Primitives de fonctions usuelles : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « primitives de fonctions usuelles », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur les primitives, première étape vers le calcul intégral et les équations différentielles. Tu commences par vérifier une primitive en dérivant, puis tu retrouves celles des fonctions de référence. Ensuite, le cœur du sujet te demande de reconnaître les formes composées : \(u^{\prime}\mathrm{e}^{u}\), \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\), \(u^{\prime}u^{n}\) et \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\).
Tu chercheras aussi la primitive qui vérifie une condition initiale, et tu choisiras la bonne courbe sur un graphique. Enfin, l’altitude d’un drone termine ce contrôle par un problème concret. Fais-le au début du deuxième trimestre, juste après le cours.
Ce qu’évalue le contrôle : primitives de fonctions usuelles
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée1 heure 30 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Primitives et équations différentielles (6 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Vérifier par dérivation qu’une fonction est une primitive d’une autre
- Déterminer les primitives des fonctions usuelles, y compris sinus et cosinus
- Reconnaître les formes composées \(u’\mathrm{e}^u\), \(\dfrac{u’}{u}\), \(u’u^n\) et \(\dfrac{u’}{\sqrt{u}}\) pour en trouver une primitive
- Trouver la primitive qui vérifie une condition initiale donnée
- Identifier graphiquement la courbe d’une primitive à partir du signe de la fonction
Avant de commencer le devoir
Garde en tête un réflexe simple : dériver ta réponse doit redonner exactement la fonction de départ. Dans l’exercice 3, repère d’abord la fonction \(u\), puis vérifie si \(u^{\prime}\) apparaît ; sinon, ajuste avec un coefficient constant. Pour l’exercice 5, en revanche, aucun calcul n’est utile : le signe de \(f\) donne les variations de sa primitive. Enfin, n’oublie pas la constante quand on te demande toutes les primitives.
Le sujet du contrôle : primitives de fonctions usuelles
Exercice 1 – Vérifier une primitive (3 points)
Dans chaque cas, dérive d’abord \(F\), puis montre ainsi que \(F\) est une primitive de \(f\) sur l’intervalle indiqué.
- Sur \(\mathbb{R}\) : \(F(x) = (x^2 – 2x + 2)\,\mathrm{e}^{x}\) et \(f(x) = x^2\,\mathrm{e}^{x}\).
- Sur \(]0 \,;\, +\infty[\) : \(F(x) = x\ln x – x\) et \(f(x) = \ln x\).
Exercice 2 – Primitives des fonctions de référence (4 points)
Donne une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué, car chacune se traite avec le tableau des primitives usuelles.
- \(f_1(x) = 4x^3 – 6x + 2\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_2(x) = \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\)
- \(f_3(x) = 5\,\mathrm{e}^{x} – \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\)
- \(f_4(x) = \cos x – 2\sin x\) sur \(\mathbb{R}\)
Exercice 3 – Reconnaître une forme composée (5 points)
Pour chaque fonction, repère d’abord la forme composée, puis donne une primitive sur \(\mathbb{R}\).
- \(g_1(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}\)
- \(g_2(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 4}\)
- \(g_3(x) = (2x + 1)(x^2 + x)^3\)
- \(g_4(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\)
- \(g_5(x) = \mathrm{e}^{-3x + 1}\)
Exercice 4 – Une primitive qui passe par un point (3 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 – 4x + 1\). Le graphique ci-dessous montre plusieurs courbes de primitives de \(f\), ainsi que le point \(P(2 \,;\, 5)\).
- Tout d’abord, détermine toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Trouve ensuite la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(2) = 5\).
- Explique pourquoi les courbes se déduisent les unes des autres par une translation verticale, puis pourquoi une seule d’entre elles passe par \(P\).
Exercice 5 – Quelle courbe pour la primitive ? (2 points)
On donne la courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([-2 \,;\, 2]\), qui s’annule en \(-1\) et en 1, ainsi que trois courbes A, B et C. Cependant, une seule de ces trois courbes représente une primitive de \(f\).
- Donne le signe de \(f(x)\) sur \([-2 \,;\, 2]\) d’après sa courbe.
- Déduis-en la courbe qui représente une primitive de \(f\). Justifie aussi pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
Exercice 6 – L’altitude d’un drone (3 points)
Yanis pilote un drone qui décolle du toit d’un immeuble, à 10 mètres du sol. Pendant les quatre premières secondes, sa vitesse verticale, en mètres par seconde, vaut \(v(t) = 3t^2 – 12t + 12\), où \(t \in [0 \,;\, 4]\) est le temps en secondes. Ainsi, son altitude \(h(t)\), en mètres, est la primitive de \(v\) qui vérifie \(h(0) = 10\).
- D’abord, détermine l’expression de \(h(t)\).
- Calcule l’altitude du drone après 2 secondes, puis après 4 secondes.
- Montre que \(v(t) = 3(t – 2)^2\). Alors, le drone redescend-il à un moment ? Que se passe-t-il à \(t = 2\) ?
Réviser primitives de fonctions usuelles avant le contrôle
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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