Résolution graphique d’équations : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « résolution graphique d’équations », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue la résolution graphique d’équations et d’inéquations. D’abord, tu lis sur une courbe les solutions de f(x) = k, puis tu compares deux courbes pour résoudre f(x) = g(x) et f(x) ≥ g(x). Ensuite, un exercice de calcul te demande de confirmer ces lectures grâce à une factorisation.
Enfin, deux situations terminent le sujet : une parabole coupée par une droite horizontale, puis la trajectoire d’un ballon dont on cherche quand il dépasse 15 mètres. Tes réponses s’écrivent en ensembles et en intervalles. Fais ce contrôle après le chapitre sur les généralités des fonctions, quand la lecture d’images et d’antécédents est sûre.
Ce qu’évalue le contrôle : résolution graphique d’équations
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Généralités sur les fonctions (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k et dénombrer ses solutions
- Résoudre graphiquement f(x) = g(x) et f(x) ≥ g(x) à l’aide des points d’intersection de deux courbes
- Écrire l’ensemble des solutions d’une inéquation sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles
- Confirmer une lecture graphique par une résolution algébrique avec une factorisation
- Interpréter une résolution graphique dans un problème concret de hauteur en fonction du temps
Avant de commencer le devoir
Pour résoudre f(x) = k, trace mentalement la droite horizontale d’ordonnée k, puis lis les abscisses des points d’intersection. Pour une inéquation, repère la partie de la courbe située au-dessus ou au-dessous, et projette-la sur l’axe des abscisses. Soigne alors les crochets : fermés si l’inégalité est large, ouverts si elle est stricte. Enfin, n’oublie pas les bornes de l’intervalle de définition.
Le sujet du contrôle : résolution graphique d’équations
Exercice 1 – Lire des solutions sur une courbe (4 points)
La courbe \(C_f\) ci-dessous représente une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-2 \,;\, 4]\). Les solutions se lisent sur le quadrillage, donc tu n’as aucun calcul à faire.
- Résous graphiquement l’équation \(f(x) = 0\).
- Trouve de même les solutions de \(f(x) = -3\).
- Donne ensuite l’ensemble des solutions de \(f(x) = 5\).
- Combien l’équation \(f(x) = -4\) a-t-elle de solutions ? Et l’équation \(f(x) = -5\) ? Justifie à l’aide de la courbe.
Exercice 2 – Deux courbes dans un même repère (4 points)
On reprend la courbe \(C_f\) de l’exercice 1. On trace aussi la droite \(C_g\), qui représente une fonction \(g\) définie sur \([-2 \,;\, 4]\). Les deux courbes se coupent aux points \(A\) et \(B\).
- Lis les coordonnées des points \(A\) et \(B\).
- Déduis-en l’ensemble des solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\).
- Résous alors graphiquement l’inéquation \(f(x) \geq g(x)\).
- Quel est enfin l’ensemble des solutions de \(f(x) < 0\) ?
Exercice 3 – Confirmer par le calcul (4 points)
En réalité, les fonctions des exercices 1 et 2 sont définies sur \([-2 \,;\, 4]\) par \(f(x) = x^2 – 2x – 3\) et \(g(x) = x – 3\). On veut donc vérifier certaines lectures par le calcul.
- Développe \((x + 1)(x – 3)\), puis compare le résultat avec \(f(x)\).
- Résous ensuite l’équation \(f(x) = 0\) par le calcul.
- Montre que \(f(x) – g(x) = x(x – 3)\).
- Résous algébriquement \(f(x) = g(x)\), puis compare avec ta réponse à l’exercice 2.
Exercice 4 – La parabole et la droite (3 points)
Sur l’intervalle \([-3 \,;\, 3]\), on a tracé la courbe d’équation \(y = x^2\) et la droite horizontale d’équation \(y = 4\).
- Résous graphiquement l’équation \(x^2 = 4\).
- Déduis-en les solutions de \(x^2 \leq 4\) sur \([-3 \,;\, 3]\).
- Écris enfin l’ensemble des solutions de \(x^2 > 4\) sur \([-3 \,;\, 3]\).
Exercice 5 – La hauteur d’un ballon (5 points)
Lors d’un match, Yanis dégage le ballon verticalement depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, au bout de \(t\) secondes vaut \(h(t) = -5t^2 + 20t\), pour \(t\) compris entre 0 et 4. Le graphique donne cette hauteur, ainsi que la droite horizontale située à 15 m.
- Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il, et à quel instant ?
- Résous graphiquement l’équation \(h(t) = 15\).
- Pendant combien de temps le ballon se trouve-t-il à 15 m ou plus ? Justifie avec une inéquation.
- Vérifie que \(h(t) – 15 = -5(t – 1)(t – 3)\), puis retrouve ainsi la réponse de la question b.
- À quel instant le ballon retombe-t-il au sol ?
Réviser résolution graphique d’équations avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon l’étude graphique et algébrique des fonctions ; entraîne-toi sur la fiche l’étude de fonction et résolution graphique d’équations et inéquations avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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