Logarithme népérien : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

1. \(\mathrm{e}^{\ln 3}\)
2. \(\mathrm{e}^{-\ln 5}\)
3. \(\mathrm{e}^{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}\)
4. \(\ln\left(\mathrm{e}^5\right)\)
5. \(\ln 1+\ln \mathrm{e}\)
6. \(\ln\left(\mathrm{e}^{-2}\right)\)

Exprimer chacun des nombres suivants sous la forme \(\ln c\) où \(c\) est un réel strictement positif.

1. \(A=\ln 7+\ln 8\)
2. \(B=\ln 20-\ln 4\)
3. \(C=-\ln 4+\ln 28\)
4. \(D=3\ln 2\)
5. \(E=-2\ln 4\)

Dans chacun des cas, comparer les réels \(A\) et \(B\).

1. \(A=\ln 2+\ln 5\) et \(B=\ln 9\)
2. \(A=\ln 4\) et \(B=\ln 6-\ln 2\)
3. \(A=3\ln 2\) et \(B=2\ln 3\)
4. \(A=\ln 25\) et \(B=2\ln 5\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \(\mathrm{e}^x=2\)
2. \(\mathrm{e}^x=-5\)
3. \(\mathrm{e}^x=\dfrac{1}{4}\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \(\ln x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
2. \(\ln x=\dfrac{\ln 5}{2}\)
3. \(\ln x=-\ln 9\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \((\ln x-2)(1+\ln x)=0\)
2. \((\mathrm{e}^x-3)(\mathrm{e}^x+5)=0\)
3. \((\ln x)(6-3\ln x)=0\)

Résoudre les inéquations suivantes.

1. \(\ln(x)\geqslant 1\)
2. \(\ln(x)\gt -2\)
3. \(\ln(x)\leqslant\dfrac{1}{2}\)
4. \(\ln(x)\lt 3\)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par : \(f(x)=\ln x\). On note \(\mathscr{C}\) la courbe représentative de \(f\).

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier)

1. 0 a un seul antécédent par \(f\).
2. L^{\prime}image de 1 par \(f\) est \(\mathrm{e}\).
3. L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe \(\mathscr{C}\).
4. L^{\prime}axe des ordonnées est une asymptote à la courbe \(\mathscr{C}\).
5. Il n’existe aucun réel \(x\) tel que \(\ln x\gt 100\).

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par : \(f(x)=\ln x\). On note \(\mathscr{C}\) la courbe représentative de \(f\).

1. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathscr{C}\) en 1.
2. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la position relative de \(\mathscr{C}\) et \(T\).
3. Pour tout réel \(x\gt 0\), on pose \(d(x)=\ln x-x+1\).
   1. Dresser le tableau de variation de la fonction \(d\).
   2. En déduire le signe de \(d(x)\) en fonction de \(x\).
   3. Démontrer la conjecture établie au 2.

Calculer les nombres réels suivants.

1. \(\ln(0{,}5)+\ln 2\)
2. \(3\ln 2-\ln 4\)
3. \(\left(\ln\left(\mathrm{e}^3\right)\right)^2\)
4. \(\mathrm{e}^{\ln 2+\ln 3}\)

Exprimer les nombres suivants sous forme d^{\prime}un entier ou d^{\prime}un inverse entier.

1. \(A=\mathrm{e}^{2\ln 3}\)
2. \(B=\mathrm{e}^{4\ln 2}\)
3. \(C=\mathrm{e}^{-\ln 4}\)
4. \(D=\mathrm{e}^{-5\ln 2}\)

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

1. \(A=\mathrm{e}^{\ln 6-2\ln 3}\)
2. \(B=\mathrm{e}^{3\ln 2-\ln 4+1}\)
3. \(C=\dfrac{\mathrm{e}^{\ln 5-1}}{\mathrm{e}^{2+\ln 5}}\)
4. \(D=\dfrac{\mathrm{e}^{2\ln 3-\ln 2}}{\mathrm{e}^{-3\ln 2}}\)

Exprimer chacun des nombres suivants sous la forme \(\ln c\) où \(c\) est un réel strictement positif.

1. \(A=2\ln 5+\ln 3\)
2. \(B=3\ln 3-2\ln 2\)
3. \(C=-\ln 5+3\ln 2\)
4. \(D=3\ln 4-3\ln 2\)

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de \(\ln 2\).

1. \(\ln 8\)
2. \(\ln\left(\sqrt{2}\right)\)
3. \(\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)\)
4. \(3\ln 2-\ln 16\)

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de \(\ln 3\).

1. \(\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)\)
2. \(\ln 24-\ln 8\)
3. \(\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)+\ln 4\)
4. \(2\ln 3-\ln 27\)
5. \(\ln\left(9\sqrt{3}\right)\)

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 5\).

