Nombres complexes : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

P est le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par :

\[P(z) = z^{3} + 2z^{2} - 6z + 8.\]

Vérifier que \(P(1 + i) = 0\) et \(P(1 - i) = 0\).

\(f\) est la fonction qui, à tout nombre complexe \(z \neq 1\), associe le nombre complexe :

\[f(z) = \dfrac{2iz - 1}{z - 1}.\]

Écrire sous forme algébrique :

1. \(f(3)\)
2. \(f\left(\dfrac{1}{2}i\right)\)
3. \(f\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)\)

\(z_{1} = \dfrac{1 - i}{3 + 5i}\) et \(z_{2} = \dfrac{1 + i}{3 - 5i}\).

Vérifier que \(z_{1} + z_{2}\) est un nombre réel et que \(z_{1} - z_{2}\) est un imaginaire pur.

Pour les exercices … résoudre dans \(\mathbb{C}\) chaque équation.

• a) \(2z^{2} + 3z - 5 = 0\) ; b) \(2z^{2} + 3z + 5 = 0\)
• a) \(z^{2} + 4 = 0\) ; b) \(z^{2} - 4z + 4 = 0\)
• a) \(\dfrac{1}{3}z^{2} + \dfrac{1}{6}z + 1 = 0\) ; b) \(9z^{2} + 25 = 0\)
• a) \(3z^{2} + 6z + 4 = 0\) ; b) \(5z^{2} + 2z = 0\)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l^{\prime}équation :

\[z^{2} - (1 + \sqrt{3})z + \sqrt{3} = 0.\]

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l^{\prime}équation :

\[z^{2} - 2(\cos\theta)z + 1 = 0\]

lorsque : a) \(\theta = \pi\) ; b) \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l^{\prime}équation :

\[(z^{2} + 3z + 1)(z^{2} - z + 6) = 0.\]

P est le polynôme définie sur \(\mathbb{C}\) par :

\[P(z) = z^{4} + 3z^{3} + 6z^{2} + 6z + 8.\]

a) Justifier la copie d^{\prime}écran ci-dessous obtenue avec le logiciel Xcas.

b) En déduire la résolution dans \(\mathbb{C}\) de l’équation \(P(z) = 0\).

Déterminer les nombres complexes \(z_{1}\) et \(z_{2}\) tels que :

\[\begin{cases} z_{1}z_{2} = 10 \\ z_{1} + z_{2} = -2 \end{cases}\]

Déterminer la forme algébrique de chaque nombre complexe.

• \(z_{1} = (2 + 3i)(-1 + i)\)
• \(z_{1} = (5 - i)(1 - 2i)(3 + 2i)\)
• \(z_{1} = (2 + i)^{2}(2 - i)^{2}\)
• \(z_{1} = \dfrac{3 + 4i}{1 + i}\)
• \(z_{2} = (1 - i)^{2}\)
• \(z_{2} = \dfrac{1}{i}\)
• \(z_{2} = \dfrac{1}{5 + 2i}\)
• \(z_{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3} + 4i}\)

1. donner la forme algébrique de :

1. \(i^{3}\)
2. \(i^{4}\)
3. \(i^{5}\)
4. \(i^{6}\)
5. \(i^{7}\)

2. Déterminer \(i^{n}\) lorsque :

1. \(n = 4k\) (avec \(k \in \mathbb{N}^{*}\)) ;
2. \(n = 4k + 1\) ;
3. \(n = 4k + 2\) ;
4. \(n = 4k + 3\).

\(z = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Écrire sous forme algébrique : a) \(z^{2}\) ; b) \(z^{3}\) ; c) \(\dfrac{1}{z}\).

Dans chaque cas, déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan complexe dont l'affixe \(z\) vérifie la relation donnée.

