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Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale S

cours terminale

I.La fonction logarithme népérien

Définition :

Soit a un nombre réel strictement positif. La   logarithme népérien est l’unique solution de l’équation e^x=a,

Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction  f est définie par f(x)=ln x sur ]0;+\infty[.

Propriétés :

Pour tout réel a>0 et tout nombre réel b, nous avons  lna=b\Leftrightarrow\,a=e^b.ln1=0 car e^0=1

lne=1 car e^1=e

Exemple :

Résoudre l’équation e^{2x+3}=4.

2x+3=\,ln4\\2x=ln4-3\\x=\frac{ln4-3}{2}

Propriétés :

Pour tout x>0, e^{lnx}=x.

Pour tout x\in\,\mathbb{R}, ln(e^x)=x.

Exemples :

e^{ln7}=7   et  ln{e^2}=2.

II. Les courbes des fonctions exp et ln

Propriété :
Dans un repère orthonormé du plan, les courbes de la fonctions exp définie par f(x)=e^x sur \mathbb{R} et  de la fonction logarithme népérien ln définie par g(x)\,=lnx sur ]0;+\infty[ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Propriété :

On considère un nombre réel x strictement positif.

La fonction f définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=lnx est telle que :

  • f est continue et dérivable sur ]0;+\infty[;
  • f est dérivable sur ]0;+\infty[ et f'(x)=\frac{1}{x};
  • f est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
  • \lim_{x\,\to \,0^+\,}f(x)=-\infty
  • \lim_{x\,\to\, +\infty\,}f(x)=+\infty
  • \lim_{\,x\,\to\,+\infty}\frac{lnx}{x}=0
  • \lim_{\,x\,\to\,0^+}xlnx=0
  • \lim_{\,h\to\,0^+}\frac{ln(1+h)}{h}=0

courbe exponentielle logarithme

Propriétés : conséquences.

On considère a et b deux réels strictement positifs.lna=lnb\Leftrightarrow\,a=b;

a<b\Leftrightarrow\,lna<lnb

lna>0\Leftrightarrow\,a>1

lna<0\Leftrightarrow\,0<a<1

tableau variation logarithme

III. Carte mentale sur le logarithme népérien

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