Repérage dans le plan : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

Sur chacune des figures ci-dessous, donner le nom du point de coordonnées \((-1\,;2)\).

On munit le plan d’un repère orthonormé. Les points \(A\) et \(B\) ont pour coordonnées respectives \((5\,;-1)\) et \((-2\,;1)\). Déterminer :

1. la valeur exacte de la longueur du segment \([AB]\) ;
2. les coordonnées du milieu du segment \([AB]\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\) d'unité \(1\,\text{cm}\).

1. Placer les points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((2\,;-1)\) et \((-6\,;-1)\).
2. Construire un point \(C\) tel que \(ABC\) soit un triangle isocèle en \(C\) et de hauteur \(4\,\text{cm}\).
3. Lire les coordonnées du point \(C\).
4. Construire le symétrique de \(C\) par rapport à \((AB)\).
5. Lire ses coordonnées.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\) d'unité \(1\,\text{cm}\).

1. Placer les points \(D\) et \(E\) de coordonnées respectives \((4\,;-3)\) et \((-2\,;3)\).
2. Construire un point \(F\) tel que \(EDF\) soit équilatéral.
3. Lire les coordonnées du point \(F\).
4. Construire le symétrique de \(E\) par rapport à \(F\).
5. Lire ses coordonnées.

Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), placer les points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((-2{,}6\,;4{,}7)\) et \((6{,}3\,;-5{,}9)\) et déterminer les coordonnées du milieu du segment \([AB]\).

Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), on a placé les points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées respectives \(\left(\dfrac{1}{3}\,;\dfrac{2}{5}\right)\), \(\left(\dfrac{4}{6}\,;\dfrac{1}{4}\right)\) et \(\left(\sqrt{5}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Déterminer les coordonnées des points \(D\), \(E\) et \(F\), milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\) et \([AC]\).

Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), on a placé les points \(C\) et \(D\) de coordonnées respectives \((34\,582\,;-43\,590)\) et \((10\,991\,;59\,267)\).

Déterminer les coordonnées du point d'intersection du segment \([CD]\) avec sa médiatrice.

■ Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), on a placé les points \(A\) et \(M\) de coordonnées respectives \((3\,;-2)\) et \((0\,;3)\).

Déterminer les coordonnées du point \(B\) tel que \(M\) soit le milieu du segment \([AB]\).

■ Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), on a placé les points \(E\) et \(F\) de coordonnées respectives \((-6{,}9\,;-3{,}3)\) et \((0\,;-4{,}6)\).

Déterminer les coordonnées du point symétrique de \(E\) par rapport au point \(F\).

■ Dans le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\), on a placé les points \(B\), \(A\) et \(N\) de coordonnées respectives \(\left(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{3}{4}\right)\), \(\left(\dfrac{4}{5}\,;\dfrac{7}{3}\right)\) et \(\left(-\dfrac{5}{6}\,;\dfrac{2}{3}\right)\).

1. Calculer les coordonnées du milieu de \([BN]\).
2. Calculer les coordonnées du point \(C\) tel que \(BANC\) soit un parallélogramme.

On munit le plan d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\). On construit un triangle \(PAT\) dont les sommets ont pour coordonnées respectives \((-2\,;4)\), \((0\,;-1)\) et \((5\,;-2)\). Le point \(E\) est le milieu du segment \([AT]\). La parallèle à \((TP)\) passant par \(E\) coupe \((PA)\) en \(F\).

Quelles sont les coordonnées de \(F\) ?

On considère le plan muni d'un repère \((O\,;I\,,J)\).

1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) dans le repère \((O\,;I\,,J)\).
2. Placer le symétrique \(E\) du point \(B\) par rapport à \(J\). Déterminer graphiquement ses coordonnées.
3. Calculer les coordonnées des milieux \(F\) de \([AB]\) et \(G\) de \([AC]\).
4. Calculer les distances \(AC\), \(CE\) et \(AE\).
5. Quelle est la nature du triangle \(ACE\) ? Le démontrer.

