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Mise à jour le 26 décembre 2019 | cours terminale  

Produit scalaire dans l’espace : cours de maths en terminale S

I.le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient  \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}.Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} , le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC});

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : \overrightarrow{u}.\overrightarrow{0}=0 et \overrightarrow{0}.\overrightarrow{v}=0.

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit \overrightarrow{u}=\overrightarrow{BF} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BG}=BF\times BG\times cos(\widehat{FBG})

donc \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=a\times a\sqrt{2}\times cos(\frac{\pi}{4})=a\times a\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2

produit scalaire

Propriété:

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs non nuls tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, alors :\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AK}. \overrightarrow{AC}

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si \overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

  • \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}
  • \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}
  • (k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.(k\overrightarrow{v})=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v)}

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales.Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs  \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) de l’espace, on considère les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x,y,z) et (x’,y’,z’),Nous avons \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'.

En particuliers, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=x^2 +y^2 +z^2 et \left \|\overrightarrow{u} \right \|=\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}.

II.Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur \overrightarrow{n} non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan.Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes  (d_1) et (d_2) de ce plan.vecteur normal plan

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur \overrightarrow{n} non nul et A un point de l’espace.L’unique plan P passant par A  et de vecteur normal \overrightarrow{n} est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0.

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a,b,c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0.Réciproquement, si a,b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x,y,z)   tels que

ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal \overrightarrow{n}(a,b,c).

 


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