1. \(\ln 20\)
2. \(\ln 100\)
3. \(\ln\left(\dfrac{4}{25}\right)\)
4. \(\ln\sqrt{10}\)

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de \(\ln 3\) et \(\ln 7\).

1. \(\ln\left(\dfrac{81}{7}\right)\)
2. \(\ln 441\)
3. \(\ln\left(\dfrac{49}{27}\right)\)
4. \(\ln\sqrt{21}\)

On donne les encadrements suivants :

\[0{,}69\lt\ln 2\lt 0{,}70\quad\text{et}\quad 1{,}60\lt\ln 5\lt 1{,}61.\]

En déduire, sans calculatrice, les encadrements des nombres suivants.

1. \(\ln 4\)
2. \(\ln\left(2^5\right)\)
3. \(\ln\dfrac{5}{2}\)
4. \(\ln\dfrac{16}{25}\)

Résoudre les équations suivantes :

1. \(\ln x=2\) ;
2. \(\ln x=-1\) ;
3. \(3\ln x-9=0\).

Résoudre les équations suivantes :

1. \(\ln(x+5)=\ln 3\) ;
2. \(\ln\left(x^2\right)=\ln 9\) ;
3. \(\ln\left(x^2+x\right)=\ln 6\).

Résoudre les équations suivantes :

1. \(2+3\ln x=14\) ;
2. \(\ln\left(x^2\right)=\ln 9\) ;
3. \(\mathrm{e}^{2-3x}=5\) ;
4. \(2\mathrm{e}^{2x}-10=0\).

Résoudre les équations suivantes :

1. \(\ln(2-x)+1=0\) ;
2. \(\ln x+\ln(x-1)=\ln 5\) ;
3. \(\ln(3x)-\ln(1-x)=\ln 2\).

Dans chacun des cas, pour quelles valeurs de \(x\), l’expression donnée a-t-elle un sens ?

1. \(\ln x\)
2. \(\ln(3-x)\)
3. \(\ln(x+2)\)
4. \(\dfrac{1}{\ln\left(x^2\right)}\)

1. Dans chaque cas, résoudre l’équation ou l’inéquation.

1. \(\ln x=5\)
2. \(\mathrm{e}^{x}=7\)
3. \(\ln(6x+1)\gt 2\)
4. \(\mathrm{e}^{3x}\leqslant 4\)

2. Résoudre l’inéquation \(\ln(3x)\lt\ln(2-5x)\).

Résoudre chaque équation ou inéquation.

1. \(\ln x=0\)
2. \(\ln x\geqslant 1\)
3. \(\ln x=3\)
4. \(\ln x\lt -5\)
5. \(\ln(2x-5)=-2\)

Résoudre chaque équation ou inéquation.

1. \(\mathrm{e}^{x}=2\)
2. \(\mathrm{e}^{x}\gt -1\)
3. \(\mathrm{e}^{x}\lt\dfrac{1}{2}\)
4. \(\mathrm{e}^{-x}\geqslant 5\)
5. \(\mathrm{e}^{2x-3}\lt 4\)
6. \(\mathrm{e}^{1-5x}\leqslant 1\)

Résoudre chaque équation ou inéquation.

1. \(\ln(2x-1)=\ln x\)
2. \(\ln(x+3)\geqslant\ln(3x+2)\)
3. \(\ln(x^2-2)\gt\ln(2x)\)
4. \(\ln(x-3)\lt\ln(2-3x)\)

Voici une copie d’écran obtenue avec le logiciel Xcas :

1. Que peut-on en penser ?
2. Résoudre à votre tour cette équation.

On étudie la décharge d’un condensateur. Sa tension \(V\) (en volts) en fonction du temps \(t\) (en ms) écoulé depuis le début de la décharge est donnée par la forme :

\[V=5000\,\mathrm{e}^{-8{,}3t}.\]

Au bout de combien de temps la tension initiale (à l’instant \(t=0\)) sera-t-elle divisée par 2 ?

1) Résoudre l’équation \(X^2-2X-15=0\).

2) En déduire les solutions des équations suivantes :

1. \(\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-15=0\) ;
2. \((\ln x)^2-2\ln x-15=0\).

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\ln(2-3x)\geqslant 0\) ;
2. \(\ln(1-x)\lt 1\) ;
3. \(\ln\left(\dfrac{3}{x}\right)\gt\ln 3\).

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(2\ln(x)\geqslant\ln(2-x)\) ;
2. \(\ln(x)+\ln(2x+5)\leqslant\ln 3\) ;
3. \(\ln(4x)-\ln 2\lt 2\ln 4\).

