Contre-exemple
En bref : Un contre-exemple est un cas particulier qui vérifie les conditions d’une affirmation mais pas sa conclusion ; il suffit à prouver que l’affirmation est fausse.
5èmeLogique et raisonnement
Définition : Contre-exemple
Un contre-exemple est un cas unique où une affirmation générale ne marche pas. Une telle affirmation dit que quelque chose est vrai pour tous les cas : « tous les multiples de 3 sont impairs ». Pour la réfuter, il n’est pas nécessaire de tout vérifier.
Ici, \(6\) est un multiple de \(3\) et il est pair : l’affirmation est fausse. À l’inverse, des exemples qui la confirment ne la prouvent jamais. Un contre-exemple est donc une arme très économique pour montrer qu’une phrase est fausse. Il doit remplir toutes les conditions de départ.
Comment le reconnaître
- Une phrase commence par « tous », « toujours », « jamais » ou « quel que soit ».
- On te demande si une affirmation est vraie ou fausse, avec justification.
- Une conjecture a bien marché sur plusieurs cas, et l’on cherche à la mettre en défaut.
- L’énoncé précise « donner un exemple qui montre que c’est faux ».
La méthode
- Relire l’affirmation et repérer ses conditions de départ et sa conclusion.
- Chercher un cas qui respecte les conditions mais où la conclusion ne tient pas, en essayant des valeurs inhabituelles.
- Vérifier soigneusement que ce cas satisfait bien toutes les conditions.
- Rédiger : « cette affirmation est fausse, car … est un contre-exemple ».
Contre-exemple : exemple corrigé
Énoncé
Samir remarque que \(13\) et \(23\) sont premiers et affirme : « tout nombre qui se termine par \(3\) est un nombre premier ». Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.
Corrigé
Il faut un nombre qui se termine par \(3\) sans être premier. Essayons \(33\) : on a \(33 = 3 \times 11\), donc il admet d’autres diviseurs que \(1\) et lui-même.
Le nombre \(33\) respecte la condition de départ mais pas la conclusion : c’est un contre-exemple. L’affirmation est fausse, malgré les deux cas qui la confirmaient.
À toi de jouer
Question 1
« Quand on additionne deux nombres, le résultat est plus grand que chacun d’eux. » Trouver un contre-exemple avec des nombres relatifs.
Voir la réponse
\((-3) + (-2) = -5\) et \(-5 < -3\) : la somme est plus petite que chacun, ce qui contredit l'affirmation.
Question 2
« Un quadrilatère qui a quatre côtés égaux est un carré. » Donner un contre-exemple.
Voir la réponse
Un losange dont les angles mesurent \(60^{\circ}\) et \(120^{\circ}\) a quatre côtés égaux sans être un carré.
Ne pas confondre Contre-exemple et Conjecture
Une conjecture est une affirmation plausible que l’on cherche à valider. Un contre-exemple est ce qui la détruit : un seul cas suffit. En revanche, des exemples favorables, aussi nombreux soient-ils, ne démontrent rien et ne doivent pas être pris pour des preuves.
Pour aller plus loin
Mots voisins
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