cours terminale

Produit scalaire dans l’espace : cours de maths en terminale S

I.le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient  \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que \vec{u}=\vec{AB} et \vec{v}=\vec{AC}.Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} , le produit scalaire \vec{AB}.\vec{AC} calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls, \vec{u}.\vec{v}=AB\times   AC\times   cos(\widehat{BAC});

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : \vec{u}.\vec{0}=0 et \vec{0}.\vec{v}=0.

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit \vec{u}=\vec{BF} et \vec{v}=\vec{AH}=\vec{BG}.

\vec{u}.\vec{v}=\vec{BF}.\vec{AH}=\vec{BF}.\vec{BG}=BF\times   BG\times   cos(\widehat{FBG})

donc \vec{u}.\vec{v}=a\times   a\sqrt{2}\times   cos(\frac{\pi}{4})=a\times   a\sqrt{2}\times   \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2

produit scalaire

Propriété:

Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs non nuls tels que \vec{u}=\vec{AB} et \vec{v}=\vec{AC}, alors :\vec{u}.\vec{v}=\vec{AB}. \vec{AC}=\vec{AB}. \vec{AH}=\vec{AK}. \vec{AC}

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si \vec{u} ,\vec{v} et \vec{w} sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

  • \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}
  • \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}
  • (k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v)}

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales.Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs  \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) de l’espace, on considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} de coordonnées respectives (x,y,z) et (x’,y’,z’),Nous avons \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'.

En particuliers, \vec{u}.\vec{u}=x^2 +y^2 +z^2 et  \|\vec{u}  \|=\sqrt{\vec{u}.\vec{u}}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}.

II.Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur \vec{n} non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan.Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes  (d_1) et (d_2) de ce plan. vecteur normal plan

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur \vec{n} non nul et A un point de l’espace.L’unique plan P passant par A  et de vecteur normal \vec{n} est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

\vec{AM}.\vec{n}=0.

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal \vec{n}(a,b,c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0.Réciproquement, si a,b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x,y,z)   tels que

ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal \vec{n}(a,b,c).


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire dans l'espace : cours de maths en terminale S» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés Application Maths PDF sur Google Play Store. Application Maths PDF sur Apple Store.

.

D'autres cours de maths en terminale en PDF :

  1. Raisonnement par récurrence et suites numériques
  2. Les nombres complexes
  3. Les limites et la continuité de fonctions
  4. Dérivée de fonctions
  5. Les fonctions cosinus et sinus
  6. Fonction exponentielle
  7. Le logarithme népérien
  8. Les intégrales
  9. Produit scalaire dans l’espace



Les fiches d'exercices les plus consultées

Des cours et exercices corrigés en terminale en vidéos

D'autres fiches similaires

Corrigé des exercices sur YouTube

Inscription gratuite à Maths PDF.  Maths PDF c'est 3 363 122 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 430 exercices.

Maths PDF

GRATUIT
VOIR