Dérivée
En bref : La dérivée d’une fonction f, notée f′, associe à chaque x la pente de la tangente à sa courbe en ce point ; positive, elle annonce que f monte, négative que f descend.
PremièreFonctions
Définition : Dérivée
Pour mesurer la raideur d’une courbe en chaque point, on construit la dérivée de \(f\), une nouvelle fonction notée \(f^{\prime}\). Sa valeur en \(x\) est le nombre dérivé : la pente de la droite qui effleure la courbe au point d’abscisse \(x\).
On la calcule avec des règles : \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\), la dérivée d’une constante est nulle, celle de \(ax+b\) est \(a\), et la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Le lien avec les variations est la clé de l’étude : là où \(f^{\prime}(x)>0\), la fonction est croissante ; là où \(f^{\prime}(x)<0\), elle est décroissante ; et une tangente horizontale apparaît où \(f^{\prime}(x)=0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande l’équation d’une tangente ou sa pente en un point donné de la courbe.
- On doit étudier les variations d’une fonction polynôme sans en tracer la courbe.
- Un problème d’optimisation cherche le maximum d’un bénéfice ou le minimum d’un coût.
- Il est question d’une vitesse instantanée ou d’un taux de variation lorsque l’intervalle devient très petit.
La méthode
- Calculer la dérivée terme par terme avec les formules usuelles, puis réduire ou factoriser le résultat.
- Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) dans un tableau de signes, en cherchant les valeurs qui l’annulent.
- Traduire le signe en variations : \(f^{\prime}\) positive donne \(f\) croissante, négative donne décroissante.
- Calculer les images aux valeurs où le sens change pour obtenir les extrema et compléter le tableau de variation.
Dérivée : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\). Calculer \(f^{\prime}(x)\), la factoriser, puis dresser les variations de \(f\).
Corrigé
On dérive terme à terme : \(f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Cette dérivée s’annule en \(1\) et en \(3\) et, d’après le signe d’un trinôme, elle est positive à l’extérieur des racines, négative entre elles.
Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\), puis croissante sur \([3\,;\,+\infty[\). Les images sont \(f(1)=6\) et \(f(3)=2\) : un maximum local et un minimum local.
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(g^{\prime}(x)\) pour \(g(x)=5x^2-4x+1\), puis \(g^{\prime}(2)\).
Voir la réponse
\(g^{\prime}(x)=10x-4\), donc \(g^{\prime}(2)=20-4=16\).
Question 2
Quelle est la pente de la tangente à la courbe de \(f(x)=x^2\) au point d’abscisse \(-1{,}5\) ?
Voir la réponse
\(f^{\prime}(x)=2x\), donc \(f^{\prime}(-1{,}5)=-3\) : la tangente est descendante.
Ne pas confondre Dérivée et Nombre dérivé
Le nombre dérivé \(f^{\prime}(a)\) est une valeur unique : la pente de la tangente au point d’abscisse \(a\). La dérivée est la fonction qui fournit ce nombre pour toutes les valeurs de \(x\) à la fois. On calcule d’abord la dérivée, puis on l’évalue en \(a\) pour obtenir le nombre dérivé.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Nombre dérivé
- Tangente à une courbe
- Taux de variation
- Variations d'une fonction
- Fonction polynôme
- Extremum
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