Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S en PDF

Sommaire

I.Axiome de récurrence

Axiome :

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n.Si on démontre les deux conditions suivantes :

Initialisation : P(n) est vraie pour un entier $n_0$ .
Hérédité : pour tout entier naturel $k\geq n_0$ , P(n) est vraie alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq n_0$ .

Remarque :

La propriété P(n) peut être de différentes natures :Une égalité :

$\forall n\in \mathbb{N}$ , P(n) : $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Une inégalité :

$\forall x>0,\forall n\in \mathbb{N},$ $P(n):(1+x)^n\geq 1+nx$ .

Une phrase :

Pour tout entier naturel n, P(n) : $\frac{n^3-n}{3}$ est un entier naturel.

Remarque :

On peut illustrer le raisonnement par récurrence par la programmation d’un robot qui doitmonter des escaliers.

Si le robot est mis sur une marche $n_0$ de l’escalier et si le robot sait monter

d’une marche à la marche suivante alors le robot saura monter toutes les marches de l’escalier

à partir de la marche $n_0$ .

II.Le raisonnement par récurrence et la démonstration

Utiliser le raisonnement par récurrence :

L’initialisation est la démonstration que $P(n_0)$ est vraie.L’hérédité est une implication à montrer.

On considère un entier $k\geq n_0$ et on suppose que P(k) est vraie.

C’est-à-dire que la propriété est vraie au rang k.

Cela s’appelle l’hypothèse de récurrence.

On démontre que P(k+1) est alors vraie en utilisant l’hypothèse de récurrence.

On aboutit à la conclusion que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq n_0$ .

Exemple :

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}$ .

Démontrer par récurrence que $\forall n\in \mathbb{N},u_ n \geq 2$ .

Initialisation :

$u_0=3\geq 2$ donc P(0) vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier k tel que $u_k\geq 2$

$u_k+4\geq 2+4$

donc $u_k+4\geq 6\geqslant 0$ (or la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$ .

donc $\sqrt{u_k+4}\geq \sqrt{6}\geqslant \sqrt{4}$

donc $u_{k+1}\geq 2$ ainsi, P(k+1) est vraie.

La propriété est héréditaire.

Conclusion :

$\forall n\in \mathbb{N},u_ n \geq 2$

III.Principe de récurrence et dominos

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