Taux de variation
En bref : Le taux de variation d’une fonction entre a et b est le quotient (f(b) – f(a)) / (b – a) ; il mesure la variation moyenne de f et correspond à la pente de la sécante.
PremièreFonctions
Définition : Taux de variation
Le taux de variation d’une fonction \(f\) entre deux valeurs distinctes \(a\) et \(b\) compare la variation des images à la variation des abscisses.
Il se calcule par \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). C’est le coefficient directeur de la droite qui joint les points \(A(a\,;\,f(a))\) et \(B(b\,;\,f(b))\) de la courbe. Il exprime combien la fonction varie en moyenne pour une unité de \(x\), et son signe dit si elle monte ou descend sur l’intervalle.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande une « variation moyenne » : vitesse moyenne, hausse moyenne par mois, coût moyen par pièce supplémentaire.
- Deux valeurs de la variable, \(a\) et \(b\), sont données avec leurs images.
- On demande la pente de la droite qui joint deux points d’une courbe.
- Le calcul prépare le passage à la limite pour définir le nombre dérivé.
La méthode
- Calculer les deux images \(f(a)\) et \(f(b)\).
- Faire la différence des images \(f(b)-f(a)\), puis celle des abscisses \(b-a\), dans le même ordre.
- Diviser la première par la seconde et simplifier.
- Interpréter le résultat avec l’unité : il se mesure en unités de \(f\) par unité de \(x\).
Taux de variation : exemple corrigé
Énoncé
Un atelier de céramique estime son bénéfice, en centaines d’euros, par \(B(x)=-x^2+14x\), où \(x\) est le nombre de fournées par semaine. Calculer le taux de variation de \(B\) entre \(x=3\) et \(x=8\).
Corrigé
\(B(3)=-9+42=33\) et \(B(8)=-64+112=48\).
Le taux vaut \(\frac{48-33}{8-3}=\frac{15}{5}=\) \(3\) : entre \(3\) et \(8\) fournées, le bénéfice augmente en moyenne de \(3\) centaines d’euros par fournée supplémentaire.
À toi de jouer
Question 1
Calculer le taux de variation de \(f(x)=x^2-3x\) entre \(1\) et \(4\).
Voir la réponse
\(f(1)=-2\) et \(f(4)=4\) : \(\frac{4-(-2)}{4-1}=\frac{6}{3}=2\).
Question 2
Une fonction passe de \(f(2)=9\) à \(f(6)=1\). Que dire de son taux de variation ?
Voir la réponse
\(\frac{1-9}{6-2}=-2\) : il est négatif, la fonction baisse en moyenne de \(2\) par unité.
Ne pas confondre Taux de variation et Nombre dérivé
Le taux de variation décrit une évolution moyenne sur un intervalle : il dépend de deux points \(a\) et \(b\). Le nombre dérivé décrit l’évolution en un seul point, obtenue en rapprochant \(b\) de \(a\). Le premier est la pente d’une sécante, le second celle d’une tangente.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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