On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de et sa courbe représentative.
I.Nombre dérivé et tangente à une courbe
On considère deux réels distincts et appartenant à I.On appelle accroissement moyen de f entre et la quantité suivante :
En notant et avec h>0, on obtient :
.
Si, lorsque h se rapproche de zéro, se rapproche d’un réel , alors :On dit que la fonction f est dérivable en a.
Le réel est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note .
On écrit alors :
.
Soient A et M deux points distincts d’une courbe.Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)
lorsque M se rapproche de A
Soit f une fonction dérivable en de courbe représentative .L’équation réduite de la tangente à en est donnée par la formule suivante :
.
II.La dérivée d’une fonction
Si, pour tout réel existe, on dit que f est dérivable en I.On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par .
Soient et deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.
- La fonction est dérivable sur I et on a .
- La fonction est dérivable sur I et on a .
- La fonction est dérivable sur I et on a .
Soient et deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que ne s’annule pas sur I.
- La fonction est dérivable sur I et on a .
- La fonction est dérivable sur I et on a .
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