Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF

Sommaire

1 I.Nombre dérivé et tangente à une courbe
2 II.La dérivée d’une fonction

Cours sur la dérivée d’une fonction en première avec son signe et les variations d’une fonction en 1ère ainsi que les propriétés.

On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et sa courbe représentative.

I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

Définition : accroissement moyen.

On considère deux réels distincts

appartenant à I.On appelle accroissement moyen de f entre

la quantité suivante :

$\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(x_1;x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

En notant x_1=a et x_2=a+h avec h>0, on obtient :

$\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Définition : nombre dérivé.

Si, lorsque h se rapproche de zéro, $\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(a)$ se rapproche d’un réel

, alors :On dit que la fonction f est dérivable en a.

Le réel est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note f'(a) .

On écrit alors :

$\lim_{h\to,0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$ .

Définition : tangente à une courbe.

Soient A et M deux points distincts d’une courbe.Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)

lorsque M se rapproche de A

Propriété : coefficient directeur de la tangente.

Le nombre dérivé

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe

au point d’abscisse

Propriété : équation réduite de la tangente.

Soit f une fonction dérivable en

de courbe représentative

.L’équation réduite de la tangente à

est donnée par la formule suivante :

II.La dérivée d’une fonction

Définition :

Si, pour tout réel $a\in,I,,f'(a)$ existe, on dit que f est dérivable en I.On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par $f':x,\mapsto ,f'(x)$ .

Propriété : dérivées des fonctions usuelles.

Propriété : dérivée d’une somme ou produit.

Soient

deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.

La fonction $u+v:x,\mapsto ,u(x)+v(x)$ est dérivable sur I et on a .
La fonction $ku:x,\mapsto ,k\times ,u(x)$ est dérivable sur I et on a $(ku)'=k\times ,u'$ .
La fonction $uv:x,\mapsto ,u(x)\times ,v(x)$ est dérivable sur I et on a .

Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.

Soient

deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que

ne s’annule pas sur I.

La fonction $\frac{1}{u}:x,\mapsto ,\frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur I et on a $(,\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}$ .
La fonction $\frac{u}{v}:x,\mapsto ,\frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur I et on a $(,\frac{u}{v})'=,\frac{u'v-uv'}{v^2}$ .

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Le nombre d'exercices par niveau :

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Il y a 305 exercices en CM2.
Il y a 541 exercices en sixième et 14 cours en 6ème.
Il y a 437 exercices en cinquième et 11 cours en 5ème.
Il y a 451 exercices en quatrième et 11 cours en 4ème.
Il y a 639 exercices en troisième et 11 cours en 3ème.
Il y a 443 exercices en seconde et 15 cours en 2de.
Il y a 384 exercices en première et 8 cours en 1ère.
Il y a 469 exercices en terminale et 8 cours en terminale.

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