Fonctions convexe ou concave : cours de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesTerminale • lycée

Fonctions convexe ou concave

⏱️Temps de lecture : 5 min

🎯Difficulté : Expert

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 1ère maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

La fonction convexes ou concaves à travers un cours de maths en terminale est un chapitre essentiel à bien assimiler par l’élève.

I. Convexité d’une fonction

1.Sécante à la courbe représentative d’une fonction.

Définition :

Soit f une fonction et C_f sa courbe représentative dans un repère.
Soit A et B deux points de C_f alors la droite (AB) est sécante de C_f .

2.Convexité et concavité.

Définitions :

Soit f une fonction et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On dit que :

f est convexe sur un intervalle I si, pour tout réel x de I, est en dessous de ses sécantes.
f est concave sur un intervalle I si, pour tout réel x de I, est au-dessus de ses sécantes.

3. les fonctions usuelles.

Propriété :

La fonction $x\,\mapsto \,\sqrt{x}$ est concave.

Les fonctions $x\,\mapsto \,x^2$ et $x\,\mapsto \,e^x$ sont convexes.
La fonction $x\,\mapsto \,\frac{1}{x}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Exemple :
Soit f la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac{1}{x}$ et sa courbe représentative
dans le repère ci-dessous.

Alors le segment [CD] est au-dessus de la courbe de pour x strictement positif donc f est
convexe sur $\mathbb{R}^{+*}$ et le segment [AB] est en dessous de la courbe pour x strictement négatif
donc f est concave sur $\mathbb{R}^{-*}$ .

4.Position par rapport aux sécantes.

Propriété :

• Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels x et y de I et pour tout $t\in[0;1]$ , on a :
$f(tx+\,(1\,-\,t)y)\,\leq\,\,tf(x)+\,(1\,-\,t)f(y)$
• Si f est une fonction concave sur un intervalle I alors pour tous réels x et y de I et pour tout t $t\in[0;1]$ , on a :
$f(tx+\,(1\,-\,t)y)\,\geq\,\,tf(x)+\,(1\,-\,t)f(y)$

Démonstration :
Soient deux réels x et y et soit $t\in[0;1]$ .

Soit et ; Alors le point
appartient au segment [AB], sécante de .

f étant convexe, cette sécante est située au-dessus de .
M est donc situé au-dessus du .
D’où $f(tx+(1-t)y)\leq\,\,tf(x)+(1-t)f(y)$ .

Remarque :

Si les inégalités précédentes sont strictes, on dira que f est une fonction strictement convexe ou strictement concave sur l.

Propriété : concavité.

est convexe sur I si et seulement si $-\,f$ est concave.

Exemple :

Soit fla fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

La fonction $x\,\mapsto \,e^x$ est convexe, donc $f:x\,\mapsto \,-e^x$ est concave.

II. Fonction convexe et dérivées première et seconde

1.Fonction convexe et fonction concave.

Théorème :

Soit I un intervalle réel.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur I et sa fonction dérivée.

f est convexe sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, est croissante.
f est concave sur l, si et seulement si, pour tout réel x de l, est décroissante.

Exemple :
Soit f la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
On a dressé le tableau de variations de la fonction .

Alors f est concave sur $]-\infty\,;\,3]$ et convexe sur $[3;+\infty\,[$ .

2.La fonction dérivée seconde.

Définition :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I et sa fonction dérivée.
On appelle dérivée seconde de la fonction f, notée f'' , la dérivée de .

Exemple :
Soit f la fonction définie (et dérivable deux fois) sur $\mathbb{R}$ par l’expression
Alors et .

Remarques :

La dérivée seconde d’une fonction affine est toujours nulle.
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée, donc à sa dérivée seconde également.

3.Convexité et dérivée seconde.

Théorème :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable et sa fonction dérivée.

f est convexe sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, est positive.
f est concave sur I si et seulement si, pour tout réel x de l, est négative.

