Nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF

Nombres complexes avec un cours sur les propriétés algébriques, les vecteurs et les représentations géométriques des nombres complexes en terminale scientifique.

Sommaire

I.Forme algébrique d’un nombre complexe

Théorème et définition :

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ , dont les éléments sont appelés les nombres complexes, tel que :

$\mathbb{C}$ contient l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels;
les règles de calculs dans $\mathbb{C}$ sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$ ;
$\mathbb{C}$ contient un élément noté $i$ tel que $i^2=-1$ ;
tout nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux nombres réels (cette écriture s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z).Le nombre x est appelé partie réel (notée Re(z)) du nombre z et le nombre y est appelé partie imaginaire (notée Im(z)) du nombre complexe z.

Exemple :

Le nombre $z=\sqrt{3}+2i$ est un nombre complexe.

$\sqrt{3}$ est sa partie réelle et 2 est sa partie imaginaire.

Propriétés :

z est un nombre réel si et seulement si Im(z)=0.
z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

II.Conjugué d’un nombre complexe

Définition :

On considère z un nombre complexe dont la forme algébrique est z=x+iy avec x et y deux nombres réels.On appelle conjugué du nombre z, le nombre complexe, noté $\overline{z}$ , tel que $\overline{z}=x-iy$ .

Exemple :

$\overline{1+3i}=1-3i$ et $\overline{2-5i}=2+5i$ .

Propriétés :

On considère deux nombres complexes $z$ et $z'$ .Nous avons les propriétés suivantes :

$\overline{\overline{z}}=z$
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{(\frac{1}{z})}=\frac{1}{\overline{z}}$ avec $z\neq 0$
$z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \overline{z}=z$
$z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow \overline{z}=-z$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
$\overline{(\frac{z}{z'})}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ avec $z'\neq 0$
$\overline{(z^n)}=(\overline{z}) ^n$ avec $n\in \mathbb{N}$
$\overline{(kz)}=k \overline{z}$ avec $k\in \mathbb{R}$

III.Représentation graphique des nombres complexes

1.Affixe d’un point

Définition :

On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

On associe à tout nombre complexe z=x+iy , on associe le point M(x;y).

M est appelé le point image de z et z est appelé l’affixe du point M dans le repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ . On note M(z) qui se lit le point M d’affixe z.

Exemple :

Le point M d’affixe $z=3+i$ a pour coordonnées $M(3,1)$ .

Le point N d’affixe $z=-1-i$ a pour coordonnées $M(-1,-1)$ .

2.Affixe d’un vecteur

Définition :

A tout nombre complexe z affixe du point M(x,y), on associe le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{OM}$ tel que $\overrightarrow{ w}\binom{x}{y}$ .et on note $\overrightarrow{ w}(z)$ , le vecteur $\overrightarrow{ w}$ d’affixe z.

Exemples:

Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ d’affixe z=1+2i a pour coordonnées $\overrightarrow{ OM}\binom{1}{2}$ .

Le vecteur $\overrightarrow{t}$ d’affixe 1-3i a pour coordonnées $\overrightarrow{ t}\binom{1}{-3}$ .

Propriétés :

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w'}$ d’affixes respectives $z$ et $z'$ .Le vecteur $\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w'}$ a pour affixe $z+z'$ .

Le vecteur $k\overrightarrow{w}$ a pour affixe $kz$ avec $k\in \mathbb{R}$ .

3.Les équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Propriété :

On considère un nombre réel $a$ .

Si a>0, les solutions sont $z=\sqrt{a}$ et $z=-\sqrt{a}$ ;
Si a<0, les solutions sont $z=i\sqrt{-a}$ et $z=-\sqrt{-a}$ ;
Si a=0, la solution est z=0.

Exemple :

L’équation $z^2=-4$ admet comme solutions dans $\mathbb{C}$ : $z=2i$ et $z=-2i$ .

4.Les équations du type az²+bz+c=0

Propriété :

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq 0$ .On considère dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) : $az^2+bz+c=0$ de discriminant $\Delta =b^2-4ac$ .

Si $\Delta$ >0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+\sqrt{ \Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\sqrt{ \Delta }}{2a}$ ;
Si $\Delta$ <0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+i\sqrt{- \Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{ -\Delta }}{2a}$ ;
Si $\Delta$ =0, la solution est $z =\frac{ \sqrt{ \Delta }}{2a}$ .

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) : $z^2+4z+5=0$ .

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\times 1\times 5=16-20=-4<0$ .

Les solutions sont :

$z_1=\frac{-b+i\sqrt{- \Delta }}{2a}=\frac{-4+i\sqrt{4 }}{2}=\frac{-4+2i}{2}=-2+i$

et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{- \Delta }}{2a}=\frac{-4-i\sqrt{4 }}{2}=\frac{-4-2i}{2}=-2-i$ .

5.Factorisation d’un trinôme du second degré

Propriété:

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq 0$ .Pour tout nombre $z\in \mathbb{C}$ , on pose $P(z)=az^2+bz+c$ .

On note $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $P(z)=0$ dans (avec éventuellement $z_1$ = $z_2$ lorsque $\Delta$ =0).

On a pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=a(z-z_1)(z-z_2)$ .

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent, $P(z)=z^2+4z+5= (z+2-i)(z+2+i)$ .

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