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Sommaire

I.Intégrale d’une fonction

Définition :

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe $C_f$ dans un repère orthonormé du plan.L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b

Cette aire se note $\int_{a}^{b}f(x)dx$ et se lit intégrale de a à b de la fonction f

Les nombres a et b s’appellent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l’intégrale.

Théorème :

On considère f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b].La fonction $F:x \mapsto \int_{a}^{x}f(t)dt$ est définie et dérivable sur [a,b] et on a $F'=f$ .

II.Primitive d’une fonction continue

Définition :

On considère f une fonction continue sur un intervalle I.Une primitive de f est une fonction F définie et dérivable sur I telle que $F'=f$ .

Théorème :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème : lien entre primitives.

On considère f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.La fonction f admet une une infinité de primitives sur I qui sont de la forme $x \mapsto F(x) +k(k\in\mathbb{R})$ .

Théorème : condition d’unicité de la primitive.

Soient $x_0\in I$ et $y_0$ deux nombres réels donnés.Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et continue sur un intervalle I, il en existe une seule qui vérifie $F(x_0)=y_0$ .

Propriété : calcul d’une intégrale.

On considère une fonction f continue sur un intervalle [a;b] et F une primitive de f sur [a;b].Nous avons $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

Exemple :

Calculer la valeur de l’intégrale suivante :

$\int_{0}^{3}x^2dx=[\frac{x^3}{3}]=(\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3})=9$ .

Propriété : primitives des fonctions usuelles.

Propriété : linéarité de l’intégrale.

On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] et k un nombre réel. $\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt=\int_{a}^{b} f (t)dt+\int_{a}^{b} g (t)dt$

$\int_{a}^{b}(kf )(t)dt=k\int_{a}^{b} f (t)dt$

Propriété : intégrale d’une fonction négative.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle [a,b].L’aire du domaine situé entre $C_f$ et les droites d’équation x=a et x=b et l’axe des abscisses vaut $-\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Propriété : relation de Chasles de l’intégrale.

On considère f une fonction continue et négative sur un intervalle I et a,b,c trois nombres réels appartenant à I. $\int_{a}^{b} f (t)dt=\int_{a}^{c} f (t)dt+\int_{c}^{b} g (t)dt$

Propriété : intégrale et inégalité.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a,b].Si f est positive sur [a,b] alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\, 0$ .

Si pour tout $x\in[a,b]$ , $f(x)\leq\, g(x)$ alors $\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\, \int_{a}^{b}g(x)dx$ .

Définition : valeur moyenne d’une fonction.

On considère f une fonction continue sur un intervalle [a,b].La valeur moyenne de f sur [a,b] est le nombre $\mu$ défini par :

$\mu =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$ .

III.Carte mentale sur les intégrales

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I.Intégrale d’une fonction

II.Primitive d’une fonction continue

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