1. \(|z| = 5\)
2. \(\arg(z) = \dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)
3. \(|z| \leqslant 4\) et \(\arg(z) = -\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\), chaque équation :

1. \(\dfrac{z^2+2z+5}{2z^2+1}=1\) ;
2. \(\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{4}{z}+5=0\) ;
3. \(\dfrac{z-2}{z-1}=z\).

Dans le plan complexe, A, B, C et D sont les points d'affixes respectives :

\(z_{\text{A}}=-5+\text{i}\), \(z_{\text{B}}=1+2\text{i}\), \(z_{\text{C}}=2-\text{i}\) et \(z_{\text{D}}=-4-2\text{i}\).

1. Placer les points A, B, C et D.
2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3. Déterminer l'affixe du point M centre du parallélogramme ABCD.
4. Déterminer l'affixe du point N quatrième sommet du parallélogramme BCMN.

Dans le plan complexe, A, B, C, D sont les points d'affixes respectives \(3+\text{i}\), \(2-2\text{i}\), \(2\text{i}\) et \(1+5\text{i}\).

1. Réaliser une figure.
2. Démontrer de deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme.
3. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme.

Dans le plan complexe, M et A sont les points d'affixes \(z_{\text{M}}=3-\text{i}\) et \(z_{\text{A}}=-1+2\text{i}\).

1. Placer les points M et A.
2. Déterminer l'affixe du point M\(^{\prime}\) symétrique de M par rapport à A.

Dans le plan complexe, on note \(\mathscr{F}\) l^{\prime}ensemble des points M d^{\prime}affixe \(z\) tels que \(Z=z^2+\text{i}z\) soit réel.

1. Chacun des points suivants appartient-il à l’ensemble \(\mathscr{F}\) :
   • A d^{\prime}affixe \(3-\dfrac{1}{2}\text{i}\) ?
   • B d^{\prime}affixe \(-5+\text{i}\) ?
   • C d’affixe \(-\dfrac{3}{2}\text{i}\) ?
2. Déterminer l’ensemble \(\mathscr{F}\).

1. a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe \(z_1=-\sqrt{3}+\text{i}\).

b) Donner une forme trigonométrique de \(z_1\).

2. a) Écrire une forme trigonométrique du nombre complexe \(z_2\) de module 6 et d'argument \(\dfrac{3\pi}{4}\).

b) Déterminer la forme algébrique de \(z_2\).

1. Donner une forme trigonométrique du nombre complexe \(2\sqrt{3}-2\text{i}\).
2. Donner la forme algébrique du nombre complexe de module 4 et d'argument \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Dans chaque cas, déterminer par lecture graphique ci-dessous le module, puis un argument du nombre complexe.

En déduire une forme trigonométrique.

1. \(z_{\text{A}}=3\)
2. \(z_{\text{B}}=-2\)
3. \(z_{\text{C}}=2\text{i}\)
4. \(z_{\text{D}}=1+\text{i}\)
5. \(z_{\text{E}}=-1-\text{i}\)
6. \(z_{\text{F}}=-2+2\text{i}\)

On donne \(z=\sqrt{3}-\text{i}\) et \(z^{\prime}=-2+2\text{i}\).

1. a) Déterminer la forme algébrique de \(zz^{\prime}\).

b) Déterminer une forme trigonométrique de \(zz^{\prime}\).

c) En déduire les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).

2. a) Démontrer que \((zz^{\prime})^6\) est un nombre imaginaire pur.

b) Démontrer que \((zz^{\prime})^{36}\) est un nombre réel.

Dans le plan complexe, A, B et C sont les points d'affixes :

\(z_{\text{A}}=3+2\text{i}\), \(z_{\text{B}}=-5+2\text{i}\) et \(z_{\text{C}}=-3\text{i}\).

1. Placer les points A, B et C.
2. Déterminer les affixes des points A\(^{\prime}\) et B\(^{\prime}\) milieux respectifs des segments [BC] et [AC].
3. Déterminer l'affixe du point G défini par \(\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}\).
4. Démontrer que les points B\(^{\prime}\), G et B sont alignés.

