Écart interquartile
En bref : L’écart interquartile d’une série est la différence entre son troisième et son premier quartile ; il mesure la largeur de la zone qui contient la moitié centrale des données.
SecondeStatistiques
Définition : Écart interquartile
L’écart interquartile vaut \(Q_3 – Q_1\). Il indique sur quelle longueur s’étalent les 50 % de valeurs situées au milieu de la série, en laissant de côté un quart des valeurs les plus faibles et un quart des plus fortes.
Il s’interprète comme la dispersion autour de la médiane : plus il est petit, plus les données centrales sont regroupées. Contrairement à l’étendue, une seule valeur aberrante, très petite ou très grande, ne le modifie presque pas. On l’associe souvent à la médiane, comme on associe l’écart-type à la moyenne.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de comparer la régularité de deux séries qui ont la même médiane.
- Un diagramme en boîte est donné, et l’on cherche la longueur de la boîte.
- La série contient une valeur extrême qui rend l’étendue trompeuse.
- Les mots « dispersion de la moitié centrale » ou « autour de la médiane » apparaissent.
La méthode
- Ranger la série et déterminer \(Q_1\) au rang \(\lceil n/4 \rceil\), puis \(Q_3\) au rang \(\lceil 3n/4 \rceil\).
- Soustraire : \(Q_3 – Q_1\), sans oublier l’unité de la série.
- Comparer les écarts de deux séries de même nature : le plus petit indique la série la plus concentrée.
- Compléter l’interprétation avec la médiane, pour donner une idée du centre et de la dispersion.
Écart interquartile : exemple corrigé
Énoncé
Deux classes de 9 élèves ont passé le même contrôle. Notes de la classe A : 6, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19. Notes de la classe B : 4, 7, 9, 13, 13, 14, 18, 20, 21. Calculer la médiane et l’écart interquartile de chaque série, puis comparer.
Corrigé
Avec \(n = 9\), la médiane est la cinquième valeur : \(13\) pour les deux classes. Le rang de \(Q_1\) est \(\lceil 2{,}25 \rceil = 3\) et celui de \(Q_3\) est \(\lceil 6{,}75 \rceil = 7\).
Classe A : \(Q_1 = 10\), \(Q_3 = 15\), donc \(Q_3 – Q_1 = 5\). Classe B : \(Q_1 = 9\), \(Q_3 = 18\), donc \(Q_3 – Q_1 = 9\).
Même médiane, mais la classe A est plus homogène : sa moitié centrale s’étale sur 5 points contre 9.
À toi de jouer
Question 1
Une série a pour quartiles \(Q_1 = 22\) et \(Q_3 = 31\). Quel est son écart interquartile ?
Voir la réponse
\(31 – 22 = 9\).
Question 2
Pourquoi un très gros salaire isolé modifie-t-il l’étendue d’une série de salaires, mais presque pas l’écart interquartile ?
Voir la réponse
L’étendue utilise le maximum, donc la valeur extrême. L’écart interquartile ne regarde que les quartiles, qui ignorent un quart des valeurs à chaque bout.
Ne pas confondre Écart interquartile et Étendue
L’étendue mesure l’écart entre les deux valeurs extrêmes de la série et dépend donc de chaque exception. L’écart interquartile mesure la largeur de la moitié centrale et ignore les extrêmes. Dans l’exemple, la classe A a une étendue de 13 mais un écart interquartile de 5 seulement.
Pour aller plus loin
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