Logarithme népérien
En bref : Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de l’exponentielle ; elle est définie sur les réels strictement positifs et transforme les produits en sommes.
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Définition : Logarithme népérien
Le logarithme népérien d’un réel \(x>0\), noté \(\ln x\), est l’unique nombre dont l’exponentielle vaut \(x\) : \(e^{\ln x}=x\) et \(\ln(e^y)=y\). Ainsi \(\ln 1=0\) et \(\ln e=1\).
Il transforme les produits en sommes : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\) et \(\ln(a^n)=n\ln a\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et sa dérivée est \(\frac{1}{x}\).
Comment le reconnaître
- L’inconnue est un exposant, comme dans \(e^{2x}=7\), ou une expression placée sous le logarithme népérien.
- L’énoncé demande l’ensemble de définition : les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs.
- Une somme de logarithmes est à regrouper, ou un logarithme de produit est à développer.
- On étudie la croissance lente d’une grandeur : magnitude, décibels, pH.
La méthode
- Avec un logarithme népérien, déterminer d’abord le domaine : chaque argument de \(\ln\) doit être strictement positif.
- Regrouper en un seul logarithme avec les propriétés, de façon à obtenir \(\ln A=\ln B\).
- En déduire \(A=B\), puisque \(\ln\) est strictement croissante donc injective.
- Résoudre l’équation obtenue et rejeter les solutions qui sortent du domaine.
Logarithme népérien : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\ln(x-2)+\ln(x+1)=\ln 10\).
Corrigé
Le domaine impose \(x-2>0\) et \(x+1>0\), donc \(x>2\). L’équation devient \(\ln\big((x-2)(x+1)\big)=\ln 10\), soit \(x^2-x-2=10\), c’est-à-dire \(x^2-x-12=0\).
Le discriminant vaut \(1+48=49\) et les racines sont \(4\) et \(-3\). Seul \(4\) est dans le domaine : \(S=\{4\}\). Vérification : \(\ln 2+\ln 5=\ln 10\).
À toi de jouer
Question 1
Simplifier \(\ln 12-\ln 3\).
Voir la réponse
\(\ln\frac{12}{3}=\ln 4\), soit \(2\ln 2\).
Question 2
Résoudre \(e^{x}=5\).
Voir la réponse
En appliquant \(\ln\) aux deux membres, \(x=\ln 5\approx 1{,}61\).
Ne pas confondre Logarithme népérien et Fonction exponentielle
Le logarithme et l’exponentielle sont réciproques : l’un défait l’autre. L’exponentielle est définie sur tous les réels et donne des valeurs strictement positives ; le logarithme n’accepte que des nombres strictement positifs et peut donner n’importe quel réel.
Pour aller plus loin
Cours
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