On considère, dans un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\), les points suivants :

• \(A\left(-\dfrac{5}{3}\,;-\dfrac{1}{6}\right)\)
• \(B\left(2\,;\dfrac{1}{3}\right)\)
• \(C\left(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{1}{2}\right)\)

1. Calculer le périmètre du triangle \(ABC\).
2. Calculer les coordonnées des points \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\) et \(C^{\prime}\), milieux respectifs des segments \([BC]\), \([AC]\) et \([AB]\).
3. En déduire le périmètre du triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\).

Voici le patron d'une pyramide \(EABCD\) dans un repère orthonormé \((A\,;B\,,D)\).

Déterminer les coordonnées de chacun des points :

• \(E_1\)
• \(E_2\)
• \(E_3\)
• \(E_4\)

On munit le plan d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\).

On place les points suivants :

• \(T(-2{,}2\,;1{,}2)\)
• \(A(-1{,}2\,;3{,}6)\)
• \(C(6\,;0{,}6)\)

1. Calculer les valeurs exactes des longueurs des trois côtés du triangle \(TAC\).
2. Démontrer que le triangle \(TAC\) est rectangle.
3. On appelle \(K\) le milieu de \([TC]\). Calculer les coordonnées de \(K\).
4. Quelles sont les coordonnées du point \(E\) tel que \(ECAT\) soit un rectangle ?

Dans un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\), on considère les points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((2\,;0)\) et \((5\,;0)\).

1. On appelle \(C\) le point d'ordonnée positive tel que \(ABC\) soit un triangle équilatéral. Déterminer les coordonnées du point \(C\).
2. Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\). Déterminer les coordonnées du point \(G\).
3. Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs des segments \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).
   1. Calculer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(K\).
   2. Démontrer que le triangle \(IJK\) est équilatéral.
   3. Démontrer que le point \(G\) est le centre de gravité de \(IJK\).

\(ABCD\) est un rectangle tel que : \(AB=3\,\text{cm}\) et \(AD=2\,\text{cm}\).

\(E\) est le point du côté \([AB]\) tel que \(AE=2\,\text{cm}\). On considère le repère orthonormé \((A\,;E,D)\).

1. Donner les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\).
2. \(I\) est le milieu de la diagonale \([BD]\). Calculer les coordonnées de \(I\).
3. Calculer la distance \(ID\).

\(ABCD\) et \(BCEF\) sont deux carrés de côté \(1{,}5\,\text{cm}\).

1. On considère le repère orthonormé \((B\,;F,C)\).
   1. Lire les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\).
   2. \(S\) et \(T\) sont les centres des deux carrés. Calculer les coordonnées des points \(S\) et \(T\).
   3. Calculer la distance \(AT\).
2. Reprendre les questions précédentes avec chacun des repères :
   1. \((A\,;B,D)\)
   2. \((D\,;A,C)\)

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\) tel que : \(\widehat{BAC}=60^{\circ}\) et \(BC=4\,\text{cm}\). \(BCD\) est un triangle équilatéral. Les points \(A\), \(C\), \(E\) sont alignés et le triangle \(CDE\) est tel que \(\widehat{CED}=45^{\circ}\).

1. Tracer et coder une figure à main levée.
2. Quelle est la nature du triangle \(CDE\) ? En déduire la longueur \(CE\).

Sur chacune des figures ci-dessous, lire les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\).

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\), on considère les points \(M\), \(E\) et \(R\) de coordonnées respectives :

• \(\left(-1\,;\dfrac{1}{3}\right)\)
• \(\left(0\,;-\dfrac{2}{3}\right)\)
• \(\left(\dfrac{2}{3}\,;1\right)\)

1. Faire une figure.
2. Calculer les longueurs des trois côtés de \(MER\).
3. Quelle est la nature de ce triangle ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\). On considère les points suivants : \(A(-2\,;2)\), \(B(2\,;-1)\), \(C(5\,;3)\) et \(D(1\,;6)\).

