Intégrale : cours de maths en terminale à télécharger en PDF.

Sommaire

Les intégrales à travers un cours de maths en terminale complet à télécharger en PDF. Vous devrez avoir assimilé le chapitre sur la dérivée afin de pouvoir déterminer une primitive d’une fonction. L’élève devra avoir compris la signification concrète d’une intégrale avec l’aire d’une surface en terminale.

I.Intégrale d’une fonction

Définition :

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe C_f dans un repère orthonormé du plan.L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.

Cette aire se note $\int_{a}^{b}f(x)dx$ et se lit intégrale de a à b de la fonction f.

Les nombres a et b s’appellent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l’intégrale.

Théorème :

On considère f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b].La fonction $F:x\,\mapsto \,\int_{a}^{x}f(t)dt$ est définie et dérivable sur [a,b] et on a F'=f .

II. Primitive d’une fonction continue

Définition :

On considère f une fonction continue sur un intervalle I.Une primitive de f est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F'=f .

Théorème :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème : lien entre primitives.

On considère f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.La fonction f admet une une infinité de primitives sur I qui sont de la forme $x\,\mapsto \,F(x)\,+k(k\in\mathbb{R})$ .

Théorème : condition d’unicité de la primitive.

Soient $x_0\in,I$ et y_0 deux nombres réels donnés.Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et continue sur un intervalle I, il en existe une seule qui vérifie .

Propriété : calcul d’une intégrale.

On considère une fonction f continue sur un intervalle [a;b] et F une primitive de f sur [a;b].Nous avons $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

Exemple :

Calculer la valeur de l’intégrale suivante :

$\int_{0}^{3}x^2dx=[\frac{x^3}{3}]=(\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3})=9$ .

Propriété : primitives des fonctions usuelles.

Propriété : linéarité de l’intégrale.

On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] et k un nombre réel. $\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt=\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt+\int_{a}^{b}\,g\,(t)dt$

$\int_{a}^{b}(kf\,)(t)dt=k\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt$

Propriété : intégrale d’une fonction négative.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle [a,b].L’aire du domaine situé entre C_f et les droites d’équation x=a et x=b et l’axe des abscisses vaut $-\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Propriété : relation de Chasles de l’intégrale.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle I et a,b,c trois nombres réels appartenant à I. $\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt=\int_{a}^{c}\,f\,(t)dt+\int_{c}^{b}\,g\,(t)dt$

Propriété : intégrale et inégalité.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b].Si f est positive sur [a,b] alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\,\,0$ .

Si pour tout $x\in[a,b]$ , $f(x)\leq\,\,g(x)$ alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\,\leq\,\,\int_{a}^{b}g(x)dx$ .

Définition : valeur moyenne d’une fonction.

On considère f une fonction continue sur un intervalle [a,b].

La valeur moyenne de f sur [a,b] est le nombre $\mu$ défini par :

$\mu\,=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$ .

III.Carte mentale sur les intégrales

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