Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale.

Sommaire

1 I.Axiome de récurrence
2 II. Le raisonnement par récurrence et la démonstration
3 III. Principe de récurrence et dominos

Le raisonnement par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver qu’une affirmation est vraie pour tous les nombres entiers positifs n.

La technique consiste à prouver le cas de base, qui est généralement n=1, puis à prouver que si l’affirmation est vraie pour un certain nombre entier k, elle doit également être vraie pour le nombre entier suivant k+1.

I.Axiome de récurrence

Axiome :

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n. Si on démontre les deux conditions suivantes :

Initialisation : P(n) est vraie pour un entier .
Hérédité : pour tout entier naturel $k\geq\,\,n_0$ , P(n) est vraie alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq\,\,n_0$ .

Remarque :

La propriété P(n) peut être de différentes natures :Une égalité :

$\forall\,n\in\,\mathbb{N}$ , P(n) : $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Une inégalité :

$\forall\,x>0,\forall\,n\in\,\mathbb{N},$ $P(n):(1+x)^n\geq\,\,1+nx$ .

Une phrase :

Pour tout entier naturel n, P(n) : $\frac{n^3-n}{3}$ est un entier naturel.

Remarque :

On peut illustrer le raisonnement par récurrence par la programmation d’un robot qui doit monter des escaliers.

Si le robot est mis sur une marche n_0 de l’escalier et si le robot sait monter

d’une marche à la marche suivante alors le robot saura monter toutes les marches de l’escalier

à partir de la marche n_0 .

II. Le raisonnement par récurrence et la démonstration

Utiliser le raisonnement par récurrence :

L’initialisation est la démonstration que P(n_0) est vraie. L’hérédité est une implication à montrer.

On considère un entier $k\geq\,\,n_0$ et on suppose que P(k) est vraie.

C’est-à-dire que la propriété est vraie au rang k.

Cela s’appelle l’hypothèse de récurrence.

On démontre que P(k+1) est alors vraie en utilisant l’hypothèse de récurrence.

On aboutit à la conclusion que P(n) est vraie pour tout entier $n\geq\,\,n_0$ .

Exemple :

On considère la suite numérique définie par et $\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}$ .

Démontrer par récurrence que $\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_n\,\geq\,\,2$ .

Initialisation :

$u_0=3\geq\,\,2$ donc P(0) vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier k tel que $u_k\geq\,\,2$

$u_k+4\geq\,\,2+4$

Or la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$ .

donc $\sqrt{u_k+4}\geq\,\,\sqrt{6}\geq\,\,\sqrt{4}$

donc $u_{k+1}\geq\,\,2$ ainsi, P(k+1) est vraie.

La propriété est héréditaire.

Conclusion :

$\forall\,n\in\,\mathbb{N},u_n\,\geq\,\,2$

III. Principe de récurrence et dominos

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