Matrices et graphes : cours de maths en terminale à télécharger en PDF

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    Le chapitre sur les matrices avec un cours de maths en terminale et nécessite une certaine concentration de la part de l’élève.  Cette leçon d’enseignement de spécialité lui permettra de développer des compétences nouvelles.

À retenir : Une matrice de taille \(n\times p\) est un tableau de nombres à \(n\) lignes et \(p\) colonnes. Le produit \(AB\) existe si \(A\) a autant de colonnes que \(B\) a de lignes. Pour un graphe, la matrice d’adjacence \(A\) contient 1 quand deux sommets sont reliés ; le coefficient \((i, j)\) de \(A^k\) donne le nombre de chaînes de longueur \(k\) de \(i\) à \(j\).

I. La notion de matrice.

Soient m, n et p trois entiers naturels non nuls.

1.Notion de matrice et opérations.

Définition :
Une matrice de taille (ou format) n\times\,p – matrice   est un tableau de nombres réels n lignes et p colonnes.

Exemple :

matrice

est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2\times\,3 – matrice .

Définitions :
Lorsque n = 1, on dit que M est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Puis, lorsque p = 1, on dit que M est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Et lorsque n = p, on dit que M est une matrice carrée d’ordre n.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf
lorsque i=j.
La matrice identité d’ordre n est la matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients
diagonaux sont égaux à 1. On la note I_n – matrice .
La matrice nulle de taille n\times\,p – matrice , notée O_{n,p} – matrice , est la matrice de taille n\times\,p – matrice , dont tous les coefficients sont nuls.

Exemples :

Exemples de matrices – matrice

Définition :

Deux matrices A et B de taille n\times\,p – matrice sont égales lorsque, pour tout i\in\,\left\,\{\,1,2,...,n\,\right\,\} – matrice et j\in\,\left\,\{\,1,2,...,p\,\right\,\} – matrice on a (a_{ij})=(b_{ij}) – matrice.

Définition :

Une matrice carrée d’ordre n – matrice sont symétrique lorsque, pour tout i\in\,\left\,\{\,1,2,...,n\,\right\,\} – matrice et j\in\,\left\,\{\,1,2,...,n\,\right\,\} – matrice on a (a_{ij})=(a_{ji}) – matrice.

Exemple :

La matrice suivante est symétrique.

matrice

2. Opérations sur les matrices (matrice)

Définitions :

Soient A\,=(a_{ij}) – matrice et B\,=(b_{ij}) – matrice deux matrices de taille n\times\,p – matrice .

  1. La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice C\,=(c_{ij}) – matrice  de taille n\times\,p – matrice
    telle que, pour tous 1\leq\,i\leq\,n – matrice et 1\leq\,j\leq\,p – matrice , on c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j} – matrice .
  2.  Le produit de la matrice A par un réel \lambda – matrice , noté \lambda\,A – matrice , est la matrice M\,=\,(m_{ij}) – matrice de
    taille n\times\,p telle que, pour tous 1\leq\,i\leq\,n et 1\leq\,j\leq\,p , on a m_{i,j}=\lambda\times\,a_{i,j}.
Propriétés :

Soient A, B et C trois matrices de même taille et \alpha et \beta deux réels.

  1. A+ B = B + A (commutativité de la somme de matrices)
  2. A+(B +C) = (A+ B)+C (associativité de la somme de matrices)
  3. 1\times\,A=A\times\,1=A
  4. (\alpha\,+\beta\,)A=\alpha\,A+\,\beta\,A
  5. \alpha\,(A+B)=\alpha\,A+\alpha\,B
Définition :

On appelle matrice opposée de A la matrice M=(-1)A , notée -A , telle que,pour tout  1\leq\,i\leq\,n et 1\leq\,j\leq\,p , on a m_{i,j}=-a_{i,j} .

De plus, on note A-B la matrice A+(-B) .

Exemples :

somme et produit de matrices

Définition :
Soit L=(l_{1,1},l_{1,2},...,l_{1,n}) une matrice ligne de taille 1\times\,n etmatrice colonne

une matrice colonne de taille matrice colonne de taille n\times\,1 .

Alors le produit L\times\,C est le nombre réel définit par :

produit de matrices

Exemple :

produit de matrices

3.Produit de deux matrices.

