cours terminale

Limites et continuité de fonctions : cours e maths en terminale S

I.Limite d’une fonction en l’infini

1.Limite finie en l’infini

Définition :

On considère une fonction f définie au moins sur un intervalle de \mathbb{R} du type ]a;+\infty[.

La fonction f a pour limite l en +\infty si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors : \lim_{x\to +\infty}f(x)=l.

limite finie

Définition : asymptote horizontale.

La droite d’équation y=l est une asymptote horizontale à C_f lorsque \lim_{x\to +\infty}f(x)=l.

Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0; \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n}=0 et \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n}=0.

2.Limite infinie en l’infini

Propriété :

La fonction f a pour limite +\infty en +\infty si tout intervalle de \mathbb{R} du type ]a;+\infty[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.

limite infinie

Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty; \lim_{x\to +\infty} x^n=+\infty et \lim_{x\to -\infty} x^n=-\infty pour n impair et \lim_{x\to -\infty} x^n=+\infty pour n pair.

II.Limite infinie en un réel

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle ouvert de \mathbb{R} du type ]x_0-\epsilon ;x_0[ ou ]x_0 ;x_0+\epsilon[ avec \epsilon >0 .

La fonction f a pour limite +\infty en x_0 si tout intervalle de \mathbb{R}  du type ]A;+\infty[ contient toutes les valeurs

de f(x) pour x assez proche de x_0.

On note alors \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty.

limite infinie en un réel

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation x=x_0 est une asymptote verticale à C_f lorsque \lim_{x\to x_0}f(x)= \pm \infty.

Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.

On considère n un entier naturel non nul.

\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty; \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}=+\infty et \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^n}=-\infty pour n impair et \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^n}=+\infty pour n pair.

III.Opérations sur les limites

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.

limite somme produit quotient

IV.Limite d’une fonction composée

1.Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.

La composée de f suivie de g est la fonction notée gof définie sur E par gof(x)=g[f(x)].

2.Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et \alpha, \beta, \gamma trois réels ou \pm \infty.

Si \lim_{x\to \alpha }f(x)= \beta et \lim_{x\to \beta }f(x)= \gamma alors \lim_{x\to \alpha }h(x)= \gamma.

V.Limites et comparaison de fonctions

1.Théorème de comparaison

Théorème :

limites comparaisons fonctions

2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich

Théorème :

Soit deux nombres réels \alpha et l  et trois fonctions f, g et  h telles que pour tout x>\alpha, on a f(x)\leq\, g(x) \leq\, h(x).

Si \lim_{x\to +\infty }f(x)=\lim_{x\to +\infty }h(x)= l , alors \lim_{x\to +\infty }g(x)= l.

VI.Continuité d’une fonction

Propriété :

  • Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
  • Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue  sur tout intervalle de son domaine de définition
  • On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
  • Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

VII.Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.

théorème valeurs intermédiaires

Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.

On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue et strictement monotone sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.

fonction strictement monotone


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «limites et continuité de fonctions : cours e maths en terminale S» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Les fiches d'exercices les plus consultées

Des cours et exercices corrigés en terminale en vidéos


Concours : gagnez une calculatrice Texas Instrument (TI)

Nouveau concours avec une calculatrice Texas Instrument à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les bonnes réponses de nos abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.


concours texas instrument Je participe au concours afin de gagner la calculatrice.

Inscription gratuite à Maths PDF.  Maths PDF c'est 1 476 239 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 2 390 exercices.

Maths PDF

GRATUIT
VOIR