Nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF

Sommaire

1 I.Forme algébrique d’un nombre complexe
2 II.Conjugué d’un nombre complexe
3 III.Représentation graphique des nombres complexes

Nombres complexes avec un cours sur les propriétés algébriques, les vecteurs et les représentations géométriques des nombres complexes en terminale scientifique.

I.Forme algébrique d’un nombre complexe

Théorème et définition :

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ , dont les éléments sont appelés les nombres complexes, tel que :

$\mathbb{C}$ contient l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels;
les règles de calculs dans $\mathbb{C}$ sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$ ;
$\mathbb{C}$ contient un élément noté tel que ;
tout nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme avec et deux nombres réels (cette écriture s’appelle l’écriture algébrique du nombre complexe z).Le nombre x est appelé partie réel (notée Re(z)) du nombre z et le nombre y est appelé partie imaginaire (notée Im(z)) du nombre complexe z.

Exemple :

Le nombre $z=\sqrt{3}+2i$ est un nombre complexe.

$\sqrt{3}$ est sa partie réelle et 2 est sa partie imaginaire.

Propriétés :

z est un nombre réel si et seulement si Im(z)=0.
z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

II.Conjugué d’un nombre complexe

Définition :

On considère z un nombre complexe dont la forme algébrique est z=x+iy avec x et y deux nombres réels.On appelle conjugué du nombre z, le nombre complexe, noté $\overline{z}$ , tel que $\overline{z}=x-iy$ .

Exemple :

$\overline{1+3i}=1-3i$ et $\overline{2-5i}=2+5i$ .

Propriétés :

On considère deux nombres complexes et .Nous avons les propriétés suivantes :

$\overline{\overline{z}}=z$
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{(\frac{1}{z})}=\frac{1}{\overline{z}}$ avec $z\neq\,0$
$z\in\,\mathbb{R}\Leftrightarrow\,\overline{z}=z$
est un imaginaire pur $\Leftrightarrow\,\overline{z}=-z$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
$\overline{(\frac{z}{z'})}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ avec $z'\neq\,0$
$\overline{(z^n)}=(\overline{z})\,^n$ avec $n\in\,\mathbb{N}$
$\overline{(kz)}=k\,\overline{z}$ avec $k\in\,\mathbb{R}$

III.Représentation graphique des nombres complexes

1.Affixe d’un point

Définition :

On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$

On associe à tout nombre complexe z=x+iy , on associe le point M(x;y).

M est appelé le point image de z et z est appelé l’affixe du point M dans le repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ . On note M(z) qui se lit le point M d’affixe z.

Exemple :

Le point M d’affixe a pour coordonnées .

Le point N d’affixe a pour coordonnées .

2.Affixe d’un vecteur

Définition :

A tout nombre complexe z affixe du point M(x,y), on associe le vecteur $\vec{w}=\vec{OM}$ tel que $\vec{,w}\binom\,{x}{y}$ .et on note $\vec{,w}(z)$ , le vecteur $\vec{,w}$ d’affixe z.

Exemples:

Le vecteur $\vec{OM}$ d’affixe z=1+2i a pour coordonnées $\vec{,OM}\binom\,{1}{2}$ .

Le vecteur $\vec{t}$ d’affixe 1-3i a pour coordonnées $\vec{,t}\binom\,{1}{-3}$ .

Propriétés :

On considère deux vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{w'}$ d’affixes respectives et.Le vecteur $\vec{w}+\vec{w'}$ a pour affixe z+z' .

Le vecteur $k\vec{w}$ a pour affixe avec $k\in\,\mathbb{R}$ .

3.Les équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Propriété :

On considère un nombre réel .

Si a>0, les solutions sont $z=\sqrt{a}$ et $z=-\sqrt{a}$ ;
Si a<0, les solutions sont $z=i\sqrt{-a}$ et $z=-\sqrt{-a}$ ;
Si a=0, la solution est z=0.

Exemple :

L’équation admet comme solutions dans $\mathbb{C}$ : et .

