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Les équations du second degré : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Les équations du second degré avec le discriminant dans un cours de maths en 1ère avec les différentes formules pour résoudre l’équation. L’élève devra savoir calculer la valeur du discriminant delta et déterminer la valeur des racines puis, devra être capable de tracer la parabole en première.

I. Fonction polynôme du second degré

1.Généralités

Définition :
Toute fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax^2+bx+c avec a,b,c trois nombres réels tel que a soit non nul est appelée fonction polynôme du second degré ou, simplement, trinôme.

2.Forme canonique

Théorème :

Tout fonction f du second degré définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax^2+bx+c avec a,b,c trois nombres réels tel que a soit non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme f(x)=a(x-,\alpha,)^2+\beta.Cette forme est appelée la forme canonique du trinôme.

La courbe représentative de f est appelée la parabole et son équation est y=ax^2+bx+c .

parabole

Exemple :

Déterminer la forme canonique de la fonction suivante :

f(x)=2x^2-4x+8\\f(x)=2(x^2-2x+4)\\f(x)=2[(x-1)^2-1+4]\\f(x)=2[(x-1)^2+3]\\f(x)=2(x-1)^2+6

Propriété :
Une parabole de sommet S(\,\alpha\,,\beta\,) est symétrique par rapport à la droite d’équation x=,\alpha.

3.Sens de variation d’une fonction

Propriété :

Soit f une fonction du second degré dont la forme canonique est f(x)=a(x-\,\alpha\,)^2+\beta.

Le sens de variation de f dépend du signe du nombre a.

sens variation fonction

Vocabulaire :

  • Si a>0, f admet un minimum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en bas » ou par « f est convexe« .
  • Si a<0, f admet un maximum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en haut » ou par « f est concave« .

parabole haut bas

II.les équation du second degré et trinôme

1.Résolution d’équations du second degré

Définition : équation du second degré.
Une équation du second degré est une équation du type  ax^2+bx+c=0 avec a,b,c trois nombres réels tel que a soit non nul.
Définition : discriminant.
\Delta,=b^2-4ac est le discriminant du trinôme du second degré ax^2+bx+c.

Vocabulaire :

On appelle racine du trinôme du second degré ax^2+bx+c les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0.

Les solutions de l’équation f(x)=ax^2+bx+c=0  sont appelées racines ou zéros de la fonction f.

Théorème :

Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax^2+bx+c=0  dépend du signe de \Delta.solutions équations second degr

2.Le signe du trinôme

signe trinôme

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