pour rentrer dans une zone de recherche mathématique secrète, Monsieur Galois possède un mot de passe. L'ordinateur demande à M. Galois de taper son mot de passe, en retour après un calcul s'affiche à l'écran un code à quatre chiffres (a, b, c, d).

M. Galois détermine à partir de ce code un nombre compris entre 0 et 9 à l'aide du script ci-dessous :

from math import *
def code(a,b,c,d):
    p=1000*a+100*b+10*c+d
    s=p
    while s>=10:
        k=p%(a+b+c+d)
        if k<10:
            s=k
        else:
            s=k%10
    return s

1. L'ordinateur propose 2020 à M. Galois, quel est le nombre \(s\) généré ?
2. Même question si l'ordinateur propose 1789 ?
3. L'ordinateur peut-il lui proposer le code 0000 ?

On considère l'algorithme de la fonction nombre ci-dessous qui prend comme argument un nombre \(a\) et qui renvoie \(e\) :

Préciser le plus petit ensemble auquel appartient nombre(a) pour les arguments de \(a\) suivantes :

\(2\,;-4\,;\sqrt{2}\).

Lorsqu'on exécute le script ci-contre :

from math import *
def nombre (a):
    b=a/2
    c=3+b
    d=sqrt(c)
    return d

1. nombre (3) est-il un entier ?
2. nombre (12) est-il un entier ?
3. nombre (\(-4\)) est-il un entier ?
4. Quel sera l'affichage de nombre (\(-12\)) ?

On considère l'algorithme de la fonction operation ci-dessous.

Qu'affiche la fonction operation lorsqu'on lui donne comme argument :

• \(-2\) ?
• \(3\) ?
• \(\sqrt{2}\) ?

On considère le script de la fonction compteur prenant comme argument un nombre strictement compris entre 0 et 1.

from math import *
def compteur(a):
    N=0
    while a>=0.1:
        a=a*a
        N=N+1
    return N

1. Quelle est la valeur de compteur (0.9) ? compteur (0.1) ?
2. Que représente l'affichage de ce programme ?

On considère le script suivant :

def quisuisje(x):
    if x<=-1 :
        a=2*x-1
    elif x<4 :
        a=x/3
    else :
        a=x**2-3
    return a

Quel est le plus petit ensemble auquel appartient quisuisje(\(x\)) lorsque l'on saisit les arguments :

\(-2\) ? \(\sqrt{2}\) ? \(3\sqrt{2}\) ? \(\dfrac{1}{2}\) ? et \(\dfrac{3}{2}\) ?

On considère le script suivant :

def dichotomie(a,b,n):
    while b-a>n:
        if (a+b)/2-sqrt(2)>0:
            b=(a+b)/2
        else:
            a=(a+b)/2
    return (a,b)

1. En recopiant et complétant le tableau suivant, quel est l'affichage de ce script sur les arguments sont (1,2,0.1) ?
   

   \(b-a\)
   \(a\)	\(1\)
   \(b\)	\(2\)

2. Que représente l'affichage de ce script ?
3. Que doit-on modifier si on souhaite un encadrement à \(10^{-3}\) près de \(\sqrt{7}\) ?

On considère l'algorithme de la fonction nombre ci-dessous qui prend comme argument un nombre \(a\) et qui renvoie \(e\) :

Préciser le plus petit ensemble auquel appartient nombre(a) pour les arguments de \(a\) suivantes :

\(2\,;-4\,;\sqrt{2}\).

Lorsqu'on exécute le script ci-contre :

from math import *
def nombre (a):
    b=a/2
    c=3+b
    d=sqrt(c)
    return d

1. nombre (3) est-il un entier ?
2. nombre (12) est-il un entier ?
3. nombre (\(-4\)) est-il un entier ?
4. Quel sera l'affichage de nombre (\(-12\)) ?

On considère l'algorithme de la fonction operation ci-dessous.

Qu'affiche la fonction operation lorsqu'on lui donne comme argument :

• \(-2\) ?
• \(3\) ?
• \(\sqrt{2}\) ?

On considère le script de la fonction compteur prenant comme argument un nombre strictement compris entre 0 et 1.

from math import *
def compteur(a):
    N=0
    while a>=0.1:
        a=a*a
        N=N+1
    return N

1. Quelle est la valeur de compteur (0.9) ? compteur (0.1) ?
2. Que représente l'affichage de ce programme ?