Résolution graphique en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

La fonction \(f\) est définie sur \([-4\,;\,2]\). Pour résoudre \(f(x) \geqslant k\), on trace la droite horizontale d’équation \(y = k\) et on cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de cette droite.

Points lus sur la courbe : \(f(-4) = -3\), \(f(-3) = -1\), \(f(-2) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f\left(\tfrac{1}{2}\right) = 1\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = -1\).

a) \(f(x) \geqslant 1\) : la courbe est au-dessus de la droite \(y = 1\) entre les abscisses \(-1\) et \(\tfrac{1}{2}\), bornes comprises car l’inégalité est large.

\[ S_a = \left[-1\,;\,\tfrac{1}{2}\right] \]

b) \(f(x) \gt 0\) : la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses entre \(-2\) et \(1\). En \(-2\) et en \(1\), \(f(x) = 0\) : ces valeurs sont exclues car l’inégalité est stricte.

\[ S_b = \left]-2\,;\,1\right[ \]

c) \(f(x) \leqslant -1\) : la courbe est sur ou sous la droite \(y = -1\) entre \(-4\) et \(-3\), et elle revient toucher cette droite en \(x = 2\) (car \(f(2) = -1\)). Entre \(1\) et \(2\), \(f(x)\) est compris entre \(-1\) et \(0\), donc strictement plus grand que \(-1\).

\[ S_c = [-4\,;\,-3] \cup \{2\} \]

Pour comparer \(f(x)\) et \(g(x)\), on regarde la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\mathcal{C}_g\) : \(f(x) \geqslant g(x)\) quand \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus (ou sur) \(\mathcal{C}_g\).

Les deux courbes se coupent en deux points : \(A(-2\,;\,-1)\) et \(B(1\,;\,1)\). Les solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\) sont donc \(-2\) et \(1\).

• Sur \([-3\,;\,-2]\), \(\mathcal{C}_f\) part de \((-3\,;\,2)\), au-dessus de \(\mathcal{C}_g\), et la rejoint en \(A\).
• Sur \([-2\,;\,1]\), \(\mathcal{C}_f\) descend jusqu’à \((-1\,;\,-2)\) : elle est sous \(\mathcal{C}_g\).
• Sur \([1\,;\,3]\), \(\mathcal{C}_f\) repasse au-dessus et finit en \((3\,;\,3)\).

a) \(f(x) \geqslant g(x)\) : \(S = [-3\,;\,-2] \cup [1\,;\,3]\).

b) \(f(x) \gt g(x)\) : on enlève les abscisses des points d’intersection. \(S = [-3\,;\,-2[ \,\cup\, ]1\,;\,3]\).

c) \(f(x) \leqslant g(x)\) : \(\mathcal{C}_f\) est sous ou sur \(\mathcal{C}_g\). \(S = [-2\,;\,1]\).

a) Le carré ABCD a pour côté \(x\), donc \(\mathcal{A}(x) = x^2\). Le carré AEFG a pour côté \(x + 1\). Le polygone BCDGFE est ce qui reste de AEFG quand on enlève ABCD :

\[ \begin{aligned} \mathcal{B}(x) &= (x+1)^2 – x^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 – x^2 \\ &= 2x + 1 \end{aligned} \]

On a bien, pour tout \(x \geqslant 0\), \(\mathcal{B}(x) = 2x + 1\).

b) À la calculatrice, on entre \(Y_1 = X^2\) et \(Y_2 = 2X + 1\) avec une fenêtre du type \(0 \leqslant X \leqslant 4\), \(0 \leqslant Y \leqslant 12\). On obtient une parabole (pour \(\mathcal{A}\)) et une droite (pour \(\mathcal{B}\)) qui se coupent en un seul point pour \(x \geqslant 0\), d’abscisse proche de \(2{,}4\). Avant ce point, la droite est au-dessus ; après, c’est la parabole.

c) Le logiciel résout \(x^2 = 2x + 1\) et donne \(x = -\sqrt{2} + 1\) ou \(x = \sqrt{2} + 1\). Vérifions la seconde valeur :

\[ \left(1+\sqrt{2}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} \quad \text{et} \quad 2\left(1+\sqrt{2}\right) + 1 = 3 + 2\sqrt{2}. \]

L’égalité est vraie. La valeur \(1 – \sqrt{2} \approx -0{,}41\) est négative : elle ne convient pas puisque \(x \geqslant 0\) (une longueur). Le seul point d’intersection affiché a donc pour abscisse \(1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\), ce qui confirme la lecture de la calculatrice.

d) \(\mathcal{A}(x) \geqslant \mathcal{B}(x)\) quand la parabole est sur ou au-dessus de la droite, c’est-à-dire à partir de l’abscisse du point d’intersection.

La fonction \(f\) associe à chaque nombre son opposé : \(f(x) = -x\).

a) \(f(-3) = -(-3) = \mathbf{3}\) et \(f\left(\sqrt{2}\right) = \mathbf{-\sqrt{2}}\).

b) On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 0{,}6\), c’est-à-dire \(-x = 0{,}6\), soit \(x = -0{,}6\). L’antécédent de 0,6 est \(-0{,}6\) (et il est unique).

c) On cherche \(x\) tel que \(f(x) = x\) :

\[ -x = x \iff 0 = 2x \iff x = 0. \]

Le seul nombre égal à son opposé est 0.

a) L’ensemble de définition se lit sur l’axe des abscisses : c’est l’ensemble des abscisses des points de la courbe (les petits traits marquent les extrémités, qui font partie de la courbe).

