Sommaire
I. Le produit scalaire dans l’espace
1.Approche géométrique du produit scalaire
Soient et
deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que
et
.Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.
On appelle produit scalaire de et
, le produit scalaire
calculé dans le plan P.
Ainsi :
Si u et v sont non nuls,
;
Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : et
.
Exemple :
ABCDEFGH est un cube d’arête a.
Soit et
.
donc
Si et
sont deux vecteurs non nuls tels que
et
, alors :
où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .
Si ,
et
sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :
2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.
3.Expression analytique du produit scalaire
Dans un repère orthonormé (O, i, j, k) de l’espace, on considère les vecteurs et
de coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’),Nous avons
.
En particuliers, et
.
II. Applications du produit scalaire
1.Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan. Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.
Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes et
de ce plan.
2.Equation cartésienne d’un plan
Soit un vecteur non nul et A un point de l’espace. L’unique plan P passant par A et de vecteur normal
est l’ensemble des points M de l’espace tels que :
.
Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal a une équation de la forme
.Réciproquement, si a, b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x, y, z) tels que
est un plan de vecteur normal
.
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