Définition :
Si A est une matrice de taille m\,\times\,n et B une matrice de taille n\times\,p , le produit des
matrices A et B, noté A\times\,B ou AB , est la matrice C\,=\,(c_{i,j}) de taille m\times\,p  telle que,
pour tout  1\leq\,i\leq\,n et 1\leq\,j\leq\,p , on a c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i,k}\times\,b_{k,j}.
Autrement dit, l’élément c_{i,j} . est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ième
colonne de B.
Propriétés :

Soient A, B et C trois matrices et \lambda un nombre réel.Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :

  1. (A\times\,B)\times\,C=A\times(\,B\times\,C)=A\times\,B\times\,C
  2. A\times\,(B+C)=A\times\,B+\,A\times\,C
  3. (A+B)\times\,C=A\times\,C+\,B\times\,C
  4. (\lambda\,A)\times\,B=A\times\,(\lambda\,B)=\lambda\,AB
  5. I_n\times\,A=A\times\,I_n=A
Définition :
Soient A une matrice carrée d’ordre n et k un entier naturel non nul.
La puissance k-ième de A, notée A^k , est la matrice A^k=A\times\,A\times\,...\times\,A (k fois).

4.Inverse d’une matrice et résolution de système.

Définition :
Une matrice carrée A de taille n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B
de taille n telle que A\times\,B\,=\,B\,\times\,A=I_n .
Définition :

Soit  matrice carrée une matrice carrée d’ordre 2.Le déterminant de A est le réel, noté det(A), défini par det(A)=ad-bc.

Propriété :
Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si  matrice carrée est inversible alors

matrice inverse

Propriété :
Soient A une matrice carrée de taille n et X et B deux matrices colonnes à n lignes.
Si A est inversible, alors le système d’écriture matricielle AX = B admet une unique
solution donnée par la matrice colonne X\,=\,A^{-1}\times\,B .

Exemple :

système et matrice

II. Les graphes.

Définitions :
Un graphe est une représentation composée de sommets (des points) reliés par des
arêtes (segments).
Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont munies d’un sens de parcours.
L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet, sans tenir
compte de leur éventuel sens de parcours.

Exemple :
Le graphe ci-dessous est d’ordre 5.
Les sommets K et L sont de degré 3.
Les sommets M , M et M, sont de degré 2.

graphe

Définitions :
Deux sommets sont adjacents lorsqu’ils sont reliés par au moins une arête.
Un graphe est complet lorsque tous ses sommets sont deux à deux adjacents.

Exemples :
1. Le graphe ci-dessous est complet car tous ses sommets sont deux à  deux adjacents.

graphe
2. Le graphe ci-dessous n’est pas complet car les sommets A et B, par exemple, ne sont
pas adjacents.

graphe

Définition :
Pour un graphe non orienté, une chaîne est une suite d’arêtes consécutives reliant
deux sommets (éventuellement confondus).
La longueur d’une chaine est le nombre d’arêtes la composant.
Pour un graphe orienté, un chemin est une suite d’arêtes consécutives reliant deux
sommets (éventuellement confondus) en tenant compte du sens de parcours des arêtes.

graphe

III. Application du calcul matriciel aux graphes.

Définition :
Soit n un entier naturel non nul. On considère un graphe d’ordre n (orienté ou non)
dont les sommets sont numérotés de 1 à n, puis rangés dans l’ordre croissant.
La matrice d’adjacence de ce graphe est la matrice carrée de taille n, dont lecoefficient a_{i,j} est égal au nombre d’arêtes partant du sommet i pour arriver au sommet j.

Exemple :

En notant M la matrice d’adjacence du graphe ci-dessous obtenue en rangeant

les sommets dans l’ordre alphabétique.

Nous avons :

matrice matrice

Propriété :
Soient n et k deux entiers naturels non nuls et M la matrice d’adjacence d’un graphe
d’ordre n, dont les sommets sont numérotés de 1 à n et rangés dans l’ordre croissant
Le terme de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de la matrice M^k donne le
nombre de chaînes (ou de chemins) de longueur k reliant le sommet i au sommet j.

Exemple :

exercice sur les matrices

 

 

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Matrice (mathématiques) (Wikipédia).

Avant de commencer

Tout d’abord, prends le temps de lire la question en entier. Ensuite, pose ton calcul au brouillon, étape par étape. De cette façon, ta démarche reste claire pour la correction. Enfin, compare ton résultat avec le corrigé proposé plus haut.

Nos conseils de révision

Par ailleurs, un entraînement régulier, même court, vaut mieux qu’une longue séance isolée. Ainsi, tu vérifies si la méthode est bien acquise. Également, explique la méthode à voix haute, comme si tu la présentais à un camarade. De plus, pour finir, garde une trace des erreurs classiques à éviter.

Les erreurs fréquentes à éviter

Fréquemment, une donnée est mal recopiée dès le départ. Par conséquent, il vaut mieux relire la question une seconde fois. Également, pense à toujours conclure par une phrase complète. Enfin, un calcul juste avec une méthode fausse ne rapporte pas tous les points.

Petite FAQ sur cette fiche

Combien de temps consacrer à cette fiche ? Une vingtaine de minutes suffit si tu restes concentré sur chaque exercice.

Que faire en cas de blocage sur un exercice ? Relis ta leçon, puis regarde le corrigé pour comprendre l’étape qui bloque, avant de recommencer seul.

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