Sommaire
I.Limite d’une fonction en l’infini
1.Limite finie en l’infini
Définition :
On considère une fonction définie au moins sur un intervalle de
du type
.
La fonction a pour limite
en
si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors : .
Définition : asymptote horizontale.
La droite d’équation est une asymptote horizontale à
lorsque
.
Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
.
2.Limite infinie en l’infini
Propriété :
La fonction f a pour limite en
si tout intervalle de
du type
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors .
Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
pour n impair et
pour n pair.
II.Limite infinie en un réel
Définition :
On considère une fonction définie sur un intervalle ouvert de
du type
ou
avec
.
La fonction f a pour limite en
si tout intervalle de
du type
contient toutes les valeurs
de f(x) pour x assez proche de .
On note alors .
Définition : asymptote verticale.
La droite d’équation est une asymptote verticale à
lorsque
.
Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.
On considère n un entier naturel non nul.
;
et
pour n impair et
pour n pair.
III.Opérations sur les limites
Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.
IV.Limite d’une fonction composée
1.Fonction composée
Définition :
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée définie sur E par
.
2.Théorème de composition des limites
Théorème :
Soit h la composée de la fonction f suivie de g et trois réels ou
.
Si et
alors
.
V.Limites et comparaison de fonctions
1.Théorème de comparaison
Théorème :
2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich
Théorème :
Soit deux nombres réels et
et trois fonctions
,
et
telles que pour tout
, on a
.
Si , alors
.
VI. Continuité d’une fonction
Propriété :
- Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
- Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son domaine de définition
- On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
- Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
VII. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.
Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.
On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.
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