4.Les équations du type az²+bz+c=0

Propriété :

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq\,0$ .On considère dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) : de discriminant $\Delta\,=b^2-4ac$ .

Si $\Delta$ >0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+\sqrt{\,\Delta\,}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\sqrt{\,\Delta\,}}{2a}$ ;
Si $\Delta$ <0, les solutions sont $z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\,\Delta\,}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{\,-\Delta\,}}{2a}$ ;
Si $\Delta$ =0, la solution est $z\,=\frac{\,\sqrt{\,\Delta\,}}{2a}$ .

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ , l’équation (E) : .

$\Delta\,=b^2-4ac=4^2-4\times \,1\times \,5=16-20=-4<0$ .

Les solutions sont :

$z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\,\Delta\,}}{2a}=\frac{-4+i\sqrt{4\,}}{2}=\frac{-4+2i}{2}=-2+i$

et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{-\,\Delta\,}}{2a}=\frac{-4-i\sqrt{4\,}}{2}=\frac{-4-2i}{2}=-2-i$ .

5.Factorisation d’un trinôme du second degré

Propriété:

On considère des nombres réels a,b et c avec $a\neq\,0$ .Pour tout nombre $z\in,\mathbb{C}$ , on pose .

On note z_1 et z_2 les deux solutions de P(z)=0 dans (avec éventuellement z_1 = z_2 lorsque $\Delta$ =0).

On a pour tout $z\in\,\mathbb{C}$ , .

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent, $P(z)=z^2+4z+5=\,(z+2-i)(z+2+i)$ .

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres articles similaires à nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF

Exponentielle : cours sur les fonctions en terminale à télécharger en PDF.
73
La fonction exponentielle est largement utilisée en mathématiques, en sciences et en ingénierie pour modéliser les processus de croissance et de décroissance, résoudre les équations différentielles et étudier les systèmes complexes. Elle est également utilisée dans de nombreuses applications du monde réel, telles que la finance, la biologie, la physique…
Logarithme népérien : cours sur les fonction en terminale à télécharger en PDF.
72
Dans Logarithme, nous avons déjà vu et discuté que la valeur logarithmique d'un nombre positif dépend non seulement du nombre mais aussi de la base ; un nombre positif donné aura différentes valeurs logarithmiques pour différentes bases. Dans la pratique, cependant, les deux types de logarithmes suivants sont utilisés :…
Intégrale : cours de maths en terminale à télécharger en PDF
69
I.Intégrale d'une fonction Définition : On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] et sa courbe dans un repère orthonormé du plan.L'intégrale de a à b de f est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses et les…

Le nombre d'exercices par niveau :

Il y a 267 exercices en CM1.
Il y a 305 exercices en CM2.
Il y a 541 exercices en sixième et 14 cours en 6ème.
Il y a 437 exercices en cinquième et 11 cours en 5ème.
Il y a 451 exercices en quatrième et 11 cours en 4ème.
Il y a 639 exercices en troisième et 11 cours en 3ème.
Il y a 443 exercices en seconde et 15 cours en 2de.
Il y a 384 exercices en première et 8 cours en 1ère.
Il y a 469 exercices en terminale et 8 cours en terminale.

Les dernières fiches de maths mises à jour

Les derniers cours et exercices mis à jour ou ajoutés sur le site similaires à nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF .

Maths PDF c'est 8 488 313 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 936 exercices.

I.Forme algébrique d’un nombre complexe

II.Conjugué d’un nombre complexe

III.Représentation graphique des nombres complexes

1.Affixe d’un point

2.Affixe d’un vecteur

3.Les équations du second degré dans <img decoding="async" class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}" alt="\mathbb{C}" alt="\mathbb{C}" />

4.Les équations du type az²+bz+c=0

5.Factorisation d’un trinôme du second degré

D'autres articles similaires à nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF

Le nombre d'exercices par niveau :

3.Les équations du second degré dans $\mathbb{C}$