Homothétie
En bref : Une homothétie agrandit ou réduit une figure en éloignant ou en rapprochant chaque point d’un centre fixe O, dans un même rapport k, sans jamais quitter la droite qui passe par O.
3èmeGéométrie plane
Définition : Homothétie
Une homothétie est une transformation donnée par un centre \(O\), qui reste immobile, et par un rapport \(k\) non nul. Pour chaque point \(M\), on trace la droite \((OM)\) et l’on place l’image \(M^{\prime}\) sur elle, à la distance \(OM^{\prime} = |k| \times OM\) du centre.
Quand \(k\) est positif, \(M^{\prime}\) reste du même côté de \(O\) que \(M\) ; quand \(k\) est négatif, il passe de l’autre côté. Un rapport de valeur absolue supérieure à 1 agrandit la figure, un rapport entre \(-1\) et \(1\) la réduit. Les angles, l’alignement et le parallélisme sont conservés, les longueurs sont multipliées par \(|k|\) et les aires par \(k^2\).
Comment le reconnaître
- Deux figures de même forme sont placées avec des droites qui se coupent toutes en un même point.
- L’énoncé parle d’agrandissement, de réduction ou de « rapport » appliqué à partir d’un centre.
- Il faut construire l’image d’un point, d’un segment ou d’un polygone par une transformation connue.
- On cherche la longueur ou l’aire d’une figure obtenue en agrandissant une autre.
La méthode
- Tracer la droite qui relie le centre \(O\) au point \(M\) à transformer.
- Reporter la distance \(OM\) multipliée par \(|k|\) à partir de \(O\), du même côté si \(k\) est positif, du côté opposé sinon.
- Répéter pour chaque sommet, puis relier les images dans le même ordre.
- Multiplier les longueurs par \(|k|\), les aires par \(k^2\), et garder les angles inchangés.
Homothétie : exemple corrigé
Énoncé
Le triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) est l’image du triangle \(ABC\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(3\). On sait que \(AB = 4{,}2\) cm, que l’aire de \(ABC\) est \(7\) cm² et que l’angle \(\widehat{ABC}\) mesure \(38^{\circ}\). Donner \(A^{\prime}B^{\prime}\), l’aire de \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) et l’angle \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\).
Corrigé
Les longueurs sont multipliées par \(3\) : \(A^{\prime}B^{\prime} = 3 \times 4{,}2 = 12{,}6\) cm.
Les aires sont multipliées par \(3^2 = 9\) : \(9 \times 7 = 63\) cm².
Les angles sont conservés : \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} = 38^{\circ}\). Résultats : 12,6 cm ; 63 cm² ; 38°.
À toi de jouer
Question 1
Par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(0{,}5\), on a \(OM = 14\) cm. Que vaut \(OM^{\prime}\) ?
Voir la réponse
\(OM^{\prime} = 0{,}5 \times 14 = 7\) cm : la figure est réduite de moitié.
Question 2
Le rapport est \(-2\) et \(OM = 3\) cm. Où se place \(M^{\prime}\) ?
Voir la réponse
De l’autre côté de \(O\) par rapport à \(M\), sur la droite \((OM)\), avec \(OM^{\prime} = 2 \times 3 = 6\) cm.
Ne pas confondre Homothétie et Translation
Une translation déplace la figure sans la déformer : toutes les longueurs restent les mêmes. Une homothétie change la taille : les longueurs sont multipliées par le rapport. Une translation n’a pas de centre ; une homothétie a un point fixe, son centre, qui reste à sa place.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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