Limites de suites : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

\(v\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\) par :

\[v_n=\dfrac{3}{n}\left(1\times 0+2\times 1+3\times 2+\ldots+n\times(n-1)\right).\]

1. À l^{\prime}aide du tableur, comparer \(v_n\) et \(n^2\) pour les premières valeurs de \(n\).
2. Conjecturer une expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).
3. En admettant la conjecture précédente, déterminer la limite de la suite \(v\).

Donner la limite de chaque suite.

1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=-7n\).
2. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=\mathrm{e}^{-n}\).
3. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=\sqrt{n}\).
4. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(n\geqslant 1\), \(u_n=\dfrac{4}{n^2}\).

Dans chaque cas, dire si la suite définie sur \(\mathbb{R}\) a pour limite \(+\infty\).

1. \(u_n=2+4n\)
2. \(v_n=-n+3\)
3. \(w_n=\dfrac{1}{n^2+1}\)
4. \(t_n=5n^3\)

Les dix premiers termes de chaque suite \(u\), \(v\), \(w\) et \(t\) sont tabulés dans la feuille de calcul ci-dessous.

Conjecturer la limite de chacune de ces suites.

\(u\) et \(v\) sont les suites définies pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\) par :

\[u_n=-3+\dfrac{1}{n^2}\quad\text{et}\quad v_n=2n^3+1.\]

1. Tabuler les premiers termes de chaque suite \(u\) et \(v\) avec la calculatrice.
2. Conjecturer la limite de chacune des suites.
3. À partir de quel rang a-t-on :
   • \(u_n\in\,]-3{,}01\,;\,-2{,}99[\) ?
   • \(v_n\in\,]10^4\,;\,+\infty[\) ?

\(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n=\sqrt{3n+4}\).

Voici un algorithme :

Variables : A, \(u\) sont des nombres réels
\(n\) est un nombre entier naturel

Entrée : Saisir A

Traitement : Affecter à \(n\) la valeur 0
Affecter à \(u\) la valeur 2
Tant que \(u\leqslant\) A
   \(n\) prend la valeur \(n+1\)
   Affecter à \(u\) la valeur \(\sqrt{3n+4}\)
Fin Tant que

Sortie : Afficher \(n\)

1. Expliquer son rôle.
2. Coder l’algorithme dans un langage de programmation et tester le programme obtenu.
3. Exécuter le programme avec les valeurs successives saisies en entrée : A = 50, A = 100 et A = 500. Conjecturer la limite de la suite \(u\).
4. Démontrer cette conjecture.

\(u\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), par : \(u_n=5-\dfrac{2}{\sqrt{n}}\).

Démontrer avec la définition que la suite \(u\) converge.

\(w\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[w_n=n^2-2n-3.\]

1. À l^{\prime}aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite \(w\).
2. 1. Vérifier que, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(w_n=(n-1)^2-4\).
   2. Démontrer que la suite \(w\) a pour limite \(+\infty\).

1. \(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :\[u_n=n^3+n-6.\]
   1. Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 6\), \(u_n\geqslant n^3\).
   2. En déduire la limite de la suite \(u\).
2. \(v\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), par :\[v_n=\dfrac{(-1)^n\sin n}{n^2}.\]Étudier la convergence de la suite \(v\).

\(v\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=(n^2-n)\sqrt{n}\).

1. Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 2\), \(v_n\geqslant\sqrt{n}\).
2. En déduire la limite de la suite \(v\).

\(w\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[w_n=n^2+\cos n.\]

1. Conjecturer la limite de la suite \(w\).
2. Démontrer cette conjecture avec un théorème de comparaison.

\(t\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[t_n=\dfrac{n^2+2n+3}{n+1}.\]

1. Démontrer que, pour tout \(n\), \(t_n=n+1+\dfrac{2}{n+1}\).
2. En déduire la limite de la suite \(t\).

\(u\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), par :

\[u_n=\dfrac{\cos n+\sin n}{n}.\]

Étudier la convergence de la suite \(u\).

\(w\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[w_n=\dfrac{3n+1}{n+2}.\]

1. Vérifier que, pour tout \(n\), \(w_n=3-\dfrac{5}{n+2}\).
2. Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 1\),\[3-\dfrac{5}{n}\leqslant w_n\leqslant 3.\]
3. En déduire la limite de la suite \(w\).

Dans chaque cas, étudier la limite de la suite définie sur \(\mathbb{N}\).

1. \(u_n=n^2+5n-100\)
2. \(v_n=-n^3+6n+3\)
3. \(w_n=\dfrac{n^2-3}{n^2+1}\)

Voici un écran de calcul formel obtenu avec le logiciel Xcas :

Justifier la limite obtenue.

Étudier la limite de la suite.

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac{n}{n^2+3}\)

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(v_n=\dfrac{n^2+n+1}{n+1}\)

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(n\geqslant 2\), \(w_n=\dfrac{5n}{1-n}\)

\(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=2n^2\).

Démontrer que la suite \(u\) a pour limite \(+\infty\).

\(v\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), par \(v_n=2+\dfrac{1}{n}\).

Démontrer que la suite \(v\) est convergente.

1. \(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=2n-3\).
   1. À partir de quel rang a-t-on \(u_n\gt 10^3\) ?
   2. Démontrer que la suite \(u\) a pour limite \(+\infty\).
2. \(v\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), par \(v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
   1. À partir de quel rang a-t-on \(-0{,}01\lt v_n\lt 0{,}01\) ?
   2. Démontrer que la suite \(v\) converge vers 0.

