Intégrale : cours de maths en terminale à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
Les intégrales à travers un cours de maths en terminale complet à télécharger en PDF. Vous devrez avoir assimilé le chapitre sur la dérivée afin de pouvoir déterminer une primitive d’une fonction. L’élève devra avoir compris la signification concrète d’une intégrale avec l’aire d’une surface en terminale.
I.Intégrale d’une fonction
On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe dans un repère orthonormé du plan.L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cette aire se note et se lit intégrale de a à b de la fonction f.
Les nombres a et b s’appellent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l’intégrale.
On considère f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b].La fonction est définie et dérivable sur [a,b] et on a
.
II. Primitive d’une fonction continue
On considère f une fonction continue sur un intervalle I.Une primitive de f est une fonction F définie et dérivable sur I telle que .
On considère f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.La fonction f admet une une infinité de primitives sur I qui sont de la forme .
Soient et
deux nombres réels donnés.Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et continue sur un intervalle I, il en existe une seule qui vérifie
.
On considère une fonction f continue sur un intervalle [a;b] et F une primitive de f sur [a;b].Nous avons .
Exemple :
Calculer la valeur de l’intégrale suivante :
.
On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] et k un nombre réel.
On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle [a,b].L’aire du domaine situé entre et les droites d’équation x=a et x=b et l’axe des abscisses vaut
.
On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle I et a,b,c trois nombres réels appartenant à I.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b].Si f est positive sur [a,b] alors .
Si pour tout ,
alors
.
On considère f une fonction continue sur un intervalle [a,b].
La valeur moyenne de f sur [a,b] est le nombre défini par :
.
III.Carte mentale sur les intégrales
Autre version de cette leçon
I. Définitions et propriété de l’intégrale et des primitives.
En particulier, les fonctions dérivables sur un intervalle I, sont intégrables sur I, mais cette condition, bien que suffisante n’est pas nécessaire. La fonction f définie sur
Cependant, sauf cas particulier contenant des indications, dans les problèmes de bac, les fonctions intégrables sur un intervalle I seront toujours des fonction dérivables sur I.
alors quels que soient a
F(b) – F(a) = G(b) – G(a)En effet, si F ‘(x) = G ‘(x), alors, il existe c
Donc: G(b) – G(a) = F(b) + c – [F(a) + c] = F(b) – F(a).
Remarque:
La différence des images de b et de a, pour n’importe quelle primitive de f est la même.
Ce nombre ne dépend donc que de f, de a et b.
Ceci va nous permettre de donner la définition suivante:
Soient a
L’intégrale de a à b de la fonction f est le nombre F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur I.
Notation:
qui se lit « somme de a à b de f de t dt » et qui se dit aussi « intégrale de f entre a et b« .
Dans l’écriture , la lettre t est appelée: « variable muette ».
En effet, on peut aussi écrire , car la lettre « variable muette » indique le nom de la « variable d’intégration » (toute autre lettre dans l’expression de la fonction f à intégrer est alors considérée comme constante. L’intérêt de ceci apparaît lorsqu’il y a plusieurs variables, mais ceci n’est pas au programme de Terminale, cependant, cela sera utile en présence de paramètres.)
s’écrit aussi sous la forme condensée utilisant F :
Exemple :
La fonction est dérivable sur
.
Elle est donc intégrable sur et admet des primitives sur
.
Par exemple est une primitive de f sur
.
II.Conséquences de la définition: premières propriétés.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b].
On déduit de cette propriété une importante synthèse qui relie une fonction dérivable, sa fonction dérivée et la notion d’intégrale.
Alors, pour tout x
III.Fonction primitive d’une fonction intégrable.
la fonction
Démonstration :
Si G est une primitive quelconque de f sur I, alors , donc
Fa‘(x) = G ‘(x) = f(x) .
En effet, G(a) est une constante, sa dérivée est donc nulle et G ‘(x) = f(x) car G est une primitive de f. Conclusion: est aussi une primitive de f .
De plus: Fa (a) = G(a) – G(a )= 0, donc Fa s’annule pour x=a .
Exercice :
Calculer les intégrales suivantes, puis indiquer les primitives qu’elles définissent.
IV. Intégrale d’une fonction positive.
Appelons F une primitive de f sur [a;b].On a alors F ‘(x) = f(x) pour tout x
Donc:
V. Les intégrales et les aires
1.Tableau récapitulatif
a
L’ensemble D est constitué des points situés entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
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