Les équations du second degré et discriminant : cours en 1ère S

Les équations du second de gré avec le discriminant dans un cours de maths en 1ère S avec les différentes formules pour résoudre l’équation.

Sommaire

I.Fonction polynôme du second degré

1.Généralités

Définition :

Toute fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a,b,c trois nombres réels tel que $a$ soit non nul est appelée fonction polynôme du second degré ou, simplement, trinôme.

2.Forme canonique

Théorème :

Tout fonction f du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a,b,c trois nombres réels tel que $a$ soit non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme $f(x)=a(x- \alpha )^2+\beta$ .

Cette forme est appelée la forme canonique du trinôme.

La courbe représentative de f est appelée la parabole et son équation est $y=ax^2+bx+c$ .

Exemple :

Déterminer la forme canonique de la fonction suivante :

$f(x)=2x^2-4x+8\\f(x)=2(x^2-2x+4)\\f(x)=2[(x-1)^2-1+4]\\f(x)=2[(x-1)^2+3]\\f(x)=2(x-1)^2+6$

Propriété :

Une parabole de sommet $S( \alpha , \beta )$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $x= \alpha$ .

3.Sens de variation d’une fonction

Propriété :

Soit f une fonction du second degré dont la forme canonique est $f(x)=a(x- \alpha )^2+\beta$ .

Le sens de variation de f dépend du signe du nombre a.

Vocabulaire :

Si a>0, f admet un minimum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en bas » ou par « f est convexe« .
Si a<0, f admet un maximum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en haut » ou par « f est concave« .

II.les équation du second degré et trinôme

1.Résolution d’équations du second degré

Définition : équation du second degré.

Une équation du second degré est une équation du type $ax^2+bx+c=0$ avec a,b,c trois nombres réels tel que $a$ soit non nul.

Définition : discriminant.

$\Delta =b^2-4ac$ est le discriminant du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ .

Vocabulaire :

On appelle racine du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ .

Les solutions de l’équation $f(x)=ax^2+bx+c=0$ sont appelées racines ou zéros de la fonction f.

Théorème :

Le nombre de solutions de l’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ dépend du signe de $\Delta$ .

2.Le signe du trinôme

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