Intégrale : cours de maths en terminale à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesTerminale • lycée

Intégrale

⏱️Temps de lecture : 8 min

🎯Difficulté : Expert

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 1ère maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les intégrales à travers un cours de maths en terminale complet à télécharger en PDF. Vous devrez avoir assimilé le chapitre sur la dérivée afin de pouvoir déterminer une primitive d’une fonction. L’élève devra avoir compris la signification concrète d’une intégrale avec l’aire d’une surface en terminale.

I.Intégrale d’une fonction

Définition :

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe C_f dans un repère orthonormé du plan.L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.

Cette aire se note $\int_{a}^{b}f(x)dx$ et se lit intégrale de a à b de la fonction f.

Les nombres a et b s’appellent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l’intégrale.

Théorème :

On considère f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b].La fonction $F:x\,\mapsto \,\int_{a}^{x}f(t)dt$ est définie et dérivable sur [a,b] et on a F'=f .

II. Primitive d’une fonction continue

Définition :

On considère f une fonction continue sur un intervalle I.Une primitive de f est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F'=f .

Théorème :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème : lien entre primitives.

On considère f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.La fonction f admet une une infinité de primitives sur I qui sont de la forme $x\,\mapsto \,F(x)\,+k(k\in\mathbb{R})$ .

Théorème : condition d’unicité de la primitive.

Soient $x_0\in,I$ et y_0 deux nombres réels donnés.Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et continue sur un intervalle I, il en existe une seule qui vérifie .

Propriété : calcul d’une intégrale.

On considère une fonction f continue sur un intervalle [a;b] et F une primitive de f sur [a;b].Nous avons $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

Exemple :

Calculer la valeur de l’intégrale suivante :

$\int_{0}^{3}x^2dx=[\frac{x^3}{3}]=(\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3})=9$ .

Propriété : primitives des fonctions usuelles.

Propriété : linéarité de l’intégrale.

On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] et k un nombre réel. $\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt=\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt+\int_{a}^{b}\,g\,(t)dt$

$\int_{a}^{b}(kf\,)(t)dt=k\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt$

Propriété : intégrale d’une fonction négative.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle [a,b].L’aire du domaine situé entre C_f et les droites d’équation x=a et x=b et l’axe des abscisses vaut $-\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Propriété : relation de Chasles de l’intégrale.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle I et a,b,c trois nombres réels appartenant à I. $\int_{a}^{b}\,f\,(t)dt=\int_{a}^{c}\,f\,(t)dt+\int_{c}^{b}\,g\,(t)dt$

Propriété : intégrale et inégalité.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b].Si f est positive sur [a,b] alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\,\,0$ .

Si pour tout $x\in[a,b]$ , $f(x)\leq\,\,g(x)$ alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\,\leq\,\,\int_{a}^{b}g(x)dx$ .

Définition : valeur moyenne d’une fonction.

On considère f une fonction continue sur un intervalle [a,b].

La valeur moyenne de f sur [a,b] est le nombre $\mu$ défini par :

$\mu\,=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$ .

III.Carte mentale sur les intégrales

Autre version de cette leçon

I. Définitions et propriété de l’intégrale et des primitives.

Vocabulaire :

Une fonction f est intégrable sur un intervalle I lorsqu’elle admet des primitives sur cet intervalle I.
En particulier, les fonctions dérivables sur un intervalle I, sont intégrables sur I, mais cette condition, bien que suffisante n’est pas nécessaire. La fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par

, bien que non dérivable en 0 est intégrable sur $\mathbb{R}$ , car elle a pour primitive sur $\mathbb{R}$ la fonction F telle que: $F(x)\,=\,x\,|\,x\,|$ .
Cependant, sauf cas particulier contenant des indications, dans les problèmes de bac, les fonctions intégrables sur un intervalle I seront toujours des fonction dérivables sur I.

Propriété :

Si F et G sont deux primitives d’une fonction intégrable sur un intervalle I,
alors quels que soient a $\in$ I et b $\in$ I, on a:
F(b) – F(a) = G(b) – G(a)En effet, si F ‘(x) = G ‘(x), alors, il existe c $\in$ $\mathbb{R}$ tel que G(x) = F(x) + c.
Donc: G(b) – G(a) = F(b) + c – [F(a) + c] = F(b) – F(a).

Remarque:

La différence des images de b et de a, pour n’importe quelle primitive de f est la même.

Ce nombre ne dépend donc que de f, de a et b.