Introduire une suite auxiliaire

\(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=\dfrac{n^2}{\mathrm{e}^n}\).

On se propose d^{\prime}étudier la limite de la suite \(u\).

Pour cela, on introduit la suite \(v\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[v_n=nu_n.\]

1. Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 1\),\[\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3\times\dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
2. Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 3\), \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\leqslant 1\).
3. En déduire que, pour tout \(n\geqslant 3\), \(v_n\leqslant v_3\).
4. Déterminer alors la limite de la suite \(u\).

Étudier une suite d’aires

\(\mathscr{C}\) est un demi-cercle de diamètre \([AB]\) avec \(AB=10\ \text{cm}\).

On partage successivement le segment \([AB]\) en deux, trois, quatre, … segments de même longueur. À chaque étape, on construit sur les segments obtenus des demi-cercles et on s^{\prime}intéresse à l^{\prime}aire du domaine coloré en bleu.

On note \(a_n\) l^{\prime}aire du domaine coloré en bleu à la \(n\)-ième étape.

Étudier la limite de la suite \((a_n)\).

Dans chaque cas :

• comparer \(u_n\) et \(v_n\) ;
• en déduire la limite de la suite \(u\).

1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=n^2+n+1\) et \(v_n=n^2\).
2. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n=-n-1+\cos n\) et \(v_n=-n\).
3. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(n\geqslant 1\), \(u_n=n^3+\dfrac{1}{n}\) et \(v_n=n^3\).

\(v\) est une suite telle que, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), \(0\leqslant v_n\leqslant\dfrac{10}{n^2}\).

Donner la limite de la suite \(v\).

\(w\) est une suite telle que, pour tout nombre entier naturel \(n\geqslant 1\), \(w_n\leqslant\dfrac{4}{\sqrt{n}}\).

Paul affirme : « La suite \(w\) converge vers 0. »

Que peut-on en penser ?

\(u\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=n^2+\mathrm{e}^{3n^2+n}\).

1. Démontrer que, pour tout \(n\), \(u_n\geqslant n^2\).
2. Déduire de ce qui précède la limite de la suite \(u\).

Dans chaque cas, donner la limite de la suite \(w\).

1. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=5\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-3\), \(w=u-v\)
2. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\), \(w=uv\)
3. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=2\), \(w=\dfrac{u}{v}\)
4. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-8\), \(w=2u-v\)

\(u\) et \(v\) sont les suites définies sur \(\mathbb{N}\) par :

\[u_n=\dfrac{n+1}{n+2}\quad\text{et}\quad v_n=\dfrac{n+1}{n^2+2}.\]

Certaines de leurs valeurs sont tabulées sur l’écran de calculatrice ci-dessous.

1. Conjecturer la limite de chacune des suites \(u\) et \(v\).
2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul \(n\),\[u_n=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}\quad\text{et}\quad v_n=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n^2}}.\]
3. Démontrer les conjectures émises au a).

Algo Voici un algorithme :

Variables : \(p\), \(n\) sont des nombres entiers naturels
Entrée : Saisir \(p\) (\(p \geqslant 1\))
Traitement : Affecter à \(n\) la valeur 1
    Tant que \(\dfrac{1}{n^{3}} \gt 10^{-p}\)
        Affecter à \(n\) la valeur \(n+1\)
    Fin Tant que
Sortie : Afficher \(n\)

a) Expliquer son rôle.

b) Quelle est la valeur de la variable \(n\) affichée en sortie lorsqu^{\prime}on saisit en entrée : • \(p=2\) ? • \(p=4\) ? • \(p=6\) ?

c) Expliquer pourquoi l^{\prime}algorithme s^{\prime}arrête pour toute valeur de \(p\) (\(p \geqslant 1\)) saisie en entrée ?

\(v\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=n^{2}+2n\).

a) Démontrer que la suite \(v\) est croissante.

b) A est un nombre réel positif. À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(v_n \gt \text{A}\) ?

c) Déterminer la limite de la suite \(v\).

\(w\) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel non nul \(n\), par \(w_n=\sqrt{n^{2}-1}\).

a) Conjecturer la limite de la suite \(w\).

b) Voici un écran de calcul formel :

Valider la conjecture de la question a) à l’aide des résultats de cet écran.

\(u\) est la suite définie par \(u_0=0\) et, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+2n-1\).

1. a) Afficher une représentation graphique des premiers termes de la suite \(u\) avec la calculatrice.

b) Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

2. a) Démontrer cette conjecture.

b) En déduire la limite de la suite \(u\).

Définir une suite par un algorithme

Rédiger les différentes étapes de la recherche, sans omettre les fausses pistes et les changements de méthode.

Problème Voici un algorithme :

Variables : \(k\), \(n\) sont des nombres entiers naturels
                    \(u\) est un nombre réel
Entrée : Saisir \(n\) (\(n \geqslant 2\))
Traitement : Affecter à \(u\) la valeur 1
        Pour \(k\) allant de 2 à \(n\)
            Affecter à \(u\) la valeur \(\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right) \times u\)
        Fin Pour
Sortie : Afficher \(u\)

Déterminer la limite de la suite \(u\) définie par cet algorithme.