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Sommaire

La dérivée d’une fonction à travers un cours de maths en 2de avec son signe et les variations d’une fonction en 1ère ainsi que les propriétés. L’élève devra connaître les formulés de dérivation et déterminer sur quel ensemble la fonction est dérivable Étudier le taux d’accroissement et le nombre dérivé afin de déterminer le sens de variation. Il devra, également, établir le tableau de signe et de variation afin de trouver sur quels intervalles elle est croissante ou décroissante.

À retenir : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux d’accroissement $\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0 ; c’est le coefficient directeur de la tangente en $a$. Par exemple $(x^2)’ = 2x$, donc la tangente à la parabole en 3 a pour pente 6. Si $f’$ est positive sur un intervalle, $f$ y est croissante.

Aussi, on considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R} – Dérivée$ et sa courbe représentative.

I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

Enfin, Définition : accroissement moyen.

Également, on considère deux réels distincts et appartenant à I.On appelle accroissement moyen de f entre et la quantité suivante :

$\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(x_1;x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} – Dérivée$

En notant et avec h>0, on obtient :

$\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h} – Dérivée$ .

Donc, Exemple :

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j}) – Dérivée$ .

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives $a\in\,I – Dérivée$ et $x\,=\,a\,+\,h\,\in\,I – Dérivée$ où $h\in\,\mathbb{R}^* – Dérivée$ .

Également, Définition : nombre dérivé.

Si, lorsque h se rapproche de zéro, $\frac{\Delta,f}{\Delta,x}(a) – Dérivée$ se rapproche d’un réel , alors :On dit que la fonction f est dérivable en a.

Le réel est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note .

On écrit alors :

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) – Dérivée$ .

Enfin, Définition : tangente à une courbe.

Soient A et M deux points distincts d’une courbe.Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)

lorsque M se rapproche de A

Enfin, Propriété : coefficient directeur de la tangente.

Donc, le nombre dérivé

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe

au point d’abscisse

Donc, Propriété : équation réduite de la tangente.

Soit f une fonction dérivable en de courbe représentative .L’équation réduite de la tangente à en est donnée par la formule suivante :

II.La dérivée d’une fonction

Donc, Définition :

Si, pour tout réel $a\in I,f'(a) – Dérivée$ existe, on dit que f est dérivable en I.On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par $f':x\mapsto f'(x) – Dérivée$ .

Aussi, Propriété : dérivées des fonctions usuelles.

Propriété : dérivée d’une somme ou produit.

Soient et deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.

La fonction $u+v:x\mapsto u(x)+v(x) – Dérivée$ est dérivable sur I et on a .
La fonction $ku:x\mapsto k\times u(x)$ est dérivable sur I et on a $(ku)'=k\times u'$ .
La fonction $uv:x\mapsto u(x)\times v(x)$ est dérivable sur I et on a .

Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.

Soient et deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que ne s’annule pas sur I.

La fonction $\frac{1}{u}:x\mapsto \frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur I et on a $(\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}$ .
La fonction $\frac{u}{v}:x\mapsto \frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur I et on a $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ .

III. Les formules de dérivation

IV. Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

1.Rappels sur la dérivée des fonctions usuelles

2.Rappels sur les formules de dérivation

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ],
· Si, pour tout x

] a ; b [, on a: f ‘(x)

0, alors f est croissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x

] a ; b [, on a: f ‘(x)

0, alors f est décroissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x

] a ; b [, on a: f ‘(x) = 0, alors f est constante sur [ a ; b ].

Théorème :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,
· Si, pour tout x

I, on a: f ‘(x) > 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ‘(x) = 0 ),
alors f est strictement croissante sur I.
· Si, pour tout x

I, on a: f ‘(x) < 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ‘(x) = 0 ),
alors f est strictement décroissante sur I.

2.Rappels sur les formules de dérivation (suite)

Notons deux cas particuliers utiles:

Propriété :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ],
· Si, pour tout x

] a ; b [, on a f ‘(x) > 0 , alors f est strictement croissante sur [ a ; b ].
· Si, pour tout x

] a ; b [, on a f ‘(x) < 0 , alors f est strictement décroissante sur [ a ; b ].

Exemples:

1) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x². f est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec f ‘(x) = 2x.
· Pour tout x $\in$ ]- $\infty$ ; 0 ], on a f ‘(x) £ 0, donc f est décroissante sur ]- $\infty$ ; 0 ].
· Pour tout x $\in$ [ 0 ; + $\infty$ [, on a f ‘(x) ³ 0, donc f est croissante sur [ 0 ; + $\infty$ [.
· Pour tout x $\in$ ]- $\infty$ ; 0 [, on a f ‘(x) < 0, donc f est strictement décroissante sur ]-¥ ; 0 ].
· Pour tout x $\in$ ]0 ; + $\infty$ [, on a f ‘(x) > 0, donc f est strictement croissante sur [ 0 ; + $\infty$ [.

2) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x³. f est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec f ‘(x) = 3x².
· Pour tout x $\in$ $\mathbb{R}$ , on a f ‘(x) ³ 0, donc f est croissante sur $\mathbb{R}$ .
· Pour tout x $\in$ ]- $\infty$ ; 0 [ È ]0 ; + $\infty$ [, on a f ‘(x) > 0, donc f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

3) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = 2. f est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec f ‘(x) = 0.
· Pour tout x $\in$ $\mathbb{R}$ , on a f ‘(x) = 0, donc f est constante sur $\mathbb{R}$ .

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème :

2.Rappels sur les formules de dérivation (suite)

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un maximum local (ou un minimum local) en x = a différent des extrémités de l’intervalle I, alors: f ‘(a) = 0.

Théorème :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si a

I et a différent des extrémités de I.
Si f ‘(x) s’annule pour x = a en changeant de signe.
Alors f(a) est un extremum local de f sur I.

Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x². f est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec f ‘(x) = 2x.
f ‘(x) s’annule en x = 0 en changeant de signe, donc f(0) = 0 est un extremum local de f.
Cet extremum est en réalité un minimum, car f est strictement décroissante sur ]- $\infty$ ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; + $\infty$ [. Ceci peut se résumer dans un tableau de variation.
2) Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x³. f est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec f ‘(x) = 3x².
f ‘(x) s’annule en x = 0 sans changer de signe, il n’y a donc pas d’extremum en x = 0.

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Fonction (mathématiques) (Wikipédia).

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I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

II.La dérivée d’une fonction

III. Les formules de dérivation

IV. Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

1.Rappels sur la dérivée des fonctions usuelles

2.Rappels sur les formules de dérivation

2.Rappels sur les formules de dérivation (suite)

2.Rappels sur les formules de dérivation (suite)

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