Puissances et racines carrées : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « puissances et racines carrées », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue le chapitre de calcul consacré aux puissances et aux racines carrées. D’abord, tu appliques les règles sur les produits, les quotients et les puissances de puissances, avec des exposants négatifs. Ensuite, l’écriture scientifique te sert à mesurer une année-lumière en kilomètres.
La seconde moitié porte sur les racines : tu écris des nombres sous la forme a√b, puis tu supprimes une racine du dénominateur. Enfin, un problème de géométrie te demande des longueurs exactes grâce au théorème de Pythagore. Fais ce contrôle dès la fin du chapitre, sans calculatrice, car toutes les réponses sont des valeurs exactes.
Ce qu’évalue le contrôle : puissances et racines carrées
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Calcul littéral, puissances et racines carrées (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Appliquer les règles de calcul sur les puissances entières, y compris avec des exposants négatifs
- Écrire un nombre en notation scientifique et calculer un produit dans cette écriture
- Simplifier une racine carrée sous la forme a√b et effectuer des sommes et produits de racines
- Écrire un quotient sans racine carrée au dénominateur
- Exprimer une longueur exacte avec le théorème de Pythagore dans un carré et un triangle équilatéral
Avant de commencer le devoir
Commence par les exercices 1 et 3, qui demandent surtout d’appliquer une règle. Pour une racine, cherche d’abord le plus grand carré parfait qui divise le nombre : 25 pour 50, 9 pour 18. Méfie-toi du piège \(\sqrt{a+b}\), qui n’est jamais égal à \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\). En écriture scientifique, vérifie enfin que la mantisse est bien comprise entre 1 et 10, sinon ajuste la puissance de 10.
Le sujet du contrôle : puissances et racines carrées
Exercice 1 – Les règles des puissances (4 points)
Écris chaque nombre sous la forme d’une seule puissance \(a^n\), où \(n\) est un entier relatif. Cite ensuite la règle utilisée.
- \(B = 2^5 \times 2^3\)
- \(C = \dfrac{7^9}{7^4}\)
- \(D = \left(5^3\right)^4\)
- \(E = 3^4 \times 3^{-6}\)
- \(F = \dfrac{10^2 \times 10^{-5}}{10^{-7}}\)
Enfin, calcule \(G = \dfrac{6^3 \times 2^{-2}}{3^2}\) en décomposant d’abord \(6^3\), puis donne sa valeur entière.
Exercice 2 – La lumière des étoiles (4 points)
Les astronomes et les biologistes manient des nombres très grands ou très petits. Ils les notent donc en écriture scientifique.
- La distance moyenne de la Terre à la Lune vaut \(384\,400\) km, tandis qu’une bactérie mesure \(0{,}000\,002\) m. Écris donc ces deux nombres en notation scientifique.
- La lumière parcourt environ \(3 \times 10^5\) km en une seconde, et une année compte environ \(3{,}15 \times 10^7\) secondes. Calcule alors la distance parcourue par la lumière en un an, appelée année-lumière, en notation scientifique.
- L’étoile Proxima du Centaure se trouve à environ 4 années-lumière de nous. Déduis-en sa distance en kilomètres, écrite en notation scientifique.
Exercice 3 – Simplifier des racines carrées (4 points)
Écris chaque nombre sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b\) le plus petit possible, ou bien sous la forme d’un entier.
- \(H = \sqrt{50}\)
- \(I = \sqrt{12} \times \sqrt{3}\)
- \(J = \sqrt{75} – 2\sqrt{3}\)
- \(K = \sqrt{18} + \sqrt{8}\)
- \(L = \left(2\sqrt{3}\right)^2\)
Exercice 4 – Des dénominateurs sans racine (3 points)
Quand un quotient contient une racine carrée au dénominateur, on peut l’écrire sans racine en bas. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine.
- Écris \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) sans racine au dénominateur, puis simplifie.
- Fais de même avec \(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\).
- Montre enfin que \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
Exercice 5 – Le carré et le triangle équilatéral (5 points)
Pour un logo, Anaïs dessine un carré \(ABCD\) de côté 6 cm et sa diagonale \([AC]\).
De plus, elle trace un triangle équilatéral \(EFG\) de côté 6 cm. Le point \(H\) est le milieu de \([FG]\), si bien que \([EH]\) est la hauteur issue de \(E\).
- Montre d’abord que \(AC = 6\sqrt{2}\) cm.
- Démontre ensuite que \(EH = 3\sqrt{3}\) cm.
- Déduis-en l’aire exacte du triangle \(EFG\).
- Calcule enfin le rapport \(\dfrac{AC}{EH}\) et donne-le sans racine au dénominateur.
Réviser puissances et racines carrées avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «puissances et racines carrées : contrôle de maths en seconde» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Seconde
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
