Sommaire
La limite d’une fonction est un concept fondamental qui décrit le comportement d’une fonction lorsque les valeurs d’entrée se rapprochent de plus en plus d’un certain point ou d’une certaine valeur.
I.Limite d’une fonction en l’infini
1.Limite finie en l’infini
On considère une fonction définie au moins sur un intervalle de
du type
.
La fonction a pour limite
en
si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors : .
La droite d’équation est une asymptote horizontale à
lorsque
.
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
.
2.Limite infinie en l’infini
La fonction f a pour limite en
si tout intervalle de
du type
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors .
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
pour n impair et
pour n pair.
II.Limite infinie en un réel
On considère une fonction définie sur un intervalle ouvert de
du type
ou
avec
.
La fonction f a pour limite en
si tout intervalle de
du type
contient toutes les valeurs
de f(x) pour x assez proche de .
On note alors .
La droite d’équation est une asymptote verticale à
lorsque
.
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
pour n impair et
pour n pair.
III.Opérations sur les limites
IV.Limite d’une fonction composée
1.Fonction composée
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée définie sur E par
.
2.Théorème de composition des limites
Soit h la composée de la fonction f suivie de g et trois réels ou
.
Si et
alors
.
V.Limites et comparaison de fonctions
1.Théorème de comparaison
2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich
Soit deux nombres réels et
et trois fonctions
,
et
telles que pour tout
, on a
.
Si , alors
.
VI. Continuité d’une fonction
- Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
- Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son domaine de définition
- On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
- Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
VII. Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.
On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.
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