Dans le plan complexe, A, B et C sont les points d'affixes :

\(z_{\text{A}}=-4+2\text{i}\), \(z_{\text{B}}=-1-\text{i}\) et \(z_{\text{C}}=4+\text{i}\).

1. Placer les points A, B et C.

2. a) Déterminer l'affixe du point M quatrième sommet du parallélogramme ABCM.

b) Placer le point M.

3. a) N est le quatrième sommet du parallélogramme ABNC. Démontrer que \(\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{CN}}\).

b) En déduire l'affixe du point N et placer ce point.

Dans chaque cas, écrire sous forme algébrique le nombre complexe \(z\).

1. \(z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. \(z=\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
3. \(z=\sqrt{3}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\)

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants.

1. \(a=3+2\text{i}\)

2. \(b=-2\text{i}+4\)

3. \(c=\dfrac{3+5\text{i}}{2}\)

4. \(d=\dfrac{2\text{i}-1}{\sqrt{2}}\)

5. \(e=4\text{i}\)

6. \(f=0\)

7. \(g=\text{i}^2\)

8. \(h=\text{i}^7\)

On considère un réel \(a\) et le nombre complexe \(z=a^2+1+2\text{i}(a^2-3)\).

1. Déterminer les éventuelles valeurs de \(a\) pour lesquelles \(z\) est un réel.

2. Déterminer les éventuelles valeurs de \(a\) pour lesquelles \(z\) est un imaginaire pur.

Déterminer mentalement les formes algébriques des nombres suivants.

1. \(Z_1=(2+4\text{i})^2\)

2. \(Z_2=(3-2\text{i})^2\)

3. \(Z_3=(1+\text{i})^3\)

Déterminer les conjugués des nombres suivants.

1. \(A=3+2\text{i}\)

2. \(B=\text{i}\)

3. \(C=3\text{i}-4\)

4. \(D=-5-6\text{i}\)

On considère les nombres complexes :

\(z_1=\dfrac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\) et \(z_2=\dfrac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\).

Sans effectuer le calcul, justifier que \(z_1+z_2\) est un nombre réel.

Déterminer les formes algébriques des nombres complexes donnés.

1. \(a=2+2\text{i}-3\text{i}-3\)

2. \(b=1+\text{i}-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\text{i}\right)\)

3. \(c=-2+3\text{i}-(3-3\text{i})\)

4. \(d=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}-\left(-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\)

1. \(a=-(1+\text{i})+2\text{i}\left(-\dfrac{1}{2}+\text{i}\right)\)

2. \(b=2\text{i}(1-\text{i})-3\text{i}(1+\text{i})\)

3. \(c=-\sqrt{2}(\sqrt{2}-2\text{i}\sqrt{2})-\sqrt{3}(\text{i}\sqrt{3}-2\sqrt{3})\)

4. \(d=\text{i}\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\text{i})+2\text{i}\sqrt{3}(\text{i}-\sqrt{3})\)

1. \(a=(2+\text{i})(1+3\text{i})\)

2. \(b=\left(\dfrac{3}{2}-2\text{i}\right)\left(2+\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\)

3. \(c=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)(1+2\text{i})\)

4. \(d=\left(-\dfrac{2}{3}-\text{i}\right)(3-4\text{i})\)

1. \(a=(3+5\text{i})^2\)

2. \(b=\left(3\text{i}-\dfrac{1}{3}\right)^2\)

3. \(c=(2+3\text{i})(2-3\text{i})\)

4. \(d=(\text{i}\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{3})\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels et \(z_1\) et \(z_2\) deux nombres complexes définis par \(z_1=a^2+a+\text{i}(b^2+1)\) et \(z_2=3a^2-3+2\text{i}b\).

Déterminer les éventuelles valeurs de \(a\) et \(b\) telles que \(z_1\) et \(z_2\) soient égaux.

