Variance
En bref : La variance chiffre l’étalement d’une série autour de sa moyenne : on élève chaque écart à la moyenne au carré, puis on fait la moyenne de ces résultats ; plus elle est grande, plus les données sont dispersées.
SecondeStatistiques
Définition : Variance
La variance mesure la dispersion d’une série. On calcule d’abord la moyenne \(\bar{x}\), puis l’écart de chaque valeur à cette moyenne, que l’on élève au carré pour que les écarts négatifs et positifs ne s’annulent pas. Il ne reste plus qu’à moyenner ces carrés.
Pour \(n\) valeurs : \(V=\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\text{etc.}+(x_n-\bar{x})^2}{n}\). Une formule équivalente, souvent plus rapide : \(V=\dfrac{x_1^2+x_2^2+\text{etc.}+x_n^2}{n}-\bar{x}^2\). Elle est nulle si toutes les valeurs sont égales, et s’exprime en unités au carré.
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut savoir si une série est régulière ou très étalée, et la moyenne seule ne suffit pas.
- Deux séries ont la même moyenne et il faut les départager selon leur régularité.
- On voit apparaître l’écart-type, qui est la racine carrée d’une grandeur à calculer d’abord.
- La question porte sur la dispersion de températures, de mesures ou de notes.
La méthode
- Calculer la moyenne \(\bar{x}\) de la série en divisant la somme des valeurs par leur nombre.
- Pour chaque valeur, calculer l’écart à la moyenne puis le carré de cet écart.
- Additionner tous les carrés et diviser par l’effectif total : on obtient la variance.
- Si on demande l’écart-type, prendre la racine carrée de ce résultat, et retrouver l’unité d’origine.
Variance : exemple corrigé
Énoncé
Cinq coureurs d’un trail près de Chamonix ont mis \(12\), \(15\), \(15\), \(18\) et \(20\) minutes sur un même segment. Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de ces temps.
Corrigé
La moyenne est \(\dfrac{12+15+15+18+20}{5}=\dfrac{80}{5}=16\) minutes. Les écarts sont \(-4\), \(-1\), \(-1\), \(2\) et \(4\), dont les carrés valent \(16\), \(1\), \(1\), \(4\) et \(16\), soit \(38\) en tout.
On obtient donc \(V=\dfrac{38}{5}=7{,}6\). L’écart-type est \(\sqrt{7{,}6}\approx\) \(2{,}76\) minutes. Contrôle par l’autre formule : \(\dfrac{1\,318}{5}-16^2=263{,}6-256=7{,}6\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est la variance de la série \(3\), \(3\), \(3\), \(3\) ?
Voir la réponse
La moyenne vaut \(3\) et tous les écarts sont nuls : le résultat est \(0\).
Question 2
Calculer la variance de la série \(2\), \(4\), \(6\).
Voir la réponse
La moyenne vaut \(4\). Les carrés des écarts sont \(4\), \(0\), \(4\) : \(V=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67\).
Ne pas confondre Variance et Écart-type
En extrayant la racine carrée de la variance, on passe à l’écart-type. Celui-ci reprend les unités des mesures, des minutes pour des temps, alors que la variance est comptée en minutes au carré. Les deux traduisent la dispersion, mais seul l’écart-type se compare directement à la moyenne.
Pour aller plus loin
Cours
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