Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S.

Sommaire

1 I.Axiome de récurrence
2 II.Le raisonnement par récurrence et la démonstration
3 III.Principe de récurrence et dominos

I.Axiome de récurrence

Axiome :

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n.Si on démontre les deux conditions suivantes :

Initialisation : P(n) est vraie pour un entier .
Hérédité : pour tout entier naturel $k\geq\,\,n_0$ , P(n) est vraie alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq\,\,n_0$ .

Remarque :

La propriété P(n) peut être de différentes natures :Une égalité :

$\forall\,n\in\,\mathbb{N}$ , P(n) : $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Une inégalité :

$\forall\,x>0,\forall\,n\in\,\mathbb{N},$ $P(n):(1+x)^n\geq\,\,1+nx$ .

Une phrase :

Pour tout entier naturel n, P(n) : $\frac{n^3-n}{3}$ est un entier naturel.

Remarque :

On peut illustrer le raisonnement par récurrence par la programmation d’un robot qui doitmonter des escaliers.

Si le robot est mis sur une marche de l’escalier et si le robot sait monter

d’une marche à la marche suivante alors le robot saura monter toutes les marches de l’escalier

à partir de la marche .

II.Le raisonnement par récurrence et la démonstration

Utiliser le raisonnement par récurrence :

L’initialisation est la démonstration que est vraie.L’hérédité est une implication à montrer.

On considère un entier $k\geq\,\,n_0$ et on suppose que P(k) est vraie.

C’est-à-dire que la propriété est vraie au rang k.

Cela s’appelle l’hypothèse de récurrence.

On démontre que P(k+1) est alors vraie en utilisant l’hypothèse de récurrence.

On aboutit à la conclusion que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq\,\,n_0$ .

Exemple :

On considère la suite numérique définie par et $\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}$ .

Démontrer par récurrence que $\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_n\,\geq\,\,2$ .

Initialisation :

$u_0=3\geq\,\,2$ donc P(0) vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier k tel que $u_k\geq\,\,2$

$u_k+4\geq\,\,2+4$

Or la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$ .

donc $\sqrt{u_k+4}\geq\,\,\sqrt{6}\geq\,\,\sqrt{4}$

donc $u_{k+1}\geq\,\,2$ ainsi, P(k+1) est vraie.

La propriété est héréditaire.

Conclusion :

$\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_n\,\geq\,\,2$

III.Principe de récurrence et dominos

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