Suites numériques : cours de maths en terminale à télécharger en PDF

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Les  suites numériques à travers un cours de maths en terminale qu fait intervenir les notions suivantes :

  • définition d’une suite;
  • suite croissante, décroissante et monotonie d’une suite;
  • suite convergente et divergente;
  • monotonie d’une suite;
  • limite d’une suite numérique;
  • les suites adjacentes.

Pour bien comprendre ce chapitre, il faudra suivre le  cours attentivement et reprendre les exercices.

À retenir : Une suite \((u_n)\) associe à chaque entier \(n\) un réel \(u_n\). Elle converge vers \(\ell\) si ses termes se rapprochent aussi près qu’on veut de \(\ell\) à partir d’un certain rang. Une suite géométrique de raison \(q\) vérifie \(u_n = u_0 q^n\) et converge vers 0 si \(-1 < q < 1\). La récurrence démontre une propriété pour tout \(n\).

I. Les suites numériques

1.Définition et vocabulaire

Définition :
Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N}  vers \mathbb{R} , u:n\,\mapsto\,u(n).

2. Notations et  vocabulaire

Notations :

L’écriture fonctionnelle u(n) est peu utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction u. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): u_n .

Avec cette notation l’image de 0 est u_0 .
On appelle u(0)=u_0 , le premier terme de la suite (u_n) .

De même, u(1)\,=\,u_1 est le second terme de la suite s.

De façon générale:
u_n est le terme d’indice n ou de rang n de la suite (u_n) .
On dit aussi que u_n  est le terme général de la suite (u_n) .

On écrit aussi u\,=\,(u_n) , pour indiquer qu’il s’agit de la suite dont le terme de rang n est u_n où n \in \mathbb{N} .

Remarque:

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite (u_n) ne soit pas u_0  .
Par exemple :

u_n=\frac{1}{n}  n’existe pas pour n = 0.

La suite commence au rang 1.

On écrira alor (u_n) n \in \mathbb{N} .

t_n=\frac{1}{n(n-1)}          n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1.

La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de \mathbb{N}  où la suite est définie.

II.Diverses manières de définir une suite

1. Suites définies par une égalité fonctionnelle

Définition :
  Une suite numérique étant une fonction définie sur \mathbb{N} , c’est donc la restriction à  \mathbb{N} d’une fonction définie sur \mathbb{R}  ou un sous ensemble de \mathbb{R} contenant \mathbb{N} .

Par exemple, la suite u_n=n^2  (n \in \mathbb{N}  ), est la restriction à \mathbb{N}  de la fonction f définie sur \mathbb{R}  par f(x)\,=\,x^2 . L’intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites.

2.Suite définie par une formule de récurrence

Définition :
La spécificité des suites sur les fonctions de la variable réelle, est que, pour tout entier naturel n, son image u_n étant « numérotable », on peut définir le terme u_{n+1} en fonction du terme précédent u_n  par une formule appelée formule de récurrence.Plus précisément, la suite (u_n)  sera définie par récurrence par:
– Son premier terme u_0  .
– Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite  u_{n+1}=f(u_n).

Par exemple, la suite définie par son premier terme u_0=5  et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: u_{n+1}=\sqrt{u_n} .

III. Les suites arithmétiques et géométriques:

1.Définitions et formules

Notations :

Soit n  un entier naturel quelconque : suites arithmétiques géométriques

Exemples:

  • La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
  • La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
  • La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
  • La suite définie par la formule:  Un = an + b  (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U0 = b et de raison a.

 

  • La suite constante de terme général Un = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
  •  La suite de terme général Un = (-1)n est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.
  • La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général Un = an est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison a.
  • La suite définie par la formule: Un = a bn  (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U0 = a et de raison b (b réel non nul).

2.Somme des termes des suites arithmétiques

Propriété :

Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_0  et de raison r, on a:
Pour tout entier naturel n, on a:

\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\times\,\frac{u_0+u_n}{2}

3.Somme des n premiers entiers

Propriété :
\sum_{k=0}^{n}k=1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

4.Somme des termes d’une suite géométrique

Propriété :

Pour tout entier naturel n, et pour tout réel q\neq\,1 , on a:

\sum_{k=0}^{n}q^k=1+q+q^2+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}

Moyen mnémotechnique :
\frac{suivant-premier}{raison-1}.
Propriété :

Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q\neq\,1 , on a:

\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n=\,\frac{u_{n+1}-u_0}{q-1}.

 

IV. Principe du raisonnement par récurrence

Définition :
Il permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier n_0  fixé (qui est souvent zéro).On procède de la façon suivante:
-On vérifie que la propriété est vraie au départ pour un entier n = n_0 (on a souvent n_0  = 0).
– On prouve que la propriété est héréditaire, c’est à dire que:
Si la propriété est vraie pour un entier naturel quelconque n\geq\,n_0 , alors elle est encore vraie pour l’entier consécutif  n+1 .
On en déduit alors, de proche en proche, que la propriété est vraie quel que soit l’entier naturel n\geq\,n_0 .

 

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