1. Faire une figure.
2. Calculer les coordonnées de \(K\), milieu du segment \([AC]\).
3. Calculer les coordonnées de \(L\), milieu du segment \([BD]\).
4. En déduire que \(ABCD\) est un parallélogramme.
5. Calculer \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
6. En déduire la nature du triangle \(ABC\), puis du quadrilatère \(ABCD\).

On considère un repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\).

1. Déterminer l'ordonnée du point \(A\).
2. Déterminer l'abscisse du point \(B\).
3. Lire les coordonnées des points \(C\) et \(D\).

Soient \(A\), \(B\) et \(C\), trois points dans le repère \((O\,;I\,,J)\) ci-dessous. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le repère \((O\,;I\,,J)\) est un repère orthogonal.
2. L'abscisse du point \(A\) est égale à 1.
3. L'ordonnée du point \(B\) est égale à 0.
4. Le point \(C\) a pour coordonnées \((-3\,;3)\).

On considère la figure ci-dessous.

1. Calculer les coordonnées de \(K\) milieu de \([AC]\).
2. Calculer les coordonnées de \(L\) milieu de \([BD]\).
3. En déduire que \(ABCD\) est un parallélogramme.

Dans chacun des cas, faire une figure pour conjecturer la nature du quadrilatère \(ABCD\), puis confirmer ou infirmer votre conjecture à l'aide d'un raisonnement mathématique.

1. \(A(-3\,;0)\), \(B(2\,;-1)\), \(C(6\,;5)\) et \(D(1\,;6)\)
2. \(A(2\,;-2)\), \(B(6\,;0)\), \(C(3\,;6)\) et \(D(-1\,;4)\)
3. \(A(0\,;1)\), \(B(3\,;2)\), \(C(2\,;5)\) et \(D(-1\,;4)\)

On considère le repère \((O\,;I\,,J)\) ci-dessous.

1. Le repère \((O\,;I\,,J)\) est-il orthonormé ? orthogonal ?
2. Lire les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le repère \((O\,;I\,,J)\).
3. Reproduire le repère et placer les points \(D(1\,;1)\) et \(E(-1\,;0)\).
4. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère \((D\,;A\,,I)\).

La figure ci-dessous est composée de deux carrés accolés (\(ABCD\) et \(CBKJ\)) et d'un trapèze \(EHGF\). La droite \((BC)\) est un axe de symétrie.

Dans le repère \((C\,;I\,,B)\) :

1. Donner les coordonnées de tous les points.
2. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([EF]\).
3. Calculer les coordonnées du milieu \(N\) de \([GH]\).

Dans le repère orthonormé \((O\,;I\,,J)\) ci-dessous, on considère le carré \(ABCD\) et le parallélogramme \(EFDC\).

1. Lire les coordonnées de tous les points.
2. Calculer les coordonnées du milieu \(K\) de \([AE]\).
3. Calculer les coordonnées du milieu \(L\) de \([BF]\).
4. En déduire la nature du quadrilatère \(AFEB\).
5. Que dire alors des droites \((AF)\) et \((BE)\) ?

Mathias et Zineb jouent aux fléchettes. La cible est placée dans le repère \((O\,;I\,,J)\) ci-dessus. Les fléchettes de Mathias sont repérées par les points \(A_1(2\,;5)\), \(B_1(8\,;3)\) et \(C_1(-6\,;-2)\).

1. Déterminer le score obtenu par Mathias.
2. Les deux premières fléchettes de Zineb sont repérées par \(A_2\) et \(B_2\) tels que \(A_2\) est le milieu de \([A_1B_1]\) et \(B_2\) est le symétrique de \(B_1\) par rapport à \(A_1\). Déterminer une position possible de la troisième flèche afin que Zineb obtienne :
   1. le même score que Mathias ;
   2. un score plus élevé que Mathias.

