Écart-type
En bref : L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance ; il mesure, dans l’unité des données, la distance typique qui sépare les valeurs de la moyenne.
SecondeStatistiques
Définition : Écart-type
L’écart-type, noté \(\sigma\), indique à quel point les valeurs d’une série s’éloignent de leur moyenne \(\bar{x}\). On commence par calculer la variance \(V\), moyenne des carrés des écarts à la moyenne, puis \(\sigma = \sqrt{V}\).
Un écart-type nul signifie que toutes les valeurs sont identiques. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées. Il a la même unité que les données, ce qui le rend plus parlant que la variance. Deux séries peuvent partager la même moyenne et avoir des dispersions très différentes : c’est lui qui les distingue.
Comment le reconnaître
- La consigne demande de comparer la régularité de deux séries qui ont la même moyenne.
- Une machine ou un joueur doit être jugé sur sa constance et pas seulement sur sa moyenne.
- On lit le mot « dispersion » ou on demande d’utiliser la fonction de la calculatrice qui donne \(\sigma\).
- Une valeur de variance est donnée et l’on doit en déduire l’écart-type.
La méthode
- Calculer la moyenne \(\bar{x}\) de la série.
- Pour chaque valeur, calculer le carré de son écart à la moyenne, \((x_i – \bar{x})^2\).
- Faire la moyenne de ces carrés pour obtenir la variance \(V\).
- Prendre la racine carrée de \(V\), et arrondir en précisant l’unité.
Écart-type : exemple corrigé
Énoncé
Deux tireurs ont réalisé trois scores chacun. Tireur A : 8, 10, 12. Tireur B : 4, 10, 16. Calculer la moyenne et l’écart-type de chaque série au centième près, puis conclure.
Corrigé
Les deux moyennes valent \(\frac{8+10+12}{3} = \frac{4+10+16}{3} = 10\).
Tireur A : \(V = \frac{(-2)^2 + 0^2 + 2^2}{3} = \frac{8}{3}\), donc \(\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}63\). Tireur B : \(V = \frac{(-6)^2 + 0^2 + 6^2}{3} = 24\), donc \(\sigma = \sqrt{24} \approx 4{,}90\).
À moyenne égale, le tireur A est plus régulier : son écart-type est trois fois plus petit.
À toi de jouer
Question 1
Quel est l’écart-type de la série 5 ; 5 ; 5 ?
Voir la réponse
Tous les écarts à la moyenne 5 sont nuls, donc \(V = 0\) et \(\sigma = 0\).
Question 2
Quel est l’écart-type de la série 2 ; 6 ?
Voir la réponse
La moyenne est 4, les écarts sont \(-2\) et \(2\), donc \(V = \frac{4+4}{2} = 4\) et \(\sigma = 2\).
Ne pas confondre Écart-type et Variance
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : son unité est le carré de celle des données (des cm², si les données sont en cm). L’écart-type en est la racine carrée et retrouve l’unité d’origine. Pour 8, 10, 12, la variance vaut \(\frac{8}{3}\) et l’écart-type environ 1,63.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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