Suite majorée, minorée, bornée
En bref : Une suite majorée est une suite dont tous les termes restent inférieurs ou égaux à un réel M ; elle est minorée par m si ses termes dépassent m, et bornée si elle est les deux.
TerminaleSuites
Définition : Suite majorée, minorée, bornée
Une suite majorée ne dépasse jamais un plafond : il existe un réel \(M\) tel que \(u_n\le M\) pour tout entier \(n\). Elle est minorée s’il existe un plancher \(m\) avec \(u_n\ge m\), et bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
Ces notions décrivent l’espace occupé par les termes, sans dire s’ils montent ou descendent. Elles servent surtout à garantir la convergence d’une suite monotone.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de « montrer que \(u_n\le 5\) pour tout \(n\) » ou de trouver un majorant.
- Un phénomène a une capacité maximale : population limitée par un milieu, remplissage d’un réservoir.
- On cherche à prouver qu’une suite croissante converge.
- On étudie si une suite peut être encadrée entre deux nombres.
La méthode
- Pour une suite majorée, conjecturer un majorant à partir des premiers termes et de la limite probable ; pour une minorée, un minorant.
- Démontrer l’inégalité pour tout \(n\), par une étude directe ou par récurrence.
- Rédiger la conclusion : « cette suite majorée l’est par \(M\) », en précisant la valeur.
- Si besoin, combiner majoration et minoration pour affirmer que la suite est bornée.
Suite majorée, minorée, bornée : exemple corrigé
Énoncé
Soit la suite définie pour tout entier \(n\) par \(u_n=5-\frac{3}{n+1}\). Montrer qu’elle est majorée par \(5\) et minorée par \(2\).
Corrigé
Majoration : \(\frac{3}{n+1}>0\), donc \(u_n=5-\frac{3}{n+1}\) est strictement inférieur à \(5\) : la suite est majorée par \(5\).
Minoration : pour \(n\ge 0\), \(n+1\ge 1\), donc \(\frac{3}{n+1}\le 3\) et \(u_n\ge 5-3=2\). La suite est minorée par \(2\), donc bornée.
À toi de jouer
Question 1
La suite \(v_n=n^2\) est-elle majorée ?
Voir la réponse
Non : ses termes dépassent tout nombre fixé, mais elle est minorée par \(0\).
Question 2
La suite \(w_n=(-1)^n\) est-elle bornée ?
Voir la réponse
Oui : \(-1\le w_n\le 1\) pour tout \(n\), même si elle ne converge pas.
Ne pas confondre Suite majorée, minorée, bornée et Suite croissante
Majorée parle de l’espace occupé : un plafond que les termes ne franchissent pas. Croissante parle du sens : chaque terme dépasse le précédent. Une suite peut être l’un sans l’autre. Réunis, ils donnent une suite convergente.
Pour aller plus loin
Cours
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