Géométrie repérée
En bref : La géométrie repérée consiste à résoudre des problèmes de figures en calculant avec les coordonnées des points dans un repère : distances, milieux, parallélogrammes et nature d’un triangle.
SecondeGéométrie plane
Définition : Géométrie repérée
La géométrie repérée remplace les constructions à la règle par des calculs. Chaque point reçoit des coordonnées \((x\,;\,y)\), et une propriété de la figure se vérifie alors avec des formules.
Dans un repère orthonormé, la distance entre \(A\) et \(B\) vaut \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\), et le milieu de \([AB]\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\). Un quadrilatère est un parallélogramme quand ses diagonales ont le même milieu. Le calcul prouve ce qu’un dessin, même soigné, ne fait que suggérer.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne les coordonnées de plusieurs points et demande de démontrer une propriété d’une figure.
- On doit prouver qu’un triangle est isocèle, rectangle ou équilatéral sans utiliser la règle.
- Il faut trouver les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme.
- Le repère est précisé orthonormé, ce qui autorise la formule de distance.
La méthode
- Placer les points dans un repère à main levée pour deviner la nature de la figure.
- Calculer les carrés des longueurs avec la formule de distance, sans extraire les racines trop tôt.
- Comparer les carrés : deux égaux donnent un triangle isocèle, et \(AB^2+BC^2=AC^2\) un angle droit en \(B\).
- Pour un parallélogramme \(ABCD\), écrire que \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu et en déduire \(D\).
Géométrie repérée : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1\,;\,-1)\), \(B(3\,;\,1)\) et \(C(1\,;\,5)\). Calculer \(AB^2\), \(BC^2\) et \(AC^2\), préciser la nature du triangle \(ABC\), puis trouver \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Corrigé
\(AB^2=4^2+2^2=20\), \(BC^2=(-2)^2+4^2=20\) et \(AC^2=2^2+6^2=40\). Comme \(AB^2=BC^2\) et \(AB^2+BC^2=AC^2\), le triangle est rectangle isocèle en \(B\).
Le milieu de \([AC]\) est \(M(0\,;\,2)\). Si \(M\) est aussi le milieu de \([BD]\), alors \(\dfrac{3+x_D}{2}=0\) et \(\dfrac{1+y_D}{2}=2\), soit \(D(-3\,;\,3)\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer la distance entre \(E(2\,;\,-3)\) et \(F(8\,;\,5)\) dans un repère orthonormé.
Voir la réponse
\(EF=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).
Question 2
Quelles sont les coordonnées du milieu de \([EF]\) ?
Voir la réponse
\(\left(\dfrac{2+8}{2}\,;\,\dfrac{-3+5}{2}\right)=(5\,;\,1)\).
Ne pas confondre Géométrie repérée et Repère
Le repère est le cadre : deux axes, une origine, une unité. La géométrie repérée est la méthode qui s’en sert pour démontrer. Attention, la formule de distance ne vaut que dans un repère orthonormé, où les deux unités sont égales et les axes perpendiculaires.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
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