Dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur la dérivée d’une fonction en première S avec son signe et les variations d’une fonction en première s ainsi que les propriétés.

On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa courbe représentative.

Sommaire

I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

Définition : accroissement moyen.

On considère deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ appartenant à I.

On appelle accroissement moyen de f entre $x_1$ et $x_2$ la quantité suivante :

$\frac{\Delta f}{\Delta x}(x_1;x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

En notant $x_1=a$ et $x_2=a+h$ avec h>0, on obtient :

$\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Définition : nombre dérivé.

Si, lorsque h se rapproche de zéro, $\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)$ se rapproche d’un réel $l$ , alors :

On dit que la fonction f est dérivable en a.

Le réel $l$ est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note $f'(a)$ .

On écrit alors :

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$ .

Définition : tangente à une courbe.

Soient A et M deux points distincts d’une courbe.

Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)

lorsque M se rapproche de A

Propriété : coefficient directeur de la tangente.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ .

Propriété : équation réduite de la tangente.

Soit f une fonction dérivable en $a$ de courbe représentative $C_f$ .

L’équation réduite de la tangente à $C_f$ en $a$ est donnée par la formule suivante :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

II.La dérivée d’une fonction

Définition :

Si, pour tout réel $a\in I, f'(a)$ existe, on dit que f est dérivable en I.

On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par $f':x \mapsto f'(x)$ .

Propriété : dérivées des fonctions usuelles.

Propriété : dérivée d’une somme ou produit.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.

La fonction $u+v:x \mapsto u(x)+v(x)$ est dérivable sur I et on a $(u+v)'=u'+v'$ .
La fonction $ku:x \mapsto k\times u(x)$ est dérivable sur I et on a $(ku)'=k\times u'$ .
La fonction $uv:x \mapsto u(x)\times v(x)$ est dérivable sur I et on a $(u v)'=u'v+uv'$ .

Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que $v$ ne s’annule pas sur I.

La fonction $\frac{1}{u}:x \mapsto \frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur I et on a $( \frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}$ .
La fonction $\frac{u}{v}:x \mapsto \frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur I et on a $( \frac{u}{v})'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .

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