Ceci va nous permettre de donner la définition suivante:

Définition :

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I,
Soient a $\in$ I et b $\in$ I deux réels de cet intervalle I,
L’intégrale de a à b de la fonction f est le nombre F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur I.

Notation:

$F(b)\,-\,F(a)\,=\,\int_{a}^{b}f(t)dt$ qui se lit « somme de a à b de f de t dt » et qui se dit aussi « intégrale de f entre a et b« .

Dans l’écriture $\int_{a}^{b}f(t)dt$ , la lettre t est appelée: « variable muette ».
En effet, on peut aussi écrire $\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du=\int_{a}^{b}f(x)dx$ , car la lettre « variable muette » indique le nom de la « variable d’intégration » (toute autre lettre dans l’expression de la fonction f à intégrer est alors considérée comme constante. L’intérêt de ceci apparaît lorsqu’il y a plusieurs variables, mais ceci n’est pas au programme de Terminale, cependant, cela sera utile en présence de paramètres.)

$\int_{a}^{b}f(t)dt$ s’écrit aussi sous la forme condensée utilisant F :

Exemple :

La fonction $f:x\,\mapsto \,x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Elle est donc intégrable sur $\mathbb{R}$ et admet des primitives sur $\mathbb{R}$ .

Par exemple $F:x\,\mapsto \,\frac{x^3}{3}$ est une primitive de f sur $\mathbb{R}$ .

On a donc:

II.Conséquences de la définition: premières propriétés.

Propriétés :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b]. $\int_{a}^{a}f(t)dt=0$

$\int_{a}^{b}\,f(t)dt=-\int_{b}^{a}f(t)dt$

Propriété :

Si f est dérivable sur I, si a $\in$ I et b $\in$ I, on a: $f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(t)dt$
On déduit de cette propriété une importante synthèse qui relie une fonction dérivable, sa fonction dérivée et la notion d’intégrale.

Théorème :

Si f est une fonction dérivable sur I et si a $\in$ I.
Alors, pour tout x $\in$ I, on a $f(x)\,=\,f(a)\,+\int_{a}^{x}f'(t)dt$ .

III.Fonction primitive d’une fonction intégrable.

Théorème :

Si f est une fonction intégrable sur un intervalle I et si a $\in$ I, alors
la fonction

définie sur I par $F_a(x)\,=\,\int_{a}^{x}f\,(t)dt$ est la primitive de f qui s’annule en x = a.

Démonstration :
Si G est une primitive quelconque de f sur I, alors $F_a(x)\,=\,\int_{a}^{x}f\,(t)dt=G(x)-G(a)$ , donc
F_a‘(x) = G ‘(x) = f(x) .

En effet, G(a) est une constante, sa dérivée est donc nulle et G ‘(x) = f(x) car G est une primitive de f. Conclusion: est aussi une primitive de f .
De plus: F_a(a) = G(a) – G(a )= 0, donc F_a s’annule pour x=a .

Exercice :

Calculer les intégrales suivantes, puis indiquer les primitives qu’elles définissent.
$F(x)=\int_{0}^{x}(2t)dt$ $G(x)=\int_{1}^{x}(3t^2)dt$ $H(x)=\int_{-1}^{x}(\,3t^2+\,2t+1)dt$

IV. Intégrale d’une fonction positive.

Propriété:

On suppose ici que f est intégrable et positive sur [a;b], c’est à dire que pour tout x $\in$ [a;b], on a: f(x) $\geq\,$ 0.
Appelons F une primitive de f sur [a;b].On a alors F ‘(x) = f(x) pour tout x $\in$ [a;b].La dérivée f de F étant positive sur [a;b], la fonction F est croissante sur [a;b].Comme a < b, on a donc: F(a) $\leq\,$ F(b).
Donc: $\int_{a}^{b}\,f(t)dt=F(b)-F(a)\geq\,\,0$ .

Propriété:

Si a < b et si pour tout x $\in$ [a;b] on a f(x) $\geq\,$ 0 alors $\int_{a}^{b}\,f(t)dt\,\geq\,\,0$ .

V. Les intégrales et les aires

1.Tableau récapitulatif

Propriété:

Dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on représente graphiquement une fonction f dérivable et positive sur un intervalle [a;b].On appelle D l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient :
a $\leq\,$ x $\leq\,$ b et 0 $\leq\,$ y $\leq\,$ f(x)Alors Aire de D = $\int_{a}^{b}f(t)dt$ unités d’aireL’unité d’aire étant celle du rectangle dont les côtés sont les unités de longueur des abscisses et des ordonnées.
L’ensemble D est constitué des points situés entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.

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