• \(\mathcal{C}_f\) va de l’abscisse \(-1\) à l’abscisse \(4\) : \(D_f = [-1\,;\,4]\).
• \(\mathcal{C}_g\) va de l’abscisse \(-2\) à l’abscisse \(3\) : \(D_g = [-2\,;\,3]\).

b) On lit les images de 1 : sur \(\mathcal{C}_f\), le point d’abscisse 1 a une ordonnée entre 2 et 3 (environ 2,8) ; sur \(\mathcal{C}_g\), le point d’abscisse 1 a une ordonnée entre 1 et 2 (environ 1,5). Même sans valeurs précises : \(f(1) \gt 2\) et \(g(1) \lt 2\).

Donc \(g(1) \lt f(1)\) : Linda a tort.

a) L’image de 2 est l’ordonnée du point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse 2 : on monte (ici on descend) de l’abscisse 2 jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée. \(f(2) = \mathbf{-1}\).

b) De même, \(f(4) = \mathbf{-2}\).

c) Les antécédents de 2 sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 2. On trace la droite \(y = 2\) : elle coupe \(\mathcal{C}_f\) en trois points, d’abscisses \(-4\), \(-2\) et \(1\).

d) Reformulations avec le mot « image » :

• b) « Lire graphiquement l’image de 4 par \(f\). »
• c) « Lire graphiquement les nombres dont l’image par \(f\) est égale à 2. »

a) \(x\) est une longueur ajoutée : \(x \geqslant 0\). Les fonctions A et P sont définies sur \([0\,;\,+\infty[\).

b) Le carré obtenu a pour côté \(6 + x\) (en cm), donc :

\[ A(x) = (6 + x)^2 \quad \text{et} \quad P(x) = 4(6 + x) = 24 + 4x. \]

c) \(A(x) = 51{,}84\) signifie \((6 + x)^2 = 51{,}84\). Comme \(6 + x\) est positif, \(6 + x = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2\), d’où \(x = 1{,}2\). Alors :

\[ P(1{,}2) = 4 \times 7{,}2 = 28{,}8 \text{ cm}. \]

d) \(P(x) = 32{,}8\) signifie \(4(6 + x) = 32{,}8\), donc \(6 + x = 8{,}2\) et \(x = 2{,}2\). Alors :

\[ A(2{,}2) = 8{,}2^2 = 67{,}24 \text{ cm}^2. \]

a) On teste chaque expression pour \(x = 0\), \(1\), \(2\) (on doit trouver \(-1\), \(0\), \(1\)).

Deux expressions conviennent : \(x – 1\) et \((x – 1)^3\). Un tableau de quelques valeurs ne suffit donc pas à déterminer une fonction.

b) Pour \(x = -1\) : \(-1 – 1 = -2\) et \((-1 – 1)^3 = (-2)^3 = -8\). Seule la seconde donne \(-8\) : \(f(x) = (x – 1)^3\).

c) La cellule B2 contient l’image du nombre écrit en A2. On y a saisi la formule =(A2-1)^3, puis on l’a recopiée vers le bas.

Première partie. Une inégalité large (\(\leqslant\), \(\geqslant\)) donne un crochet fermé (tourné vers l’intervalle) ; une inégalité stricte donne un crochet ouvert ; l’infini est toujours ouvert.

• a) \(3 \leqslant x \leqslant 7 \iff x \in [3\,;\,7]\)
• b) \(-3 \leqslant x \lt 5 \iff x \in [-3\,;\,5[\)
• c) \(x \lt 5 \iff x \in \left]-\infty\,;\,5\right[\)
• d) \(x \geqslant 0 \iff x \in [0\,;\,+\infty[\)
• e) \(-2 \lt x \leqslant 1 \iff x \in \left]-2\,;\,1\right]\)
• f) \(x \leqslant -4 \iff x \in \left]-\infty\,;\,-4\right]\)

Seconde partie. On fait le chemin inverse :

• a) \(x \in [-3\,;\,4] \iff -3 \leqslant x \leqslant 4\)
• b) \(x \in \left]0\,;\,4\right[ \iff 0 \lt x \lt 4\)
• c) \(x \in [1\,;\,100[ \iff 1 \leqslant x \lt 100\)
• d) \(x \in \left]-\infty\,;\,10\right[ \iff x \lt 10\)
• e) \(x \in [5\,;\,+\infty[ \iff x \geqslant 5\)
• f) \(x \in \left]-\infty\,;\,0\right] \iff x \leqslant 0\)

La fonction V n’est définie que pour les nombres de la première ligne du tableau.

a) Ensemble de définition : \(D_V = \{-1\,;\,0\,;\,2\,;\,3\,;\,7\}\) (un ensemble de cinq nombres, pas un intervalle).

b) L’image de 3 se lit sous 3 : \(V(3) = -3\).

c) \(V(7) = 1\).

d) Les antécédents de 7 sont les nombres de la première ligne sous lesquels on lit 7 : \(-1\) et \(2\), car \(V(-1) = 7\) et \(V(2) = 7\).