Cours sur la dérivée d’une fonction en première S avec son signe et les variations d’une fonction en première s ainsi que les propriétés.
On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de et
sa courbe représentative.
I.Nombre dérivé et tangente à une courbe
Définition : accroissement moyen.
On considère deux réels distincts et
appartenant à I.
On appelle accroissement moyen de f entre et
la quantité suivante :
En notant et
avec h>0, on obtient :
.
Définition : nombre dérivé.
Si, lorsque h se rapproche de zéro, se rapproche d’un réel
, alors :
On dit que la fonction f est dérivable en a.
Le réel est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note
.
On écrit alors :
.
Définition : tangente à une courbe.
Soient A et M deux points distincts d’une courbe.
Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)
lorsque M se rapproche de A
Propriété : coefficient directeur de la tangente.
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
au point d’abscisse
.
Propriété : équation réduite de la tangente.
Soit f une fonction dérivable en de courbe représentative
.
L’équation réduite de la tangente à en
est donnée par la formule suivante :
.
II.La dérivée d’une fonction
Définition :
Si, pour tout réel existe, on dit que f est dérivable en I.
On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par .
Propriété : dérivées des fonctions usuelles.
Propriété : dérivée d’une somme ou produit.
Soient et
deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.
Soient et
deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que
ne s’annule pas sur I.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
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