Démonstration :

f’ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si est est positive (resp. négative).
Donc f est convexe (resp. concave) si et seulement si est positive (resp. négative).

III. Tangente et point d’inflexion

1.Dérivée seconde et tangente.

Propriété :

Soit f une fonction supposée deux fois dérivable sur I de dérivée seconde f'' .

Si f'' est positive sur I, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Preuve :

Soit $\phi$ la fonction définie sur I par la différence entre la fonction et sa tangente.
$\phi(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0))=f(x)-f'(x_0)x+f'(x_0)x_0-f(x_0)$ .
Alors $\phi$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, en notant $\phi'$ sa dérivée, on obtient :

$\phi'(x)=f'(x)-f'(x_0)+0-0=f'(x)-f'(x_0)$ .

Or est positive donc est croissante. D’où :
si $x\geq\,\,x_0$ alors $f'(x)\geq\,\,f'(x_0)$ donc $\phi'(x)\geq\,\,0$ .
si $x\leq\,\,x_0$ alors $f'(x)\leq\,\,f'(x_0)$ donc $\phi'(x)\leq\,\,0$ .
De plus, $\phi(x_0)\,=\,f(x_0)-f'(x_0)x_0\,+\,f'(x_0)x_0\,-f(x_0)=0$

On obtient le tableau de variations ci-dessous.

Donc, pour tout réel x de I, $\phi(x)\geq\,\,0$ donc $f(x)\geq\,\,f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ autrement dit, la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Conclusion :

Si est positive, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.

Remarques :

Si est négative sur I alors la courbe représentative de f est en dessous de ses tangentes.
Attention à la réciproque, une fonction convexe n’est pas obligatoirement deux fois dérivable.

2.Point d’inflexion à la courbe représentative d’une fonction.

Définition :

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et C_f sa courbe représentative sur cet intervalle
dans un repère orthonormé du plan.
Soit A un point de C_f et T_A la tangente C_f au point A.
On dit que A est un point d’inflexion pour C_f si, au point A, la courbe C_f traverse T_A .

Exemple :
Soit f la fonction cube et sa courbe représentative dans un repère.

Alors l’origine du repère $O(0\,;\,0)$ est un point d’inflexion pour .

En revanche les tangentes en -1 et en 1 ne traversent pas la courbe, les points de coordonnées et ne sont donc pas des points d’inflexion.

Propriété :

Pour qu’il y ait point d’inflexion, il faut que f'' change de signe donc que change de variation.

Exemple :

Si alors et .
Donc $f''(x)\geq\,\,0\Leftrightarrow\,x\geq\,\,0$ et $f''(x)\leq\,\,0\Leftrightarrow\,x\leq\,\,0$ .

Il y a changement de signe de la dérivée seconde, donc f change de convexité, il y a donc en $O(0\,;\,0)$ un point d’inflexion.

4.5/5 - (32932 votes)

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «fonctions convexe ou concave : cours de maths en terminale en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Cours de Terminale

Fonctions cosinus et sinus

Suites numériques

Produit scalaire dans l’espace

Matrices et graphes

Exercices de Terminale

produit scalaire espace exercices maths terminale

Produit scalaire de l’espace

Loi à densité

raisonnement recurrence exercices maths terminale

Raisonnement par récurrence

droites plans espace exercices maths terminale

Droites et plans de l’espace

📚✏️

👥 8

🎓 L'équipe MATHS PDF

⚡ Mis à jour quotidiennement

👨‍🏫 8 Enseignants Titulaires 👩‍🏫

🏫 Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale en poste dans les écoles primaires, collèges et lycées.
📝 Notre équipe collaborative enrichit quotidiennement nos cours de maths et exercices corrigés.
✅ Expertise multi-niveaux • 📅 Contenu actualisé chaque jour • 🎯 Méthodes éprouvées

📚 Tous nos cours ✏️ Tous nos exercices

Nos applications

Téléchargez la dernière version gratuite de nos applications.

Maths PDF c'est 13 862 906 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.