Soient \(x\) un réel et deux nombres complexes \(z_1\) et \(z_2\) définis par \(z_1=3x-3+\text{i}(x^2+1)\) et \(z_2=x^2-x+\text{i}(x^2-1)\).

1. Déterminer les éventuelles valeurs de \(x\) telles que \(z_1+z_2\) soit un imaginaire pur.

2. Déterminer les éventuelles valeurs de \(x\) telles que \(z_1+z_2\) soit un réel.

Écrire le conjugué de \(z\) sous forme algébrique.

1. \(z=\text{i}(2+2\text{i})-3\text{i}(1+2\text{i})\)

2. \(z=-2\text{i}(1+\text{i})+\dfrac{3}{2}\text{i}(2-4\text{i})\)

3. \(z=(2+\text{i})(1+3\text{i})\)

4. \(z=(2\text{i}-3)(3+\text{i})\)

1. \(z=(1+\text{i})^2\)

2. \(z=(2+\text{i})^3\)

3. \(z=(1-\text{i})^4\)

4. \(z=(3+2\text{i})^3\)

1. \(z=\dfrac{1}{\text{i}}\)

2. \(z=\dfrac{1}{1+\text{i}}\)

3. \(z=\dfrac{2+\text{i}}{1-2\text{i}}\)

4. \(z=\dfrac{1-\text{i}}{2\text{i}-1}\)

5. \(z=\dfrac{3+2\text{i}}{2\text{i}-3}\)

6. \(z=\dfrac{-1-\text{i}}{2+\text{i}}\)

Montrer que le nombre \(a\) est une racine du polynôme P, puis factoriser P en produit de polynômes de degré 1.

\(P(z)=z^3+4z^2+6z+4\) et \(a=-2\).

\(P(z)=2z^3-14z^2+38z-26\) et \(a=1\).

\(P(z)=z^4-2z^3+z^2+2z-2\) et \(a=-1\).

\(P(z)=z^4-z^3-5z^2-z-6\) et \(a=\text{i}\).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

1. \(z_1=2\)

2. \(z_2=-3\text{i}\)

3. \(z_3=\text{i}-3\)

4. \(z_4=z_1+z_3\)

5. \(z_5=z_2\times z_3\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels \(a\) et \(b\) vérifiant l^{\prime}égalité.

1. \(a+3\text{i}=2+\text{i}(1-b)\)

2. \(2+a+\text{i}(b^2+b)=\text{i}(2b-\text{i}a^2)+3a+3\)

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1. \(z_1=(3-2\text{i})-(3+2\text{i})\)

2. \(z_2=2(1+\text{i})+\text{i}(2\text{i}-1)\)

3. \(z_3=(1+\text{i})(3+2\text{i})\)

4. \(z_4=(1-\text{i})^3\)

5. \(z_5=(1-\text{i})^5\)

Calculer.

1. \(z=(3+\text{i}\sqrt{3})(2\text{i}\sqrt{3}+5)\)

2. \(z=(2\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{3})(3\text{i}\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

3. \(z=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

4. \(z=\left(2\sqrt{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\text{i}\sqrt{2})\)

5. \(z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Calculer.

1. \(z=\left(3+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(3-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)\)

2. \(z=\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\text{i}\right)\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\text{i}\right)\)

3. \(z=\left(\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

4. \(z=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)\)

5. \(z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

6. \(z=\left(\text{i}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\text{i}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\)

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1. \(z_1 = -2\)
2. \(z_2 = -\dfrac{3\text{i}}{4}\)
3. \(z_3 = \text{i} - 2\)
4. \(z_4 = z_1 + z_2\)
5. \(z_5 = z_2 \times z_3\)
6. \(z_6 = z_2(z_3 + z_4)\)

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1. \(z_1 = \overline{10 - (2 + 3\text{i})}\)
2. \(z_2 = \overline{(2 - 3\text{i})(\text{i} + 2)}\)
3. \(z_3 = \overline{\left(\dfrac{1}{2\text{i} + 4}\right)}\)
4. \(z_4 = \overline{\left(\dfrac{\text{i} + 3}{1 - 4\text{i}}\right)}\)

Calculer.

