Équivalence
En bref : Une équivalence relie deux propositions qui s’impliquent l’une l’autre : chaque fois que la première est vraie la seconde l’est aussi, et réciproquement ; on la lit « si et seulement si ».
SecondeLogique et raisonnement
Définition : Équivalence
Une équivalence entre deux propositions \(P\) et \(Q\) signifie qu’elles sont toujours vraies ensemble ou fausses ensemble. On la note \(P\Leftrightarrow Q\) et on la lit « \(P\) si et seulement si \(Q\) ».
Pour la démontrer, il faut deux preuves : montrer que \(P\) entraîne \(Q\), puis que \(Q\) entraîne \(P\). Lorsque l’on résout une équation par étapes, chaque ligne est équivalente à la précédente, et c’est ce qui garantit de ne perdre ni d’ajouter aucune solution. Une définition mathématique est elle-même une équivalence.
Comment le reconnaître
- L’énoncé contient « si et seulement si », « équivaut à » ou la double flèche \(\Leftrightarrow\).
- On résout une équation ou une inéquation et on doit justifier que les solutions trouvées sont exactement les bonnes.
- Une propriété et sa réciproque sont toutes deux vraies et l’on veut les réunir en un seul énoncé.
- On demande de caractériser un objet par une condition nécessaire et suffisante.
La méthode
- Nommer clairement les deux propositions \(P\) et \(Q\) à comparer.
- Démontrer le sens direct : supposer \(P\) vraie et en déduire \(Q\).
- Démontrer le sens réciproque : supposer \(Q\) vraie et en déduire \(P\).
- Si un seul sens échoue, chercher un contre-exemple : il prouve qu’il n’y a pas équivalence.
Équivalence : exemple corrigé
Énoncé
Pour un réel \(x\), les propositions « \(x^2=25\) » et « \(x=5\) » sont-elles équivalentes ? Même question pour « \(3x-7=14\) » et « \(x=7\) ».
Corrigé
Premier couple : si \(x=5\), alors \(x^2=25\), donc ce sens est vrai. Mais \(x=-5\) vérifie aussi \(x^2=25\) sans valoir \(5\) : le sens réciproque est faux. Il n’y a pas d’équivalence ici.
Second couple : \(3x-7=14\) donne \(3x=21\) puis \(x=7\). Dans l’autre sens, \(x=7\) donne \(3\times 7-7=14\). Les deux sens sont vrais, donc les propositions sont équivalentes.
À toi de jouer
Question 1
Pour un entier \(n\), « \(n\) est multiple de \(6\) » est-il équivalent à « \(n\) est multiple de \(2\) et de \(3\) » ?
Voir la réponse
Oui : un multiple de \(6\) est divisible par \(2\) et par \(3\) ; réciproquement, un nombre divisible par \(2\) et par \(3\), comme \(18\) ou \(42\), est multiple de \(6\).
Question 2
« Un triangle est isocèle » équivaut-il à « il a deux angles de \(50^\circ\) » ?
Voir la réponse
Non. Un triangle à deux angles de \(50^\circ\) est bien isocèle, mais un triangle d’angles \(70^\circ\), \(70^\circ\) et \(40^\circ\) est isocèle sans cet angle.
Ne pas confondre Équivalence et Implication
Une implication ne va que dans un sens : « si \(P\) alors \(Q\) » n’oblige pas \(Q\) à entraîner \(P\). Une équivalence, elle, réunit l’implication et sa réciproque. Si l’on trouve une situation où \(Q\) est vraie sans que \(P\) le soit, l’équivalence tombe.
Pour aller plus loin
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