Simulation et échantillonnage : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

Un fabricant de composants électroniques affirme que 4 % de ses produits présentent un défaut.
Lors d’une semaine, on se demande si ce pourcentage est respecté.
Pour un échantillon de taille \(n\) tiré (avec remise) dans la production de la semaine, on note I l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, donné en cours, de la fréquence de composants défectueux.

a) Pour \(n=1600\), quelle est la longueur de I ?
b) Pour quelle valeur de \(n\) la longueur de I est-elle deux fois plus petite ?

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

a) Concevoir un algorithme pour simuler un échantillon de 50 lancers et afficher la fréquence d’obtention d’un numéro supérieur ou égal à 5.
b) Traduire cet algorithme par un programme avec Python, AlgoBox ou la calculatrice.
Exécuter ce programme.
Quelle fréquence d’obtention d’un nombre supérieur ou égal à 5 affiche-t-il ?

Dans un champ poussent 40 % de fleurs jaunes et 60 % de fleurs bleues.
Maya cueille des fleurs pour faire un bouquet que l’on peut considérer comme un échantillon des fleurs de ce champ.

a) Concevoir un algorithme pour simuler un échantillon de 45 fleurs et afficher la fréquence de fleurs bleues.
b) Modifier l’algorithme afin de pouvoir saisir la taille de l’échantillon.

Pour chaque formule du tableur, indiquer l’intervalle dans lequel se trouvent les nombres qui peuvent être affichés.

a) =ALEA()
b) =ALEA()+0,65
c) =ALEA()+1/4

Pour chaque formule du tableur, indiquer la probabilité d’obtenir 1, puis celle d’obtenir 0.

a) =ENT(ALEA()+0,5)
b) =ENT(ALEA()+0,27)
c) =ENT(ALEA()+4/7)

Dans un sac, il y a 60 % de haricots blancs et 40 % de haricots rouges. On souhaite prélever par tirages avec remise un échantillon dans ce sac.

a) Expliquer comment la formule du tableur =ENT(ALEA()+0,6) peut être utilisée pour simuler cette expérience aléatoire.
b) Avec le tableur, simuler un échantillon de 38 haricots extraits de ce sac.
c) Calculer la fréquence des haricots blancs dans cet échantillon. Pourquoi cette fréquence n’est-elle pas nécessairement égale à 0,6 ?

Pour son anniversaire, Margot a reçu une boîte de perles contenant 75 % de perles dorées et 25 % de perles argentées. Elle tire au hasard, une par une, les 45 perles qui constituent un collier.
Le nombre total de perles est assez grand pour considérer chaque collier comme un échantillon de perles de la boîte.

a) En utilisant la commande « nombre aléatoire » de la calculatrice, simuler un collier, échantillon de 45 perles.
b) Calculer la fréquence des perles dorées dans cet échantillon. Pourquoi cette fréquence n’est-elle pas nécessairement égale à 0,75 ?

En 2011, en France, 38 % des montures de lunettes vendues étaient des modèles pour femmes. En consultant les registres des ventes, on a constitué 200 échantillons de 50 montures et calculé dans chacun la fréquence \(f\) des montures féminines. Le tableau ci-dessous indique le nombre d’échantillons N pour chaque fréquence observée.

Déterminer, à partir des données ci-dessus, un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % centré en 0,38 de la fréquence des montures pour femmes, pour des échantillons de taille 50.

Sur un paquet de mélange de céréales et lentilles, on lit la composition suivante :

a) Avec la formule du cours, déterminer les intervalles de fluctuation au seuil de 95 % des fréquences de grains de blé et de grains d’épeautre pour des échantillons de taille 100.
b) Pourquoi ne peut-on pas utiliser la formule du cours ni pour les grains de riz rouge ni pour les lentilles ?

Lors d’une étude publiée en 2013 et portant sur 440 bébés, des chercheurs américains ont observé que 205 bébés présentaient une déformation du crâne. Cette étude avait pour objectif de préciser les résultats d’études précédentes, qui indiquaient des pourcentages de bébés présentant une déformation allant de 3 % à 61 %.

