Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale S

Sommaire

1 I.La fonction logarithme népérien
2 II. Les courbes des fonctions exp et ln
3 III. Carte mentale sur le logarithme népérien

I.La fonction logarithme népérien

Définition :

Soit a un nombre réel strictement positif. La logarithme népérien est l’unique solution de l’équation ,

Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction f est définie par f(x)=ln x sur $]0;+\infty[$ .

Propriétés :

Pour tout réel a>0 et tout nombre réel b, nous avons $lna=b\Leftrightarrow\,a=e^b$ . car

car

Exemple :

Résoudre l’équation $e^{2x+3}=4$ .

$2x+3=\,ln4\\2x=ln4-3\\x=\frac{ln4-3}{2}$

Propriétés :

Pour tout x>0, $e^{lnx}=x$ .

Pour tout $x\in\,\mathbb{R}$ , .

Exemples :

$e^{ln7}=7$ et $ln{e^2}=2$ .

II. Les courbes des fonctions exp et ln

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan, les courbes de la fonctions exp définie par f(x)=e^x sur $\mathbb{R}$ et de la fonction logarithme népérien ln définie par $g(x)\,=lnx$ sur $]0;+\infty[$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Propriété :

On considère un nombre réel x strictement positif.

La fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par est telle que :

f est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ ;
f est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)=\frac{1}{x}$ ;
f est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
$\lim_{x\,\to \,0^+\,}f(x)=-\infty$
$\lim_{x\,\to\, +\infty\,}f(x)=+\infty$
$\lim_{\,x\,\to\,+\infty}\frac{lnx}{x}=0$
$\lim_{\,x\,\to\,0^+}xlnx=0$
$\lim_{\,h\to\,0^+}\frac{ln(1+h)}{h}=0$

Propriétés : conséquences.

On considère a et b deux réels strictement positifs. $lna=lnb\Leftrightarrow\,a=b$ ;

$a<b\Leftrightarrow\,lna<lnb$

$lna>0\Leftrightarrow\,a>1$

$lna<0\Leftrightarrow\,0<a<1$

III. Carte mentale sur le logarithme népérien

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