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Limites et continuité de fonctions : cours de maths en terminale S

cours terminale

I.Limite d’une fonction en l’infini

1.Limite finie en l’infini

Définition :

On considère une fonction f définie au moins sur un intervalle de \mathbb{R} du type ]a;+\infty[.

La fonction f a pour limite l en +\infty si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors : \lim_{x\to\,+\infty}f(x)=l.

limite finie

Définition : asymptote horizontale.

La droite d’équation y=l est une asymptote horizontale à C_f lorsque \lim_{x\to\,+\infty}f(x)=l.

Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to\,+\infty}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=0; \lim_{x\to\,+\infty}\,\frac{1}{x^n}=0 et \lim_{x\to\,-\infty}\,\frac{1}{x^n}=0.

2.Limite infinie en l’infini

Propriété :

La fonction f a pour limite +\infty en +\infty si tout intervalle de \mathbb{R} du type ]a;+\infty[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors \lim_{x\to\,+\infty}f(x)=+\infty.

limite infinie

Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to\,+\infty}\sqrt{x}=+\infty; \lim_{x\to\,+\infty}\,x^n=+\infty et \lim_{x\to\,-\infty}\,x^n=-\infty pour n impair et \lim_{x\to\,-\infty}\,x^n=+\infty pour n pair.

II.Limite infinie en un réel

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle ouvert de \mathbb{R} du type ]x_0-\epsilon\,;x_0[ ou ]x_0\,;x_0+\epsilon[ avec \epsilon\,>0 .

La fonction f a pour limite +\infty en x_0 si tout intervalle de \mathbb{R}  du type ]A;+\infty[ contient toutes les valeurs

de f(x) pour x assez proche de x_0.

On note alors \lim_{x\to\,x_0}f(x)=+\infty.

limite infinie en un réel

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation x=x_0 est une asymptote verticale à C_f lorsque \lim_{x\to\,x_0}f(x)=\,\pm\,\infty.

Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to,0^+},\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty; \lim_{x\to,0^+},\frac{1}{x^n}=+\infty et \lim_{x\to,0^-},\frac{1}{x^n}=-\infty pour n impair et \lim_{x\to,0^-}\,\frac{1}{x^n}=+\infty pour n pair.

III.Opérations sur les limites

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.

limite somme produit quotient

IV.Limite d’une fonction composée

1.Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.

La composée de f suivie de g est la fonction notée gof définie sur E par gof(x)=g[f(x)].

2.Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et \alpha,\,\beta,\,\gamma trois réels ou \pm,\infty.

Si \lim_{x\to\,\alpha\,}f(x)=\,\beta et \lim_{x\to\,\beta\,}f(x)=\,\gamma alors \lim_{x\to\,\alpha\,}h(x)=\,\gamma.

V.Limites et comparaison de fonctions

1.Théorème de comparaison

Théorème :

limites comparaisons fonctions

2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich

Théorème :

Soit deux nombres réels \alpha et l  et trois fonctions f, g et  h telles que pour tout x>\alpha, on a f(x)\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x).

Si \lim_{x\to\,+\infty\,}f(x)=\lim_{x\to\,+\infty\,}h(x)=\,l , alors \lim_{x\to\,+\infty\,}g(x)=\,l.

VI. Continuité d’une fonction

Propriété :
  • Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
  • Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue  sur tout intervalle de son domaine de définition
  • On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
  • Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

VII. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.

théorème valeurs intermédiaires

Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.

On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue et strictement monotone sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.

fonction strictement monotone

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