Aïden souhaite réaliser un logo pour la gazette médicale de son quartier. Il propose la maquette suivante composée d'un cœur et d'une ligne brisée. Le plan est muni d'un repère \((O\,;A\,,J)\) orthonormé.

1. Dans le repère \((O\,;A\,,J)\), déterminer les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) et \(G\).
2. Pour être imprimée sans frais supplémentaires, la longueur de la ligne brisée \(ABCDEFG\) doit être inférieure à 7 unités. Aïden doit-il prévoir un budget additionnel ?

Fabrice doit réaliser le logo ci-dessous. Il est composé d’un carré \(ABCD\) de centre \(O\) et de trois triangles hachurés. La droite \((OH)\) est un axe de symétrie.

Calculer le rapport de l’aire de la partie hachurée sur l’aire de \(ABCD\).

Soit \((O\,;\,I,\,J)\) un repère orthonormé. Dans chacun des cas, déterminer si les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

1. \(A\left(1\,;\,\dfrac{-5}{4}\right)\), \(B\left(5\,;\,\dfrac{7}{4}\right)\) et \(C\left(12\,;\,\dfrac{13}{4}\right)\)
2. \(A\left(0\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\), \(B\left(3\,;\,\dfrac{-1}{3}\right)\) et \(C\left(9\,;\,\dfrac{-5}{3}\right)\)

On considère le programme suivant écrit avec Python, qui permet de savoir si trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés dans un repère orthonormé.

1 from math import sqrt
2
3 def Distance(xA, yA, xB, yB):
4    return sqrt((xA - xB)**2 + (yA - yB)**2)
5
6 def Alignement(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
7    d1 = Distance(xA, yA, xB, yB)
8    d2 = Distance(xB, yB, xC, yC)
9    d3 = Distance(xA, yA, xC, yC)
10    if d1 + d2 == d3:
11       return True
12    else:
13       return False

1. Que fait la fonction Distance ?
2. Tester l’algorithme avec les points \(A(-1\,;\,-1)\), \(B(1\,;\,0)\) et \(C(5\,;\,2)\).
3. On considère les points \(A(2\,;\,2)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(3\,;\,2)\).
   1. Sont-ils alignés ?
   2. Appliquer l’algorithme avec ces points : que renvoie-t-il ? Expliquer pourquoi.

La façade d’une maison que l’on souhaite peindre a été modélisée à l’aide du logiciel GeoGebra. Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O\,,\,U\,,\,V)\) non représenté. Les quadrilatères \(FGHI\), \(JKLM\) et \(PQRS\) ne doivent pas être peints. La droite \((EH)\) est un axe de symétrie.

\(A(3\,;\,3)\)
\(B(17\,;\,3)\)
\(C(17\,;\,10)\)
\(D(3\,;\,10)\)
\(E(10\,;\,19)\)
\(F(10\,;\,16)\)
\(G(9\,;\,14)\)
\(H(10\,;\,12)\)
\(I(11\,;\,14)\)
\(J(5\,;\,3)\)
\(K(5\,;\,7)\)
\(L(9\,;\,7)\)
\(M(9\,;\,3)\)

Déterminer l’aire de la surface à peindre de la façade avant.

On considère la figure ci-dessous composée d’un triangle \(ABC\) et de trois demi-cercles de diamètre \([AC]\), \([AB]\) et \([BC]\). On pose \(a = AB\) et \(b = AC\).

On admet que \(ABC\) est un rectangle en \(A\).

1. Déterminer l’aire des deux lunules oranges.
2. Comparer cette aire avec celle du triangle \(ABC\).

On considère un carré \(EFGH\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) qui est lui-même inscrit dans un carré \(ABCD\). Déterminer la proportion de la surface bleue par rapport à l^{\prime}aire totale du carré \(ABCD\).