Sommaire
I.Forme algébrique d’un nombre complexe
Il existe un ensemble de nombres noté , dont les éléments sont appelés les nombres complexes, tel que :
contient l’ensemble
des nombres réels;
- les règles de calculs dans
sont les mêmes que dans
;
contient un élément noté
tel que
;
- tout nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme
avec
et
deux nombres réels (cette écriture s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z).Le nombre x est appelé partie réel (notée Re(z)) du nombre z et le nombre y est appelé partie imaginaire (notée Im(z)) du nombre complexe z.
Exemple :
Le nombre est un nombre complexe.
est sa partie réelle et 2 est sa partie imaginaire.
- z est un nombre réel si et seulement si Im(z)=0.
- z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.
II.Conjugué d’un nombre complexe
On considère z un nombre complexe dont la forme algébrique est z=x+iy avec x et y deux nombres réels.On appelle conjugué du nombre z, le nombre complexe, noté , tel que
.
Exemple :
et
.
On considère deux nombres complexes et
.Nous avons les propriétés suivantes :
avec
est un imaginaire pur
avec
avec
avec
III.Représentation graphique des nombres complexes
1.Affixe d’un point
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
On associe à tout nombre complexe z=x+iy , on associe le point M(x;y).
M est appelé le point image de z et z est appelé l’affixe du point M dans le repère orthonormé direct . On note M(z) qui se lit le point M d’affixe z.
Exemple :
Le point M d’affixe a pour coordonnées
.
Le point N d’affixe a pour coordonnées
.
2.Affixe d’un vecteur
A tout nombre complexe z affixe du point M(x,y), on associe le vecteur tel que
.et on note
, le vecteur
d’affixe z.
Exemples:
Le vecteur d’affixe z=1+2i a pour coordonnées
.
Le vecteur d’affixe 1-3i a pour coordonnées
.
On considère deux vecteurs et
d’affixes respectives
et
.Le vecteur
a pour affixe
.
Le vecteur a pour affixe
avec
.
3.Les équations du second degré dans 
On considère un nombre réel .
- Si a>0, les solutions sont
et
;
- Si a<0, les solutions sont
et
;
- Si a=0, la solution est z=0.
Exemple :
L’équation admet comme solutions dans
:
et
.
4.Les équations du type az²+bz+c=0
On considère des nombres réels a,b et c avec .On considère dans
, l’équation (E) :
de discriminant
.
- Si
>0, les solutions sont
et
;
- Si
<0, les solutions sont
et
;
- Si
=0, la solution est
.
Exemple :
Résoudre dans , l’équation (E) :
.
.
Les solutions sont :
et .
5.Factorisation d’un trinôme du second degré
On considère des nombres réels a,b et c avec .Pour tout nombre
, on pose
.
On note et
les deux solutions de
dans (avec éventuellement
=
lorsque
=0).
On a pour tout ,
.
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent, .
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