Nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF

Mise à jour le 30 avril 2020

Sommaire

1 I.Forme algébrique d’un nombre complexe
2 II.Conjugué d’un nombre complexe
3 III.Représentation graphique des nombres complexes

Nombres complexes avec un cours sur les propriétés algébriques, les vecteurs et les représentations géométriques des nombres complexes en terminale scientifique.

I.Forme algébrique d’un nombre complexe

Théorème et définition :

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ , dont les éléments sont appelés les nombres complexes, tel que :

$\mathbb{C}$ contient l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels;
les règles de calculs dans $\mathbb{C}$ sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$ ;
$\mathbb{C}$ contient un élément noté tel que ;
tout nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme avec et deux nombres réels (cette écriture s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z).Le nombre x est appelé partie réel (notée Re(z)) du nombre z et le nombre y est appelé partie imaginaire (notée Im(z)) du nombre complexe z.

Exemple :

Le nombre $z=\sqrt{3}+2i$ est un nombre complexe.

$\sqrt{3}$ est sa partie réelle et 2 est sa partie imaginaire.

Propriétés :

z est un nombre réel si et seulement si Im(z)=0.
z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

II.Conjugué d’un nombre complexe

Définition :

On considère z un nombre complexe dont la forme algébrique est z=x+iy avec x et y deux nombres réels.On appelle conjugué du nombre z, le nombre complexe, noté $\overline{z}$ , tel que $\overline{z}=x-iy$ .

Exemple :

$\overline{1+3i}=1-3i$ et $\overline{2-5i}=2+5i$ .

Propriétés :

On considère deux nombres complexes

.Nous avons les propriétés suivantes :

$\overline{\overline{z}}=z$
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{(\frac{1}{z})}=\frac{1}{\overline{z}}$ avec $z\neq 0$
$z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \overline{z}=z$
est un imaginaire pur $\Leftrightarrow \overline{z}=-z$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
$\overline{(\frac{z}{z'})}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ avec $z'\neq 0$
$\overline{(z^n)}=(\overline{z}) ^n$ avec $n\in \mathbb{N}$
$\overline{(kz)}=k \overline{z}$ avec $k\in \mathbb{R}$

III.Représentation graphique des nombres complexes

1.Affixe d’un point

Définition :

On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$

On associe à tout nombre complexe z=x+iy , on associe le point M(x;y).

M est appelé le point image de z et z est appelé l’affixe du point M dans le repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ . On note M(z) qui se lit le point M d’affixe z.

Exemple :

Le point M d’affixe z=3+i a pour coordonnées M(3,1) .

Le point N d’affixe z=-1-i a pour coordonnées .

2.Affixe d’un vecteur

Définition :

A tout nombre complexe z affixe du point M(x,y), on associe le vecteur $\vec{w}=\vec{OM}$ tel que $\vec{ w}\binom\,{x}{y}$ .et on note $\vec{ w}(z)$ , le vecteur $\vec{ w}$ d’affixe z.

Exemples:

Le vecteur $\vec{OM}$ d’affixe z=1+2i a pour coordonnées $\vec{ OM}\binom\,{1}{2}$ .

Le vecteur $\vec{t}$ d’affixe 1-3i a pour coordonnées $\vec{ t}\binom\,{1}{-3}$ .

Propriétés :

On considère deux vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{w'}$ d’affixes respectives

.Le vecteur $\vec{w}+\vec{w'}$ a pour affixe z+z'

Le vecteur $k\vec{w}$ a pour affixe avec $k\in \mathbb{R}$ .

3.Les équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Propriété :

On considère un nombre réel

Si a>0, les solutions sont $z=\sqrt{a}$ et $z=-\sqrt{a}$ ;
Si a<0, les solutions sont $z=i\sqrt{-a}$ et $z=-\sqrt{-a}$ ;
Si a=0, la solution est z=0.

Exemple :

L’équation z^2=-4 admet comme solutions dans $\mathbb{C}$ : z=2i et z=-2i .

4.Les équations du type az²+bz+c=0

Propriété :

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq 0$ .On considère dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) :

de discriminant $\Delta =b^2-4ac$ .

