Dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de et
sa courbe représentative.
I.Nombre dérivé et tangente à une courbe
On considère deux réels distincts et
appartenant à I.On appelle accroissement moyen de f entre
et
la quantité suivante :
En notant et
avec h>0, on obtient :
.
Si, lorsque h se rapproche de zéro, se rapproche d’un réel
, alors :On dit que la fonction f est dérivable en a.
Le réel est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note
.
On écrit alors :
.
Soient A et M deux points distincts d’une courbe.Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)
lorsque M se rapproche de A
Soit f une fonction dérivable en de courbe représentative
.L’équation réduite de la tangente à
en
est donnée par la formule suivante :
.
II.La dérivée d’une fonction
Si, pour tout réel existe, on dit que f est dérivable en I.On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par
.
Soient et
deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
Soient et
deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que
ne s’annule pas sur I.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
- La fonction
est dérivable sur I et on a
.
Autre version de cette leçon
I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction
f est une fonction définie sur un intervalle I.
La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal .
M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives et
où
.
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si .
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:
On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si aI.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel xI et proche de a, on ait:
On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.
II. Fonction dérivable sur un intervalle I
On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I
Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »
Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par
( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).
Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: .
Historiquement, la notation est due à Newton et la notation différentielle
provient de Leibniz.
III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).On a donc:
Ceci donne:
ou
.
Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:
Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: .
Elle s’écrit aussi: , c’est à dire:
.
Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h (h) avec
.
On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a: f(a+h) f(a) + h f ‘(a).
On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine est une approximation de la fonction .
On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.
VI. Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction
1.Rappels sur la dérivée des fonctions usuelles
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ],
· Si, pour tout x] a ; b [, on a: f ‘(x)
0, alors f est croissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x] a ; b [, on a: f ‘(x)
0, alors f est décroissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x] a ; b [, on a: f ‘(x) = 0, alors f est constante sur [ a ; b ].
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,
· Si, pour tout xI, on a: f ‘(x) > 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ‘(x) = 0 ),
alors f est strictement croissante sur I.
· Si, pour tout xI, on a: f ‘(x) < 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ‘(x) = 0 ),
alors f est strictement décroissante sur I.
Notons deux cas particuliers utiles:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ],
· Si, pour tout x ] a ; b [, on a f ‘(x) > 0 , alors f est strictement croissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x ] a ; b [, on a f ‘(x) < 0 , alors f est strictement décroissante sur [ a ; b ].
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2. f est dérivable sur
avec f ‘(x) = 2x.
· Pour tout x ]-
; 0 ], on a f ‘(x) £ 0, donc f est décroissante sur ]-
; 0 ].
· Pour tout x [ 0 ; +
[, on a f ‘(x) ³ 0, donc f est croissante sur [ 0 ; +
[.
· Pour tout x ]-
; 0 [, on a f ‘(x) < 0, donc f est strictement décroissante sur ]-¥ ; 0 ].
· Pour tout x ]0 ; +
[, on a f ‘(x) > 0, donc f est strictement croissante sur [ 0 ; +
[.
2) Soit la fonction f définie sur par f(x) = x3. f est dérivable sur
avec f ‘(x) = 3x2.
· Pour tout x
, on a f ‘(x) ³ 0, donc f est croissante sur
.
· Pour tout x ]-
; 0 [ È ]0 ; +
[, on a f ‘(x) > 0, donc f est strictement croissante sur
.
3) Soit la fonction f définie sur par f(x) = 2. f est dérivable sur
avec f ‘(x) = 0.
· Pour tout x
, on a f ‘(x) = 0, donc f est constante sur
.
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un maximum local (ou un minimum local) en x = a différent des extrémités de l’intervalle I, alors: f ‘(a) = 0.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si aI et a différent des extrémités de I.
Si f ‘(x) s’annule pour x = a en changeant de signe.
Alors f(a) est un extremum local de f sur I.
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2. f est dérivable sur
avec f ‘(x) = 2x.
f ‘(x) s’annule en x = 0 en changeant de signe, donc f(0) = 0 est un extremum local de f.
Cet extremum est en réalité un minimum, car f est strictement décroissante sur ]- ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +
[. Ceci peut se résumer dans un tableau de variation.
2) Soit la fonction f définie sur par f(x) = x3. f est dérivable sur
avec f ‘(x) = 3x2.
f ‘(x) s’annule en x = 0 sans changer de signe, il n’y a donc pas d’extremum en x = 0.
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