cours terminale

Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale S

I.La fonction logarithme népérien

Définition :

Soit a un nombre réel strictement positif.La   logarithme népérien est l’unique solution de l’équation e^x=a,

Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction  f est définie par f(x)=ln x sur ]0;+\infty[.

Propriétés :

Pour tout réel a>0 et tout nombre réel b, nous avons  lna=b\Leftrightarrow a=e^b.ln1=0 car e^0=1

lne=1 car e^1=e

Exemple :

Résoudre l’équation e^{2x+3}=4.

2x+3= ln4\\2x=ln4-3\\x=\frac{ln4-3}{2}

Propriétés :

Pour tout x>0, e^{lnx}=x.Pour tout x\in \mathbb{R}, ln(e^x)=x.

Exemples :

e^{ln7}=7   et  ln{e^2}=2.

II.Les courbes des fonctions exp et ln

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan, les courbes de la fonctions exp définie par f(x)=e^x sur \mathbb{R} et  de la fonction logarithme népérien ln définie par g(x) =lnx sur ]0;+\infty[ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Propriété :

On considère un nombre réel x strictement positif.La fonction f définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=lnx est telle que :

  • f est continue et dérivable sur ]0;+\infty[;
  • f est dérivable sur ]0;+\infty[ et f'(x)=\frac{1}{x};
  • f est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
  • \lim_{x \to\inty0^+ }f(x)=-\infty
  • \lim_{x \to \inty +\infty }f(x)=+\infty
  • \lim_{ x \to +\infty}\frac{lnx}{x}=0
  • \lim_{ x \to 0^+}xlnx=0
  • \lim_{ h\to 0^+}\frac{ln(1+h)}{h}=0

courbe exponentielle logarithme

Propriétés : conséquences.

On considère a et b deux réels strictement positifs.lna=lnb\Leftrightarrow a=b;

a<b\Leftrightarrow lna<lnb

lna>0\Leftrightarrow a>1

lna<0\Leftrightarrow 0<a<1

tableau variation logarithme

III.Carte mentale sur le logarithme népérien

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