1. \(a = \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{3}}{2 + \text{i}}\)
2. \(b = \dfrac{2\text{i} - \sqrt{2}}{3 + \text{i}}\)
3. \(c = \dfrac{\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1 + \text{i}}\)
4. \(d = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}}\)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

AIDE : On commencera par écrire le système uniquement en fonction de \(z_1\) et \(z_2\) et sans conjugué.

1. \(\begin{cases} \dfrac{1}{2}z_1 + z_2 = 2 \\ \dfrac{1}{2}\overline{z_1} + \text{i} \times \overline{z_2} = 0 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} 3z_1 - 2z_2 = 4\text{i} - 2 \\ \overline{z_1} + 2\overline{z_2} = 2 \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} z_1 - z_2 = 3 - 4\text{i} \\ \overline{z_1} + 2\overline{z_2} = 8 - \text{i} \end{cases}\)
4. \(\begin{cases} 6z_1 - 3z_2 = 12 + \text{i} \\ 3\overline{z_1} - \overline{z_2} = 6 \end{cases}\)

VRAI/FAUX

Soient \(z_1 = 1 - 3\text{i}\) et \(z_2 = 2\text{i} + 3\).

1. « Le conjugué de la somme \(z_1 + z_2\) est égal à \(4 + \text{i}\). »
2. « Le conjugué du produit \(z_1 \times z_2\) est égal à \(9 - 7\text{i}\). »
3. « Le conjugué de \((z_1)^3\) est égal à \(-26 - 18\text{i}\). »
4. « Le conjugué de \((z_1 \times \overline{z_2})^2\) est égal à \(112 - 66\text{i}\). »

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

1. \((z + 3\text{i})(2z - 3 + \text{i}) = 0\)
2. \((z - 2\text{i})(\text{i}z + 1) = 0\)
3. \((\text{i}z + 1 + \text{i})(3\text{i}z - 1) = 0\)
4. \(((1 + \text{i})z - 1)((2 + \text{i})z + 1) = 0\)

1. \(z^2 + 1 = 0\)
2. \(z^2 + 2 = 0\)
3. \(z^2 + 16 = 0\)
4. \(z^2 + 20 = 0\)
5. \(z^2 + \dfrac{1}{4} = 0\)
6. \(z^2 + \dfrac{1}{3} = 0\)
7. \(z^2 + \dfrac{11}{4} = 0\)
8. \(z^2 + \dfrac{3}{2} = 0\)

Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme \(z^n - a^n\) avec \(a \in \mathbb{C}\) et \(n \in \mathbb{N}^*\), puis les factoriser par \(z - a\) dans \(\mathbb{C}\).

1. \(\text{P}(z) = z^3 + 1\)
2. \(\text{P}(z) = z^3 - 8\)
3. \(\text{P}(z) = z^3 + \text{i}\)
4. \(\text{P}(z) = z^3 + 8\text{i}\)
5. \(\text{P}(z) = z^5 - 32\text{i}\)

Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme \(z - \alpha\) avec \(\alpha\) dans \(\mathbb{C}\).

1. \(\text{P}(z) = z^3 + 4z\)
2. \(\text{P}(z) = z^3 + z^2 + z + 1\)
3. \(\text{P}(z) = z^3 - 2z^2 + z - 2\)
4. \(\text{P}(z) = z^5 - z\)
5. \(\text{P}(z) = z^5 + 3z^3 + z^2 + 3\)
6. \(\text{P}(z) = z^5 - z^4 + 5z^3 - 5z^2 + 4z - 4\)

AIDE : Pour 5., remarquer que \(z^5 + 3z^3\) se factorise par \(z^3\).