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Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S en PDF

I.Axiome de récurrence

Axiome :

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n.Si on démontre les deux conditions suivantes :

  • Initialisation : P(n) est vraie pour un entier n_0.
  • Hérédité : pour tout entier naturel k\geq\, n_0, P(n) est vraie alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier n\geq\, n_0.

Remarque :

La propriété P(n) peut être de différentes natures :Une égalité :

\forall n\in \mathbb{N}, P(n) : 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.

Une inégalité :

\forall x>0,\forall n\in \mathbb{N}, P(n):(1+x)^n\geq\, 1+nx.

Une phrase :

Pour tout entier naturel n, P(n) : \frac{n^3-n}{3} est un entier naturel.

Remarque :

On peut illustrer le raisonnement par récurrence par la programmation d’un robot qui doitmonter des escaliers.

robot récurrence

Si le robot est mis sur une marche n_0 de l’escalier et si le robot sait monter

d’une marche à la marche suivante alors le robot saura monter toutes les marches de l’escalier

à partir de la marche n_0.

II.Le raisonnement par récurrence et la démonstration

Utiliser le raisonnement par récurrence :

L’initialisation est la démonstration que P(n_0)est vraie.L’hérédité est une implication à montrer.

On considère un entier k\geq\, n_0 et on suppose que P(k) est vraie.

C’est-à-dire que la propriété est vraie au rang k.

Cela s’appelle l’hypothèse de récurrence.

On démontre que P(k+1) est alors vraie en utilisant l’hypothèse de récurrence.

On aboutit à la conclusion que P(n) est vraie pour tout entier n\geq\, n_0.

Exemple :

On considère la suite numérique (u_n) définie par u_0=3 et \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}.

Démontrer par récurrence que \forall n\in \mathbb{N},u_ n \geq\, 2.

Initialisation  :

u_0=3\geq\, 2 donc P(0) vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier k tel que u_k\geq\, 2

u_k+4\geq\, 2+4

donc u_k+4\geq\, 6\geq\, 0 (or la fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[.

donc \sqrt{u_k+4}\geq\, \sqrt{6}\geq\, \sqrt{4}

donc u_{k+1}\geq\, 2 ainsi, P(k+1) est vraie.

La propriété est héréditaire.

Conclusion :

\forall n\in \mathbb{N},u_ n \geq\, 2

III.Principe de récurrence et dominos

récurrence dominos


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