Raisonnement par l’absurde
En bref : Le raisonnement par l’absurde prouve une propriété en supposant son contraire vrai, puis en déduisant une contradiction qui oblige à rejeter cette hypothèse.
TerminaleLogique et raisonnement
Définition : Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l’absurde procède par l’impossible : pour montrer qu’une affirmation \(P\) est vraie, on suppose qu’elle est fausse et l’on déroule les conséquences jusqu’à tomber sur un énoncé qui se contredit, comme « un nombre est à la fois pair et impair ».
Puisque des calculs corrects ne peuvent mener à une contradiction que si le point de départ est faux, l’hypothèse « non \(P\) » est rejetée et \(P\) est établie. Il faut donc écrire avec soin la négation de l’énoncé.
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut prouver une non-existence, une irrationalité ou une impossibilité, difficile à vérifier directement.
- Les mots « montrer qu’il n’existe pas » ou « montrer que ce nombre n’est pas rationnel » apparaissent.
- Une preuve directe n’offre aucune prise, alors que l’hypothèse contraire donne des égalités exploitables.
- Une consigne impose un raisonnement par l’absurde, avec « raisonner par l’absurde » ou « supposer par l’absurde que ».
La méthode
- Pour un raisonnement par l’absurde, écrire la négation exacte de ce qu’il faut démontrer : « supposons que… ».
- Traduire cette hypothèse en égalités ou en inégalités exploitables, avec des notations précises.
- Enchaîner des déductions correctes jusqu’à obtenir une contradiction explicite avec l’énoncé, une définition ou un résultat connu.
- Conclure : l’hypothèse de départ est fausse, donc la propriété initiale est vraie.
Raisonnement par l'absurde : exemple corrigé
Énoncé
Démontrer par l’absurde que \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.
Corrigé
Supposons \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers positifs sans diviseur commun. Alors \(p^2=2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2k\).
On remplace : \(4k^2=2q^2\), soit \(q^2=2k^2\), donc \(q\) est pair aussi. Or \(p\) et \(q\) pairs ont le diviseur commun \(2\) : contradiction. Ainsi \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
À toi de jouer
Question 1
Pour démontrer que « \(0{,}1\) n’est pas un entier » avec cette méthode, quelle hypothèse de départ faire ?
Voir la réponse
Supposer que \(0{,}1\) est un entier, puis constater qu’aucun entier ne se trouve entre \(0\) et \(1\).
Question 2
Dans la preuve précédente, pourquoi exiger que \(\frac{p}{q}\) soit irréductible ?
Voir la réponse
Sans cela, \(p\) et \(q\) pairs ne contrediraient rien : on pourrait simplifier la fraction par \(2\).
Ne pas confondre Raisonnement par l'absurde et Contraposée
La contraposée remplace « si \(A\) alors \(B\) » par « si non \(B\) alors non \(A\) » : elle reste une preuve directe de l’implication équivalente. Ici, on suppose le contraire de la conclusion et on cherche une contradiction quelconque, avec l’énoncé, une définition ou un fait connu.
Pour aller plus loin
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Terminale · Logique et raisonnement
