Limites et continuité de fonctions : cours e maths en terminale S

I.Limite d’une fonction en l’infini

1.Limite finie en l’infini

Définition :

On considère une fonction définie au moins sur un intervalle de du type .

La fonction a pour limite en si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors : .

Définition : asymptote horizontale.

La droite d’équation est une asymptote horizontale à lorsque .

Propriété : limite finie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

; et .

2.Limite infinie en l’infini

Propriété :

La fonction f a pour limite en si tout intervalle de du type contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On note alors .

Propriété : limite infinie des fonctions usuelles en l’infini.

On considère n un entier naturel non nul.

; et pour n impair et  pour n pair.

II.Limite infinie en un réel

Définition :

On considère une fonction définie sur un intervalle ouvert de du type ou avec  .

La fonction f a pour limite en si tout intervalle de   du type contient toutes les valeurs

de f(x) pour x assez proche de .

On note alors .

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation est une asymptote verticale à lorsque .

Propriété : limite des fonctions usuelles en 0.

On considère n un entier naturel non nul.

; et  pour n impair et pour n pair.

III.Opérations sur les limites

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de fonctions.

IV.Limite d’une fonction composée

1.Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.

La composée de f suivie de g est la fonction notée définie sur E par .

2.Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et trois réels ou .

Si  et alors .

V.Limites et comparaison de fonctions

1.Théorème de comparaison

Théorème :

2.Théorème d’encadrements dit des gendarmes ou du sandwich

Théorème :

Soit deux nombres réels et   et trois fonctions , et  telles que pour tout , on a .

Si , alors .

VI.Continuité d’une fonction

Propriété :

• Les fonctions usuelles (affines, carrés, racines carrées, cubes, inverses, valeur absolues) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
• Toute fonction construite algébriquement à l’aide de fonctions usuelles est continue  sur tout intervalle de son domaine de définition
• On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
• Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

VII.Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.

Théorème : cas d’une fonction strictement monotone.

On considère f une fonction définie sur un intervalle I contenant deux réels a et b tels que a<b.

Si f est continue et strictement monotone sur [a,b] alors pour tout réel k compris tel que f(a)<k<f(b), il existe un unique réel c appartenant à [a,b] tel que f(c)=k.

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