Produit scalaire dans l’espace : cours de maths en terminale S

Sommaire

I.le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ .Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$ ;

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{0}=0$ et $\overrightarrow{0}.\overrightarrow{v}=0$ .

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$ .

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BG}=BF\times BG\times cos(\widehat{FBG})$

donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=a\times a\sqrt{2}\times cos(\frac{\pi}{4})=a\times a\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$

Propriété:

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ , alors : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AK}. \overrightarrow{AC}$

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.(k\overrightarrow{v})=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v)}$

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales.Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ .

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) de l’espace, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives (x,y,z) et (x’,y’,z’),Nous avons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$ .

En particuliers, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=x^2 +y^2 +z^2$ et $\left \|\overrightarrow{u} \right \|=\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ .

II.Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan.Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes $(d_1)$ et $(d_2)$ de ce plan.

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul et A un point de l’espace.L’unique plan P passant par A et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ .

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a,b,c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ .Réciproquement, si a,b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x,y,z) tels que

$ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a,b,c)$ .

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