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Produit scalaire dans l’espace : cours de maths en terminale S

cours terminale

I. Le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient  \vec{u} et \vec{v}  deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que \vec{u}=\vec{AB} et \vec{v}=\vec{AC}.Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} , le produit scalaire \vec{AB}.\vec{AC} calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls,

\vec{u}.\vec{v}=AB\times  \,AC\times  \,cos(\widehat{BAC});

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : \vec{u}.\vec{0}=0 et \vec{0}.\vec{v}=0.

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit \vec{u}=\vec{BF} et \vec{v}=\vec{AH}=\vec{BG}.

\vec{u}.\vec{v}=\vec{BF}.\vec{AH}=\vec{BF}.\vec{BG}=BF\times  \,BG\times  \,cos(\widehat{FBG})

donc \vec{u}.\vec{v}=a\times  \,a\sqrt{2}\times  \,cos(\frac{\pi}{4})=a\times  \,a\sqrt{2}\times  \,\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2

produit scalaire

Propriété:

Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs non nuls tels que \vec{u}=\vec{AB} et \vec{v}=\vec{AC}, alors :

\vec{u}.\vec{v}=\vec{AB}.\,\vec{AC}=\vec{AB}.\,\vec{AH}=\vec{AK}.\,\vec{AC}

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si \vec{u} ,\vec{v} et \vec{w} sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

  • \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}
  • \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}
  • (k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v)}

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :
Deux vecteurs  \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O, i, j, k) de l’espace, on considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} de coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’),Nous avons \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'.

En particuliers, \vec{u}.\vec{u}=x^2\,+y^2\,+z^2 et \,\|\vec{u}\,\,\|=\sqrt{\vec{u}.\vec{u}}=\sqrt{x^2\,+y^2\,+z^2}.

II. Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur \vec{n} non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan. Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes  (d_1) et (d_2) de ce plan.

vecteur normal plan

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur \vec{n} non nul et A un point de l’espace. L’unique plan P passant par A  et de vecteur normal \vec{n} est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

\vec{AM}.\vec{n}=0.

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal \vec{n}(a,b,c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0.Réciproquement, si a, b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x, y, z)   tels que

ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal \vec{n}(a,b,c).

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