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Dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur la dérivée d’une fonction en première S avec son signe et les variations d’une fonction en première s ainsi que les propriétés.

On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et C_fsa courbe représentative.

I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

Définition : accroissement moyen.

On considère deux réels distincts x_1 et x_2  appartenant à I.

On appelle accroissement moyen de f entre x_1 et x_2  la quantité suivante :

\frac{\Delta f}{\Delta x}(x_1;x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

En notant x_1=a et x_2=a+h avec h>0, on obtient :

\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Définition : nombre dérivé.

Si, lorsque h  se rapproche de zéro, \frac{\Delta f}{\Delta x}(a) se rapproche d’un réel l, alors :

On dit que la fonction f est dérivable en a.

Le réel l est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note f'(a).

On écrit alors :

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a).

Définition : tangente à une courbe.

Soient A et M deux points distincts d’une courbe.

Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)

lorsque M se rapproche de A

Propriété : coefficient directeur de la tangente.

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_f au point d’abscisse a.

taux d'accroissement tangente

Propriété : équation réduite de la tangente.

Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentative C_f.

L’équation réduite de la tangente à C_f en a est donnée par la formule suivante :

y=f'(a)(x-a)+f(a).

II.La dérivée d’une fonction

Définition :

Si, pour tout réel a\in I, f'(a) existe, on dit que f est dérivable en I.

On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par f':x \mapsto   f'(x).

Propriété : dérivées des fonctions usuelles.

dérivée fonctions usuelles

Propriété : dérivée d’une somme ou produit.

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.

  • La fonction u+v:x \mapsto   u(x)+v(x) est dérivable sur I et on a (u+v)'=u'+v'.
  • La fonction ku:x \mapsto   k\times   u(x) est dérivable sur I et on a (ku)'=k\times   u'.
  • La fonction uv:x \mapsto   u(x)\times   v(x) est dérivable sur I et on a (u v)'=u'v+uv'.

Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que v ne s’annule pas sur I.

  • La fonction \frac{1}{u}:x \mapsto   \frac{1}{u(x)} est dérivable sur I et on a ( \frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}.
  • La fonction \frac{u}{v}:x \mapsto   \frac{u(x)}{v(x)} est dérivable sur I et on a ( \frac{u}{v})'= \frac{u'v-uv'}{v^2}.

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