Contraposée
En bref : La contraposée de l’implication « si P alors Q » est « si non Q alors non P » ; elle est toujours équivalente à l’implication de départ, contrairement à la réciproque.
SecondeLogique et raisonnement
Définition : Contraposée
Pour une implication « si \(P\) alors \(Q\) », la contraposée consiste à nier les deux propositions et à inverser le sens : « si non \(Q\) alors non \(P\) ». Les deux énoncés sont logiquement équivalents : l’un est vrai exactement quand l’autre l’est.
C’est un puissant outil de démonstration. Quand il est difficile de partir de \(P\) pour atteindre \(Q\), on suppose que \(Q\) est fausse et l’on montre que \(P\) l’est aussi. On parle de raisonnement par contraposition. Il ne faut pas la confondre avec la réciproque « si \(Q\) alors \(P\) », qui peut être fausse.
Comment le reconnaître
- L’énoncé commence par « montrer que si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair » et la conclusion porte sur le nombre de départ.
- On hésite à partir de la conclusion visée parce que l’hypothèse donne peu de prise.
- Il faut écrire l’énoncé « équivalent » d’une phrase du type « si… alors… ».
- On veut démontrer qu’un objet n’a pas une propriété à partir de l’absence d’une autre.
La méthode
- Isoler l’hypothèse \(P\) et la conclusion \(Q\) de l’implication à démontrer.
- Écrire la contraposée : « si non \(Q\), alors non \(P\) », en niant soigneusement chaque proposition.
- Démontrer cette nouvelle implication avec une preuve directe, souvent plus simple.
- Conclure que l’implication de départ est vraie, car elle est équivalente à sa contraposée.
Contraposée : exemple corrigé
Énoncé
Démontrer par contraposition : « si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair », où \(n\) est un entier.
Corrigé
La contraposée est : « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ». On la prouve directement.
Si \(n\) est pair, on écrit \(n = 2k\) avec \(k\) entier. Alors \(n^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)\), qui est un multiple de 2 : \(n^2\) est pair.
La contraposée est vraie, donc l’implication de départ est vraie.
À toi de jouer
Question 1
Écrire la contraposée de « s’il pleut, alors le sol est mouillé ».
Voir la réponse
« Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »
Question 2
La réciproque de « si \(n\) est multiple de 4, alors \(n\) est pair » est-elle vraie ?
Voir la réponse
Non : 6 est pair sans être multiple de 4. La réciproque n’est pas équivalente à l’implication.
Ne pas confondre Contraposée et Réciproque
La réciproque de « si \(P\) alors \(Q\) » se contente d’échanger les deux propositions : « si \(Q\) alors \(P\) ». La contraposée échange et nie : « si non \(Q\) alors non \(P\) ». Seule la contraposée garantit la même valeur de vérité que l’implication.
Pour aller plus loin
Mots voisins
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