Produit scalaire dans l’espace : cours de maths en terminale S

I.le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient   et deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que et .Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de et , le produit scalaire calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls, ;

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : et .

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit et .

donc

Propriété:

Si  et sont deux vecteurs non nuls tels que et , alors :

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si , et sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

• 
• 
• 

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Propriété :

Deux vecteurs   et sont orthogonaux si, et seulement si, .

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) de l’espace, on considère les vecteurs  et de coordonnées respectives (x,y,z) et (x’,y’,z’),Nous avons .

En particuliers, et .

II.Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan.Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes  et de ce plan.

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur non nul et A un point de l’espace.L’unique plan P passant par A  et de vecteur normal est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

.

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal a une équation de la forme .Réciproquement, si a,b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x,y,z)   tels que

est un plan de vecteur normal .

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