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\mathrm{e}^{x}\gt 3\)
2. \(\mathrm{e}^{x}\leqslant\dfrac{1}{2}\)
3. \(\mathrm{e}^{x}\lt -\mathrm{e}\)

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(2\mathrm{e}^{x}-3\gt 9\)
2. \(4\mathrm{e}^{x}-1\geqslant\mathrm{e}^{x}+5\)
3. \(\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}\lt 0\)

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\ln(-2x+1)\leqslant 0\)
2. \(\ln\left(\dfrac{3x-1}{x+2}\right)\geqslant 0\)
3. \(\ln(2x-1)+1\gt 0\)

En utilisant un théorème de comparaison, déterminer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x^2+105x+18)\) ;
2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ln(8-x^3)\).

1) Démontrer la propriété suivante : \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\).

2) En déduire les limites suivantes.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) ;
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\).
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par \(f(x)=x\ln x\).

1. Étudier les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
2. Pour tout réel \(x\gt 0\), calculer \(f^{\prime}(x)\).
3. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) et en déduire les variations de \(f\).
4. En déduire que \(f\) admet un minimum sur \(]0\ ;\ +\infty[\) que l’on précisera.

Déterminer la dérivée de chaque fonction sur l’intervalle \(I\) indiqué.

1. \(f(x)=\dfrac{3-2\ln x}{x-1}\) sur \(I=]1\ ;\ +\infty[\).
2. \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(I=]0\ ;\ +\infty[\).
3. \(f(x)=(\ln x)^3\) sur \(I=]0\ ;\ +\infty[\).
4. \(f(x)=\sqrt{\ln x}\) sur \(I=]1\ ;\ +\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left]-1\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\) par :

\[f(x)=\ln(-2x^2-x+1).\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

1) Résoudre l^{\prime}inéquation \(f(x)\gt 0\). Vérifier graphiquement le résultat.

2) a) La courbe \(\mathcal{C}\) semble-t-elle admettre une tangente horizontale ? Si oui, en quel point ?

b) Démontrer cette conjecture.

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{2}\).

1) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose : \(v_n=u_n-\dfrac{2}{3}\).

1. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

2) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose : \(w_n=\ln(v_n)\).

1. Montrer que la suite \((w_n)\) est bien définie.
2. Montrer que la suite \((w_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).

On rappelle que pour tout réel \(x\gt 0\), \(\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\).

1) Pour tout entier relatif \(n\), montrer que \(\log(10^n)=n\).

2) Rappeler le sens de variation de la fonction ln sur \(]0\ ;\ +\infty[\), et en déduire celui de la fonction log sur \(]0\ ;\ +\infty[\).

3) Soit \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. En utilisant les propriétés algébriques de la fonction ln, démontrer :

1. \(\log(ab)=\log a+\log b\) ;
2. \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log a-\log b\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (d’unité graphique 2 cm).

1) Montrer que \(\mathcal{C}\) admet deux asymptotes.

2) a) Montrer que pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2}\).

b) Dresser le tableau de variation de \(f\).

3) Résoudre l^{\prime}équation \(f(x)=0\).

4) Déterminer une équation de la tangente \(T\) au point d^{\prime}intersection de la courbe \(\mathcal{C}\) avec l’axe des abscisses.

5) Construire \(\mathcal{C}\) et \(T\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x)=(\ln x)^3-3\ln x.\]

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) a) Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).

b) Montrer que \(\mathcal{C}\) admet une asymptote verticale.

2) Montrer que pour tout \(x\gt 0\),

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{3(\ln x-1)(\ln x+1)}{x}.\]

3) Dresser le tableau des variations de \(f\).

4) Résoudre l^{\prime}équation \(f(x)=0\).

5) Construire \(\mathcal{C}\) et son asymptote.

On donne ci-dessous la courbe représentative \(C_u\) d’une fonction \(u\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1. Déterminer l^{\prime}ensemble de définition de la fonction \(\ln(u)\).
2. Étudier les limites de la fonction \(\ln(u)\) aux bornes de son ensemble de définition.
3. Étudier le sens de variation de la fonction \(\ln(u)\).
4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(\ln(u)\).

Déterminer la dérivée de chaque fonction sur l’intervalle \(I\) indiqué.

1. \(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\) sur \(I=]0\ ;\ 1[\)
2. \(f(x)=(\ln x)^2(3-\ln x)\) sur \(I=]0\ ;\ +\infty[\)
3. \(f(x)=(2-\ln x)(1-\ln x)\) sur \(I=]0\ ;\ +\infty[\)
4. \(f(x)=\mathrm{e}^{5\ln x+2}\) sur \(I=]0\ ;\ +\infty[\)

Soit \(u\) une fonction dérivable sur l’intervalle \([-1\ ;\ 3]\) dont la représentation graphique \(\mathcal{C}_u\) est donnée ci-dessous. On note \(f\) la fonction \(\ln(u)\).

1. Justifier que \(f\) est définie sur \(]-1\ ;\ 2[\).
2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
3. Étudier les limites de \(f\) en \(-1\) et en 2.
4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
5. Discuter selon les valeurs du réel \(k\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=k\).