Suite convergente
En bref : Une suite convergente est une suite dont les termes se rapprochent indéfiniment d’un réel fixé, sa limite, quand le rang devient très grand.
TerminaleSuites
Définition : Suite convergente
Une suite convergente finit par se stabiliser : à partir d’un certain rang, tous ses termes sont aussi proches qu’on le souhaite d’un réel \(\ell\), sa limite. On note \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).
Une suite croissante et majorée converge, tout comme une suite décroissante et minorée. Une suite convergente est toujours bornée, mais l’inverse est faux : \((-1)^n\) est bornée sans converger. La limite, si elle existe, est unique.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « montrer que la suite converge » ou « étudier la convergence ».
- Un phénomène tend vers un équilibre : concentration, population limite, température finale.
- La suite est croissante et on lui trouve un majorant, ou décroissante avec un minorant.
- Une relation de récurrence \(u_{n+1}=au_n+b\) avec \(|a|\) inférieur à \(1\) est donnée.
La méthode
- Calculer les premiers termes pour conjecturer le comportement et la limite possible.
- Prouver la convergence par une suite auxiliaire géométrique, ou en montrant monotonie et bornes.
- Déterminer la limite en passant à la limite dans la relation de récurrence : \(\ell=a\ell+b\).
- Rédiger la conclusion : la suite converge vers \(\ell\).
Suite convergente : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}6\,u_n+2\). Démontrer que la suite \((u_n)\) converge et trouver sa limite.
Corrigé
Posons \(v_n=u_n-5\). Alors \(v_{n+1}=0{,}6u_n+2-5=0{,}6u_n-3=0{,}6(u_n-5)=0{,}6\,v_n\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}6\) et de premier terme \(v_0=-4\).
Donc \(v_n=-4\times 0{,}6^n\), qui tend vers \(0\) car \(0{,}6\) est entre \(-1\) et \(1\). Ainsi \(u_n=5-4\times 0{,}6^n\to\) \(5\) : la suite converge vers \(5\).
À toi de jouer
Question 1
La suite \(w_n=\frac{3n+2}{n+1}\) converge-t-elle ? Si oui, vers quoi ?
Voir la réponse
\(w_n=\frac{3+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\to 3\) : elle converge vers \(3\).
Question 2
Une suite est croissante et ne dépasse jamais \(8\). Que peut-on en déduire ?
Voir la réponse
Elle converge vers un réel inférieur ou égal à \(8\) (théorème de convergence monotone).
Ne pas confondre Suite convergente et Suite majorée, minorée, bornée
Converger entraîne rester borné, mais être majorée ne suffit pas à converger. La suite \(u_n=(-1)^n\) ne dépasse jamais \(1\) et ne se stabilise pas. Il faut en plus que la suite soit monotone pour que le bornage assure la convergence.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Suite divergente
- Limite d'une suite
- Suite majorée, minorée, bornée
- Suite géométrique
- Suite croissante
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