Si $\Delta$ >0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+\sqrt{ \Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\sqrt{ \Delta }}{2a}$ ;
Si $\Delta$ <0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+i\sqrt{- \Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{ -\Delta }}{2a}$ ;
Si $\Delta$ =0, la solution est $z =\frac{ \sqrt{ \Delta }}{2a}$ .

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) : .

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\times 1\times 5=16-20=-4<0$ .

Les solutions sont :

$z_1=\frac{-b+i\sqrt{- \Delta }}{2a}=\frac{-4+i\sqrt{4 }}{2}=\frac{-4+2i}{2}=-2+i$

et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{- \Delta }}{2a}=\frac{-4-i\sqrt{4 }}{2}=\frac{-4-2i}{2}=-2-i$ .

5.Factorisation d’un trinôme du second degré

Propriété:

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq 0$ .Pour tout nombre $z\in \mathbb{C}$ , on pose

On note z_1 et z_2 les deux solutions de P(z)=0 dans (avec éventuellement z_1 = z_2 lorsque $\Delta$ =0).

On a pour tout $z\in \mathbb{C}$ , .

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent, .

Partagez24

Tweetez

Enregistrer1

25 Partages

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés

Application Maths PDF sur Google Play Store.

D'autres articles similaires à nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF

Maths PDF est un site de mathématiques géré par des enseignants titulaires de l'éducation nationale vous permettant de réviser en ligne afin de combler vos diverses lacunes.
Vous trouverez sur ce site de mathématiques de nombreuses ressources de la primaire, au collège puis au lycée dans le même thème que nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF.
Tous les cours de maths sont rédigés par des enseignants et ils vous permettent de réviser en ligne les différentes notions et contenus abordés en classe avec votre professeur comme les définitons, les propriétés ou les différents théorèmes.
Développer des compétences et des savoirs faires tout au long de l'année scolaire afin d'envisager une progression constante tout au long de l'année.
Un site de mathématiques totalement gratuit par le biais duquel, vous pourrez exporter toutes les leçons et tous les exercices gratuitement en PDF afin de les télécharger ou de les imprimer librement. Des milliers d'exercices de maths similaires à ceux de votre manuel scolaire afin de vous exercer en ligne et de combler vos lacunes en repérant vos différentes erreurs.
Pour la partie algorithme et programmation, vous trouverez de nombreux exercices réalisés avec le programme Scratch mais également, de nombreux extraits de sujets du brevet de maths ainsi que des sujets du baccalauréat de mathématiques similaires à nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF

Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale S
77
I.La fonction logarithme népérien Définition : Soit a un nombre réel strictement positif.La logarithme népérien est l'unique solution de l'équation , Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction f est définie par f(x)=ln x sur . Propriétés…
Tags: a, propriétés, nombre, on, considère, cours, terminale
Exponentielle : cours sur les fonctions en terminale S
74
I.La fonction exponentielle Lemme : Si il existe une fonction f dérivable sur telle que et f(0)=1 alors f ne s'annule pas sur . Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que et f(0)=1. Définition : On appelle fonction exponentielle, notée exp, l'unique fonction dérivable sur…
Tags: on, considère, propriétés, nombres, cours, terminale
Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S en PDF
70
I.Axiome de récurrence Axiome : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n.Si on démontre les deux conditions suivantes : Initialisation : P(n) est vraie pour un entier . Hérédité : pour tout entier naturel , P(n) est vraie alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout…
Tags: on, considère, d'un, cours, terminale
Intégrale : cours de maths en terminale S en PDF
69
I.Intégrale d'une fonction Définition : On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe dans un repère orthonormé du plan.L'intégrale de a à b de f est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses et les…
Tags: on, considère, cours, terminale
Produit scalaire dans l'espace : cours de maths en terminale S
67
I.le produit scalaire dans l'espace 1.Approche géométrique du produit scalaire Définition : Soient et deux vecteurs de l'espace, et A,B,C trois points tels que et .Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C. On appelle produit scalaire de et , le produit scalaire calculé…
Tags: vecteur, a, cours, terminale