Limites et continuité de fonctions : cours de maths en terminale S

Sommaire

1 I.Limite d’une fonction en l’infini
- 1.1 1.Limite finie en l’infini
- 1.2 2.Limite infinie en l’infini
2 II.Limite infinie en un réel
3 III.Opérations sur les limites
4 IV.Limite d’une fonction composée
- 4.1 1.Fonction composée
- 4.2 2.Théorème de composition des limites
5 V.Limites et comparaison de fonctions
- 5.1 1.Théorème de comparaison
- 5.2 2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich
6 VI. Continuité d’une fonction
7 VII. Théorème des valeurs intermédiaires

I.Limite d’une fonction en l’infini

1.Limite finie en l’infini

Définition :

On considère une fonction définie au moins sur un intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a;+\infty[$ .

La fonction a pour limite en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors : $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ .

Définition : asymptote horizontale.

La droite d’équation est une asymptote horizontale à lorsque $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ .

Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$ ; $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n}=0$ .

2.Limite infinie en l’infini

Propriété :

La fonction f a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a;+\infty[$ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ .

Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

$\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$ ; $\lim_{x\to +\infty} x^n=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} x^n=-\infty$ pour n impair et $\lim_{x\to -\infty} x^n=+\infty$ pour n pair.

II.Limite infinie en un réel

Définition :

On considère une fonction définie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ du type $]x_0-\epsilon ;x_0[$ ou $]x_0 ;x_0+\epsilon[$ avec $\epsilon >0$ .

La fonction f a pour limite $+\infty$ en si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs

de f(x) pour x assez proche de .

On note alors $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ .

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation est une asymptote verticale à lorsque $\lim_{x\to x_0}f(x)= \pm \infty$ .

Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.

On considère n un entier naturel non nul.

$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ ; $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^n}=-\infty$ pour n impair et $\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^n}=+\infty$ pour n pair.

III.Opérations sur les limites

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.

IV.Limite d’une fonction composée

1.Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.

La composée de f suivie de g est la fonction notée définie sur E par .

2.Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et $\alpha, \beta, \gamma$ trois réels ou $\pm \infty$ .

Si $\lim_{x\to \alpha }f(x)= \beta$ et $\lim_{x\to \beta }f(x)= \gamma$ alors $\lim_{x\to \alpha }h(x)= \gamma$ .

V.Limites et comparaison de fonctions

1.Théorème de comparaison

Théorème :

2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich

Théorème :

Soit deux nombres réels $\alpha$ et et trois fonctions , et telles que pour tout $x>\alpha$ , on a $f(x)\leq\, g(x) \leq\, h(x)$ .

Si $\lim_{x\to +\infty }f(x)=\lim_{x\to +\infty }h(x)= l$ , alors $\lim_{x\to +\infty }g(x)= l$ .

VI. Continuité d’une fonction

Propriété :

Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son domaine de définition
On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

VII. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.

Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.

On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue et strictement monotone sur [a , b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a , b] tel que f(c)=k.

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