Droites et plans de l’espace : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

\(ABCDEFGH\) est un cube. \(I\), \(J\), \(K\) sont les milieux des arêtes respectives \([AB]\), \([EF]\), \([FG]\).

Préciser en justifiant, la position relative des droites \((EF)\) et \((HK)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube ; \(I\) est le milieu de \([EH]\) ; \(J\) est le milieu de \([BC]\) et \(K\) le point du segment \([GH]\) tel que : \(HK = \dfrac{2}{3}HG\).

Déterminer et construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) et \(K\) les points tels que : \(I \in [AD]\) et \(AI = \dfrac{1}{3}AD\) ; \(J \in [FG]\) et \(FJ = \dfrac{2}{3}FG\) ; \(K \in [AB]\) et \(AK = \dfrac{1}{3}AB\).

Déterminer et construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

On considère une pyramide à base carrée \(SABCD\) comme ci-dessous.

1. Reproduire la figure et placer les points \(I\) et \(J\) milieux respectifs des segments \([SD]\) et \([AB]\)
2. Construire en justifiant la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\).

On considère un tétraèdre régulier \(ABCD\) comme ci-dessous avec \(I\), \(J\) et \(K\) les milieux respectifs des segments \([BC]\), \([AB]\) et \([AD]\).

1. Reproduire la figure.
2. Construire en justifiant la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\).
3. Quelle est la nature de cette section ? Justifier.

Pour les exercices ……, \(ABCDEFGH\) est un cube.

1. Citer six droites orthogonales à la droite \((EA)\) ;
2. Citer six droites orthogonales à la droite \((EB)\) ;
3. Citer deux droites orthogonales au plan \((BCG)\) ;
4. Citer deux droites orthogonales au plan \((AFG)\).

1. Démontrer que la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((BCG)\).
2. En déduire que les droites \((AB)\) et \((CF)\) sont orthogonales.

1. Reproduire la figure de l’exercice précédent.
2. Tracer l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(EABF\).
3. Tracer l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(DCGH\).
4. Terminer la construction de la section du pavé \(ABCDEFGH\) par le plan \((BIJ)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) et \(J\) les points tels que \(I\in[HD]\) et \(HI=\dfrac{2}{3}HD\) ; \(J\in[FG]\) et \(FJ=\dfrac{3}{4}FG\).
Construire la section du cube par le plan \((EIJ)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) et \(K\) les points tels que \(I\in[EF]\) et \(EI=\dfrac{1}{3}EF\) ; \(J\in[BC]\) et \(BJ=\dfrac{1}{2}BC\) ; \(K\in[HG]\) et \(HK=\dfrac{3}{4}HG\).
Construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) et \(K\) les milieux respectifs des segments \([BC]\), \([CD]\) et \([EH]\).
Construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) et \(K\) les points tels que \(I\in[AE]\) et \(AI=\dfrac{1}{4}AE\) ; \(J\in[DH]\) et \(DJ=\dfrac{3}{4}DH\) ; \(K\in[FG]\) et \(FK=\dfrac{1}{3}FG\).
Construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l^{\prime}espace, on considère les points \(A(-3\,;2\,;4)\) ; \(B(-1\,;1\,;0)\) et \(C(2\,;-3\,;5)\).

1. Donner les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Donner les coordonnées des vecteurs :
   \(\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{BC}\).

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(2\,;5\,;-1)\) ; \(B(0\,;3\,;4)\) et le vecteur \(\vec{u}(2\,;-1\,;4)\).

1. Déterminer les coordonnées du point \(C\) défini par \(\overrightarrow{AC}=\vec{u}\)
2. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) puis celles du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
3. Déterminer les coordonnées du centre \(K\) de ce parallélogramme.

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(2\,;5\,;-1)\) ; \(B(2\,;-3\,;4)\) et le vecteur \(\vec{u}(2\,;-1\,;4)\).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
2. Le point \(B\) appartient-il à \(\Delta\) ?

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique :

\[\begin{cases}x=-3+4t\\y=2\\z=-t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}\]

Donner un vecteur directeur de \(\Delta\) et un point de \(\Delta\).

\(ABCD\) est un tétraèdre, \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs de \([BC]\), \([CD]\) et \([AC]\).

Déterminer en justifiant les positions relatives des éléments ci-dessous.

On donnera leur intersection éventuelle.

1. \((IK)\) et \((AD)\).
2. \((IK)\) et \((AB)\).
3. \((IJ)\) et \((AID)\).
4. \((ABJ)\) et \((ACD)\).
5. \((DIK)\) et \((ABD)\).
6. \((IJ)\) et \((KBD)\).

\(ABCDE\) est une pyramide de sommet \(A\) à base rectangulaire et \(I\) est un point du segment \([AE]\).

1. Justifier que la droite \((BC)\) est parallèle au plan \((EAD)\).
2. En déduire l’intersection des plans \((IBC)\) et \((EAD)\).

\(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont quatre points non coplanaires et \(\Delta\) est la droite parallèle à \((BC)\) passant par \(D\). \(I\) est le milieu de \([AC]\).

Quelle est l^{\prime}intersection de \(\Delta\) avec :

1. Le plan \((IBD)\) ?
2. Le plan \((ABC)\) ?

\(ABCDS\) est une pyramide dont la base \(ABCD\) est un trapèze.

Reproduire la figure et construire les intersections des plans :

1. \((SAB)\) et \((SDC)\) ;
2. \((SAD)\) et \((SBC)\).

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit, \(I\) le point du segment \([AE]\) tel que \(AI=\dfrac{3}{4}AE\) et \(J\) le point du segment \([CG]\) tel que \(CJ=\dfrac{1}{4}CG\).
Les droites suivantes sont-elles coplanaires ?

1. \((AB)\) et \((IF)\) ;
2. \((DJ)\) et \((IF)\) ;
3. \((BC)\) et \((AE)\) ;
4. \((EH)\) et \((IJ)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) est le milieu de \([AB]\).

Quelle est la nature de la section du cube par :

1. le plan \((IFG)\) ?
2. le plan \((IFC)\) ?

🧊 On considère un cube \(ABCDEFGH\) d’arête 1. On note \(I\), \(J\) et \(K\) les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([BC]\) et \([CG]\).

1. Démontrer, sans utiliser de coordonnées, que les droites \((IJ)\) et \((EG)\) sont parallèles.
2. On munit l’espace du repère \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\). Donner les coordonnées des points \(I\), \(J\), \(H\) et \(K\).
3. Les droites \((IJ)\) et \((HK)\) sont-elles parallèles ? sécantes ? coplanaires ? Justifier.

🧊 \(ABCDEFGH\) est un cube d’arête 1. L’espace est muni du repère orthonormé \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\). On s’intéresse à la diagonale \([AG]\) et au triangle \(BDE\).

1. Donner les coordonnées des points \(B\), \(D\), \(E\) et \(G\), puis celles des vecteurs \(\overrightarrow{AG}\), \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BE}\).
2. Démontrer que la droite \((AG)\) est orthogonale au plan \((BDE)\).
3. En déduire une équation cartésienne du plan \((BDE)\).
4. Déterminer les coordonnées du point \(L\), intersection de \((AG)\) et du plan \((BDE)\). Calculer le rapport \(\dfrac{AL}{AG}\).