Pour les bébés américains présentant une déformation du crâne, cette étude amène-t-elle à rejeter une proportion :

a) de 50 % ?    b) de 61 % ?    c) de 3 % ?

D’octobre à mars, l’accès au musée du Louvre est gratuit le premier dimanche du mois.

La proportion de visiteurs français ces jours-là est de \(0{,}59\).

Une nouvelle exposition est proposée. On souhaite connaître son impact sur la fréquentation des visiteurs français les jours de gratuité.

Sur un échantillon de visiteurs un jour de gratuité, \(67\,\%\) sont français.

Quelle conclusion peut-on émettre si l’échantillon est constitué :

1. de 50 visiteurs ?
2. de 500 visiteurs ?

Une publicité annonce que \(97\,\%\) des acheteurs sont satisfaits par un produit.

Pour vérifier cette annonce, une association de consommateurs constitue un échantillon de \(n\) acheteurs de ce produit. Le nombre total d’acheteurs est assez grand pour considérer que cet échantillon est constitué par des tirages avec remise.

I est l’intervalle de fluctuation au seuil de \(95\,\%\), donné en cours, de la fréquence d’acheteurs satisfaits.

1. On interroge 400 personnes. Quelle est la longueur de l’intervalle I ?
2. Pour quelle valeur minimale de \(n\), l’intervalle I a-t-il une longueur :
   • inférieure à \(0{,}06\) ?
   • inférieure à \(0{,}03\) ?

Dans une métropole, le responsable d’une plateforme de VTC affirme que \(35\,\%\) des habitants sont des utilisateurs de son service.

Pour vérifier cette affirmation, on interroge un échantillon de \(n\) habitants, obtenu par des tirages avec remise.

Quelle doit être la valeur de l’effectif \(n\) pour que l’intervalle de fluctuation au seuil de \(95\,\%\), donné en cours, de la fréquence des utilisateurs de VTC ait une longueur inférieure à \(0{,}06\) ?

Variables : L, M sont des nombres réels, \(n\) est un nombre entier naturel

Entrée : Saisir L
Traitement : Affecter à n la valeur 1
Affecter à M la valeur \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\)
Tant que M > L
  Affecter à n la valeur n + 1
  Affecter à M la valeur \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\)
Fin Tant que
Sortie : Afficher n

1. Appliquer cet algorithme à l’entrée \(\mathrm{L}=0{,}06\).
2. Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
3. Marion affirme : « On peut écrire cet algorithme sans boucle Tant que. » A-t-elle raison ? Si oui, écrire ce nouvel algorithme, le programmer avec la calculatrice et l^{\prime}appliquer avec l^{\prime}entrée \(\mathrm{L}=0{,}1\).

Charles Senders Peirce (1839-1914) est un philosophe américain considéré comme l’un des plus grands logiciens.

En 1878, il écrivait le raisonnement suivant :

• Quelques haricots de cette poignée sont blancs.
• La plupart des haricots dans ce sac sont blancs.
• Par conséquent : cette poignée de haricots a probablement été tirée d’un autre sac.

En quoi ce raisonnement s’apparente-t-il à la prise de décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation ?

Dans la Nièvre, environ \(30\,\%\) des habitants ont les yeux bleus.

Grâce aux registres de recensement, on constitue un échantillon d’habitants de ce département, puis on les contacte pour leur demander s’ils ont les yeux bleus ou non.

1. Quelle formule peut-on utiliser avec la calculatrice pour simuler cette expérience aléatoire ?
2. Utiliser la formule pour simuler, à l’aide de la calculatrice, la constitution d’un échantillon de 30 habitants qui indiqueraient la couleur de leurs yeux.

Le parc de véhicules de service d’une grande entreprise comprend \(40\,\%\) de véhicules de marque A et \(60\,\%\) de véhicules de marque B.

On dispose d’un fichier où figurent ces véhicules avec leurs caractéristiques.

Dans ce fichier, on tire au hasard l’un de ces véhicules et on note sa marque.

1. Avec le tableur, quelle formule peut-on utiliser pour simuler cette expérience aléatoire ?
2. Constituer un échantillon de taille 10 à l’aide du tableur.

