Nombre dérivé
En bref : Le nombre dérivé d’une fonction en un réel a est la limite du taux d’accroissement entre a et a+h quand h tend vers 0 ; il donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.
PremièreFonctions
Définition : Nombre dérivé
Le nombre dérivé mesure la vitesse à laquelle une fonction varie à un endroit précis de sa courbe, comme le compteur d’une voiture indique la vitesse à un instant donné.
Pour une fonction \(f\) définie autour de \(a\), on forme le taux d’accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) avec \(h\neq 0\). Si ce quotient se rapproche d’un réel unique quand \(h\) devient très petit, ce réel est noté \(f^{\prime}(a)\) et la fonction est dite dérivable en \(a\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande la pente de la tangente à une courbe en un point d’abscisse donnée.
- On parle de vitesse instantanée, de coût marginal ou de variation « à l’instant précis » plutôt que de variation moyenne.
- Une expression de la forme \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) apparaît avec \(h\) qui tend vers \(0\).
- On veut l’équation d’une tangente : le coefficient directeur est justement ce nombre.
La méthode
- Calculer \(f(a)\), puis \(f(a+h)\) en développant soigneusement.
- Former le taux d’accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) et simplifier par \(h\).
- Faire tendre \(h\) vers \(0\) dans l’expression simplifiée : la valeur obtenue est \(f^{\prime}(a)\).
- Interpréter : c’est le coefficient directeur de la tangente en \(A(a\,;\,f(a))\), d’équation \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\).
Nombre dérivé : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=x^2+3x\). Calculer le nombre dérivé de \(f\) en \(2\), puis donner l’équation de la tangente en ce point.
Corrigé
On a \(f(2)=4+6=10\) et \(f(2+h)=(2+h)^2+3(2+h)=10+7h+h^2\). Le taux d’accroissement vaut donc \(\frac{10+7h+h^2-10}{h}=\frac{7h+h^2}{h}=7+h\).
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(7+h\) tend vers \(7\) : \(f^{\prime}(2)=7\). La tangente est \(y=7(x-2)+10\), soit \(y=7x-4\).
À toi de jouer
Question 1
Pour \(g(x)=x^2\), simplifier le taux d’accroissement entre \(4\) et \(4+h\), puis donner \(g^{\prime}(4)\).
Voir la réponse
\(\frac{(4+h)^2-16}{h}=\frac{8h+h^2}{h}=8+h\), qui tend vers \(8\) : \(g^{\prime}(4)=8\).
Question 2
Une tangente en un point a pour équation \(y=-3x+11\). Que vaut le nombre dérivé en ce point ?
Voir la réponse
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, donc \(-3\) : la courbe y est décroissante.
Ne pas confondre Nombre dérivé et Taux de variation
Le taux de variation (ou d’accroissement) se calcule entre deux points distincts de la courbe : c’est la pente d’une sécante. Le nombre dérivé en est la limite quand le second point se rapproche du premier : c’est la pente de la tangente. Le premier est une moyenne, le second une variation instantanée.
Pour aller plus loin
Cours
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