Implication
En bref : Une implication « si P alors Q » affirme que chaque fois que P est vraie, Q l’est aussi ; elle ne dit rien du sens inverse, et un seul contre-exemple suffit à la rendre fausse.
SecondeLogique et raisonnement
Définition : Implication
Une implication relie deux propositions : « si \(P\) alors \(Q\) », notée \(P\Rightarrow Q\). La proposition \(P\) est l’hypothèse, \(Q\) la conclusion. L’implication est vraie lorsque, dans tous les cas où \(P\) est vraie, \(Q\) est vraie aussi.
Elle n’est pas réversible automatiquement. L’implication réciproque \(Q\Rightarrow P\) doit être examinée à part, et elle peut être fausse alors que l’implication de départ est vraie. Pour prouver qu’une implication est fausse, il suffit de trouver un seul exemple où \(P\) est vraie et \(Q\) fausse : c’est un contre-exemple.
Comment le reconnaître
- L’énoncé contient « si… alors », « entraîne », « implique » ou la flèche \(\Rightarrow\).
- Un théorème est formulé avec une hypothèse puis une conclusion.
- On demande si la réciproque d’une propriété est vraie.
- Il faut réfuter une affirmation générale en proposant un exemple précis qui la contredit.
La méthode
- Identifier l’hypothèse \(P\) et la conclusion \(Q\) de l’énoncé.
- Pour la prouver, supposer \(P\) et en déduire \(Q\) par un raisonnement valable pour tous les cas.
- Pour écrire la réciproque, échanger \(P\) et \(Q\), puis la tester sur plusieurs exemples.
- Pour la réfuter, chercher un contre-exemple : \(P\) vérifiée, mais \(Q\) non vérifiée.
Implication : exemple corrigé
Énoncé
Soit l’implication : « si un entier se termine par \(5\), alors il est divisible par \(5\) ». Est-elle vraie ? Écrire sa réciproque, dire si elle est vraie, puis écrire sa contraposée.
Corrigé
Un entier qui se termine par \(5\) s’écrit \(10k+5=5(2k+1)\) : il est divisible par \(5\). Elle est vraie.
Réciproque : « si un entier est divisible par \(5\), alors il se termine par \(5\) ». Elle est fausse : \(40\) est divisible par \(5\) et finit par \(0\), c’est un contre-exemple. Contraposée : « si un entier n’est pas divisible par \(5\), alors il ne se termine pas par \(5\) », vraie aussi.
À toi de jouer
Question 1
« Si ABCD est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires. » La réciproque est-elle vraie ?
Voir la réponse
Non : un losange non carré a des diagonales perpendiculaires sans être un carré.
Question 2
Donner un contre-exemple à « si \(x^2=9\), alors \(x=3\) ».
Voir la réponse
Pour \(x=-3\), on a bien \(x^2=9\) mais \(x\neq 3\). L’affirmation est donc fausse.
Ne pas confondre Implication et Contraposée
La réciproque échange l’hypothèse et la conclusion : « si \(Q\) alors \(P\) », ce qui peut changer la vérité. La contraposée échange et nie les deux : « si non \(Q\) alors non \(P\) ». Elle a toujours la même valeur de vérité que la proposition de départ, ce qui permet de démontrer par ce détour.
Pour aller plus loin
Mots voisins
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