Une chaîne de production fabrique des pièces détachées pour l’industrie automobile.

On considère comme normal le fait que \(37\,\%\) de ces pièces détachées présentent des imperfections sans gravité.

Sur un échantillon de 200 pièces fabriquées par cette chaîne, 86 présentent de telles imperfections.

Au vu de cet échantillon, faut-il envisager de faire réviser la chaîne de production ?

Le PDG d’un fournisseur d’électricité a pour objectif que \(75\,\%\) de ses clients soient satisfaits des services proposés. Pour vérifier si c’est bien le cas, il organise tous les ans une enquête auprès d’un échantillon de clients.

En 2013, sur 200 clients interrogés, 147 se sont déclarés satisfaits.

Au vu de l’échantillon considéré, le PDG peut-il considérer que son objectif est atteint ?

Au cours d’une épidémie de grippe, on réalise chaque semaine un sondage pour déterminer le pourcentage de la population touchée par cette maladie.

Au plus fort de l’épidémie, on considère que celle-ci touche \(1{,}5\,\%\) des Français.

Lors d’une semaine, on se demande si ce pourcentage a été atteint.

Quel doit être, au moins, l’effectif de l’échantillon pour que l’intervalle de fluctuation I au seuil de \(95\,\%\), donné en cours, de la fréquence des personnes grippées ait une longueur inférieure ou égale à \(0{,}02\) ?

a. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui simule le lancer d’une pièce équilibrée et restitue le résultat de ce lancer.

def lancer():
    if …………… :
        return “pile”
    else :
        return ……………

b. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle renvoie la fréquence d’apparition de Pile au cours de \(n\) lancers d’une pièce équilibrée.

def frequence(n) :
    nbr_pile=0
    for …………… :
        if lancer()==…………… :
            nbr_pile=……………
    return nbr_pile/n

Pour déterminer, dans un échantillon de taille \(n\), la fréquence observée du succès d’une expérience aléatoire, on utilise la fonction frequence(n) ci-dessous.

def frequence(n) :
    compteur=0
    for k in range (1,n+1) :
        if random()<=0.34 :
            compteur=compteur+1
    return compteur/n

1. Déterminer la probabilité du succès dans cette expérience.
2. En exécutant cette fonction, on obtient les affichages ci-dessous. Interpréter ces résultats.

>>> frequence(1000)
0.348

>>> frequence(1000)
0.361

TICE On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le numéro de la face supérieure. On utilise un tableur.

1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A1 pour simuler le lancer d’un dé ?
2. 1. Dans la colonne A, réaliser un échantillon de taille 100 de cette expérience.
   2. Dans la cellule A101, déterminer la fréquence d’apparition de la face 3 dans cet échantillon.
3. Dans la colonne B (respectivement C, D, E, F), reprendre les questions précédentes afin de déterminer la fréquence d’apparition de la face 3 sur un échantillon de taille 200 (respectivement 400, 600, 800, \(1\,000\)). Compléter le tableau ci-dessous :
   

   Taille \(n\)	Fréquence observée \(f_n\)
   \(100\)
   \(200\)
   \(400\)
   \(600\)
   \(800\)
   \(1\,000\)

4. Que remarque-t-on ? Pouvait-on le prévoir ?

On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le numéro de la face supérieure.

1. Rédiger une fonction en langage Python qui simule \(n\) lancers du dé et qui renvoie la fréquence d’apparition de la face 6.
2. Exécuter cette fonction et compléter le tableau ci-contre :
3. Que remarque-t-on ? Pouvions-nous le prévoir ?

TICE Le maire d’une grande commune souhaite connaître l’opinion de ses habitants au sujet de la construction d’un skate-park, puisque, lors d’une étude nationale, il s’est avéré que \(34\,\%\) des Français appréciaient les activités de plein air telles que le roller, le skateboard, le cruiser, le longboard et le waveboard.

