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I.Limite d’une fonction en l’infini
1.Limite finie en l’infini
Définition :
On considère une fonction 
définie au moins sur un intervalle de du type .
La fonction a pour limite en si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors : .
Définition : asymptote horizontale.
La droite d’équation est une asymptote horizontale à lorsque .
Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.
On considère n un entier naturel non nul.
; et .
2.Limite infinie en l’infini
Propriété :
La fonction f a pour limite en si tout intervalle de du type contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors .
Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.
On considère n un entier naturel non nul.
; et pour n impair et pour n pair.
II.Limite infinie en un réel
Définition :
On considère une fonction définie sur un intervalle ouvert de du type ou avec .
La fonction f a pour limite en si tout intervalle de du type contient toutes les valeurs
de f(x) pour x assez proche de .
On note alors .
Définition : asymptote verticale.
La droite d’équation est une asymptote verticale à lorsque .
Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.
On considère n un entier naturel non nul.
; et pour n impair et pour n pair.
III.Opérations sur les limites
Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.
IV.Limite d’une fonction composée
1.Fonction composée
Définition :
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée définie sur E par .
2.Théorème de composition des limites
Théorème :
Soit h la composée de la fonction f suivie de g et trois réels ou .
Si et alors .
V.Limites et comparaison de fonctions
1.Théorème de comparaison
Théorème :
2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich
Théorème :
Soit deux nombres réels et et trois fonctions , et telles que pour tout , on a .
Si , alors .
VI.Continuité d’une fonction
Propriété :
- Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
- Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son domaine de définition
- On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
- Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
VII.Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.
Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.
On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.
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