Loi à densité : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

Lorsqu’il joue à son jeu favori et qu’il doit prendre une décision au hasard, Paul regarde sa montre et si la trotteuse indique entre 45 et 60 secondes, il répond par l’affirmative.

1. Quelle loi suit la variable aléatoire modélisant la valeur donnée par la trotteuse (en supposant son mouvement continu et uniforme) ?
2. Quelle est la probabilité qu’il réponde de manière affirmative ?

Donner la fonction de densité de la loi uniforme :

1. \(\mathcal{U}\left([-1\,;\,1]\right)\)
2. \(\mathcal{U}\left([0\,;\,120]\right)\)
3. \(\mathcal{U}\left([-10\,;\,20]\right)\)
4. \(\mathcal{U}\left([-0{,}1\,;\,0{,}3]\right)\)

\(Y\) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0{,}001\).

Calculer sous forme exacte :

1. \(P(Y \lt 1\,500)\)
2. \(P(400 \leqslant Y \leqslant 2\,000)\)
3. \(P(Y \geqslant 1\,000)\)
4. \(P_{Y \gt 1\,000}(Y \gt 2\,000)\)

Une variable aléatoire \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) de densité \(f\). On sait que \(f(0) = 0{,}5\).

1. Déterminer la valeur de \(\lambda\).
2. Que vaut \(E(X)\) ?

Une variable aléatoire \(D\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). On sait que \(P(D \gt 3) = \text{e}^{-0{,}9}\).

1. Déterminer \(\lambda\).
2. Calculer \(P(D \leqslant 2)\).

Déterminer les probabilités suivantes.

1. \(P(8 \lt X \lt 9)\)
2. \(P(X \geqslant 9)\)
3. \(P(X \leqslant 9)\)
4. \(P_{(X \gt 7)}(X \leqslant 8)\)

Déterminer les probabilités suivantes.

1. \(P(Y \leqslant 9)\)
2. \(P(11 \lt Y \leqslant 13)\)
3. \(P(Y \geqslant 9)\)
4. \(P_{(Y \gt 9)}(Y \leqslant 13)\)

Déterminer une valeur approchée de \(\mu\) et de \(\sigma\).

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant une loi normale de paramètres \(\mu = 5\) et \(\sigma\) inconnu telle que \(P(-7 \leqslant X \leqslant 17) \approx 0{,}997\).

1. Déterminer une valeur approchée de \(\sigma\).
2. En déduire les probabilités suivantes sans utiliser une calculatrice.
   1. \(P(1 \leqslant X \lt 9)\)
   2. \(P(5 \lt X \lt 9)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant une loi \(\mathcal{N}(3\,;\,\sigma^2)\) et telle que \(P(X \lt 1) = 0{,}4\).

Déterminer les probabilités suivantes sans calculatrice.

1. \(P(1 \leqslant X \lt 3)\)
2. \(P(X \gt 5)\)
3. \(P_{(X \lt 5)}(X \geqslant 1)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant une loi normale de paramètres \(\mu\) inconnu et \(\sigma = 2\) telle que \(P(X \geqslant 11) \approx 0{,}001\,5\).

1. Déterminer \(\mu\).
2. En déduire \(P(X \lt 5)\) sans calculatrice.

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,2]\) par \(f(x) = \dfrac{1}{2}x\).

1. Montrer que \(f\) est une fonction de densité sur \([0\,;\,2]\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire admettant \(f\) pour densité. Calculer les probabilités suivantes :
   1. \(P(0{,}5 \leqslant X \leqslant 1{,}5)\)
   2. \(P(X \leqslant 1)\)
   3. \(P(X \gt 1)\)
   4. \(P(0 \leqslant X \leqslant 2)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) dont la fonction de densité sur \([0\,;\,5]\) est représentée ci-dessous :

Déterminer :

1. \(P(0 \leqslant X \leqslant 1)\)
2. \(P(2 \leqslant X \leqslant 4)\)
3. \(P(1 \leqslant X \leqslant 4)\)
4. \(P(X \lt 3)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) dont la fonction de densité sur \(]-\infty\,;\,+\infty[\) est représentée ci-dessous :

On admet que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et que \(P(0 \leqslant X \leqslant 0{,}4) = 0{,}155\).

Donner une valeur approchée de :

1. \(P(-0{,}4 \leqslant X \leqslant 0)\)
2. \(P(X \gt 0{,}4)\)
3. \(P(X \leqslant 0{,}4)\)
4. \(P(-0{,}4 \leqslant X \leqslant 0{,}4)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) dont la fonction de densité sur \(]-\infty\,;\,+\infty[\) est représentée ci-dessous :

On admet que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x = 125\) (tracée ci-dessus) et que \(P(125 \leqslant X \leqslant 127) = 0{,}341\).

Donner une valeur approchée de :

1. \(P(123 \leqslant X \leqslant 125)\)
2. \(P(X \gt 125)\)
3. \(P(X \leqslant 123)\)
4. \(P(127 \leqslant X)\)

On considère l’algorithme suivant :

1. Liste des variables utilisées
2. P, c, d : réels
3. Traitement
4. Afficher « Donner les valeurs \(c\) et \(d\) d’un intervalle \([c\,;\,d]\) »
5. Afficher « \(c\) et \(d\) sont deux nombres entre 0 et 60 »
6. Demander c
7. Demander d
8. Donner à P la valeur \(\dfrac{d-c}{60-0}\)
9. Sortie
10. Afficher la valeur de P

1. À quoi sert cet algorithme ?
2. Modifier cet algorithme pour qu^{\prime}il demande des valeurs pour un intervalle \([a\,;\,b]\) et qu^{\prime}il calcule des probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a\,;\,b]\).
3. Que faut-il ajouter à ce nouvel algorithme pour qu’il calcule aussi l’espérance de cette variable aléatoire ?

Une variable aléatoire \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). La courbe de la fonction densité correspondante est donnée ci-dessous. Le point de coordonnées \(A(0\,;\,2)\) appartient à cette courbe.

1. Déterminer la valeur de \(\lambda\).
2. L’égalité \(P(X \lt 0{,}5) = P(X \geqslant 0{,}5)\) est-elle vraie ?
3. Déterminer la valeur de \(t\) pour laquelle \(P(X \lt t) = P(X \geqslant t)\).

Une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,100]\).

1. Que vaut \(P(X \lt 20)\) ?
2. Calculer \(E(X)\).

\(f\) est la fonction définie sur l’intervalle \([2\,;\,10]\) par la courbe \(\mathscr{C}\) ci-contre.

1. Justifier que la fonction \(f\) est une densité de la loi de probabilité d^{\prime}une variable aléatoire \(X\).

2. Calculer :

a) \(P(2 \leqslant X \leqslant 8)\) ; b) \(P(X \gt 4)\).

3. A-t-on \(P(X \leqslant 8) = P(X \gt 8)\) ? Justifier.

\(T\) est une variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle \([0\,;\,1]\) dont la loi de probabilité a pour densité la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 4x^3\).

1. Calculer la valeur exacte de chaque probabilité.

a) \(P(X \leqslant 0{,}2)\) b) \(P(0{,}1 \leqslant X \leqslant 0{,}8)\) c) \(P(X \gt 0{,}6)\)

2. Déterminer le nombre réel \(a\) de l’intervalle \([0\,;\,1]\) tel que \(P(X \lt a) = 0{,}25\).

\(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) dont la loi de probabilité a pour densité la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2\text{e}^{-2x}\).

Calculer \(P(n \leqslant X \leqslant n+1)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).