1. Dans la colonne A d’un tableur, réaliser un échantillon de taille 100 et calculer la proportion d’habitants favorables à la création du skate park.
2. En procédant de la même façon, réaliser des échantillons de taille 200, …, \(1\,000\) et compléter au fur et à mesure le tableau ci-contre :
3. Quelle décision doit prendre le maire ?

Un fabricant de pâte à tartiner a supprimé l’huile de palme des ingrédients utilisés. Il demande à ses consommateurs s’ils sont satisfaits. À l’échelle nationale, on a estimé que lors d’un changement de recette, \(80\,\%\) des consommateurs étaient satisfaits.

Le service consommateur de cette marque a interrogé six échantillons de consommateurs composés de 100 personnes chacun et a calculé la fréquence observée de l’événement « la personne est satisfaite ».

Voici les résultats :

1. Que peut-on dire de la proportion de personnes satisfaites par ce changement de recette ?
2. Pour ces six échantillons, déterminer la proportion des cas où l’écart entre la probabilité \(p\) et la fréquence observée \(f\) est inférieur ou égal à \(0{,}1\).

a. Compléter cet algorithme qui simule \(n\) lancers d’une pièce équilibrée et affiche la fréquence observée de la face Pile :

Saisir n
……………
Pour k allant de 1 à n
  lancer ← nombre aléatoire entre 0 et 1
  Si lancer = 1
    Alors ……………
  Fin Si
Fin Pour
Afficher ……………

b. Modifier cet algorithme afin d’obtenir N échantillons de tailles \(n\).

c. Modifier à nouveau cet algorithme afin de déterminer la proportion des cas où l’écart entre la probabilité \(p\) et la fréquence observée \(f\) est inférieur ou égal à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).

d. Programmer cet algorithme sur une calculatrice et le tester pour : \(\mathrm{N}=30\) et \(n=100\). Interpréter le résultat obtenu.

a. Le professeur a donné à Marc le programme ci-dessous. Que fait ce programme ?

def lancer_dé() :
    numéro=randint(1,6)
    return numéro

dé1=lancer_dé()
dé2=lancer_dé()
somme=dé1+dé2
print(somme)

b. Modifier cet algorithme afin qu’il affiche la fréquence d’apparition du nombre 7 lorsqu’on répète cette expérience aléatoire 50 fois de suite.

Qu’affichera le programme suivant ?

a=1
b=1
b=a+b
a=a-b
print(a)

Lors d’un sondage effectué dans un lycée, les élèves ont répondu favorablement à \(68\,\%\) à la question « êtes-vous satisfait de la cantine de votre établissement ? »

Rédiger un algorithme qui simule N échantillons de taille \(n\) et qui détermine la proportion de personnes satisfaites dans chaque échantillon de taille \(n\).

Dans une galaxie lointaine M49GN, Paul, le président du conseil de Direction souhaite proposer un referendum sur l’épineuse question : « Faut-il développer les voyages intergalactiques ? ».

Comme le risque d’émeutes chez ces sympathiques aliens est réel, il demande à l’institut ISOGalactis de réaliser un sondage d’opinion. Sur les \(1\,031\) aliens sollicités, 436 sont favorables à ce projet.

1. Déterminer l^{\prime}intervalle de confiance au seuil de \(95\,\%\).
2. Est-ce que Paul doit développer les voyages intergalactiques ?

Des élections ont lieu sur la planète ToutAzimut. Le candidat Electron a obtenu \(54\,\%\) des intentions de vote lors d’un sondage sur un échantillon de 350 personnes.

1. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de \(95\,\%\).
2. Si les élections avaient eu lieu le jour de ce sondage et si les réponses des personnes interrogées étaient sincères, le candidat Electron aurait-il été élu au premier tour ?
3. Déterminer le nombre de personnes qu’il aurait fallu interroger afin d’être certain que le candidat Electron soit élu.

Pour une chaîne de production qui fabrique des flacons de parfum, il est considéré comme acceptable que \(20\,\%\) des flacons présentent des imperfections sans gravité. Sur un échantillon de 150 flacons, 63 présentent des imperfections.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de \(95\,\%\).
2. Au vu de cet échantillon, faut-il envisager de réviser la chaîne de production ?