Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale S

Sommaire

I.La fonction logarithme népérien

Définition :

Soit a un nombre réel strictement positif.La logarithme népérien est l’unique solution de l’équation $e^x=a$ ,

Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction f est définie par f(x)=ln x sur $]0;+\infty[$ .

Propriétés :

Pour tout réel a>0 et tout nombre réel b, nous avons $lna=b\Leftrightarrow a=e^b$ . $ln1=0$ car $e^0=1$

$lne=1$ car $e^1=e$

Exemple :

Résoudre l’équation $e^{2x+3}=4$ .

$2x+3= ln4\\2x=ln4-3\\x=\frac{ln4-3}{2}$

Propriétés :

Pour tout x>0, $e^{lnx}=x$ .Pour tout $x\in \mathbb{R}$ , $ln(e^x)=x$ .

Exemples :

$e^{ln7}=7$ et $ln{e^2}=2$ .

II.Les courbes des fonctions exp et ln

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan, les courbes de la fonctions exp définie par f(x)=e^x sur $\mathbb{R}$ et de la fonction logarithme népérien ln définie par $g(x) =lnx$ sur $]0;+\infty[$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Propriété :

On considère un nombre réel x strictement positif.La fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=lnx$ est telle que :

f est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ ;
f est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)=\frac{1}{x}$ ;
f est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
$\lim_{x \to\inty0^+ }f(x)=-\infty$
$\lim_{x \to \inty +\infty }f(x)=+\infty$
$\lim_{ x \to +\infty}\frac{lnx}{x}=0$
$\lim_{ x \to 0^+}xlnx=0$
$\lim_{ h\to 0^+}\frac{ln(1+h)}{h}=0$

Propriétés : conséquences.

On considère a et b deux réels strictement positifs. $lna=lnb\Leftrightarrow a=b$ ;

$a<b\Leftrightarrow lna<lnb$

$lna>0\Leftrightarrow a>1$

$lna<0\Leftrightarrow 0<a<1$

III.Carte mentale sur le logarithme népérien

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