Fonctions usuelles : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

On considère la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(u(x)=x^2-1\).

Associer chacune des fonctions \(u\), \(-u\), \(u+2\) et \(-\dfrac{1}{4}u\) à sa courbe représentative.

On considère la courbe \(\mathscr{C}\) d^{\prime}équation \(y=\sqrt{x}\) dans un repère orthonormé \((\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\vec{j})\).

On note \(M(x\,;\,\sqrt{x})\) un point de \(\mathscr{C}\) et on considère le point \(A(2\,;\,0)\).

1. 1. Construire la figure avec un logiciel de géométrie dynamique.
   2. Déplacer \(M\). Pour quelle position de \(M\) la distance \(AM\) semble-t-elle minimale ?
2. Vérifier que \(AM=\sqrt{x^2-3x+4}\).
3. Déterminer la position de \(M\) telle que \(AM\) soit minimale.

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction \(f\).

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies, fausses, ou si l’on ne peut pas savoir.

1. \(f(0)\lt f(1)\)
2. \(f(-3)\lt f(4)\)
3. \(f(0)\gt f(5)\)
4. \(f(3)\lt f(5)\)
5. \(f(2)\gt f(-3)\)
6. \(f(3)\lt f(4)\)

Préciser le sens de variation des fonctions suivantes sur les intervalles proposés.

1. \(f : x \mapsto -2x+5\) sur \(\mathbb{R}\)
2. \(g : x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\)
3. \(h : x \mapsto 3x-7\) sur \(\mathbb{R}\)
4. \(l : x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\)

Dans chaque cas, comparer les deux nombres sans les calculer.

1. \(1{,}15^2\) et \(1{,}3^2\)
2. \((-2{,}05)^2\) et \((-1{,}99)^2\)
3. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+3}\)
4. \(-\dfrac{1}{0{,}8}\) et \(-\dfrac{1}{0{,}7}\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \(\dfrac{1}{x}=-2\)
2. \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{4}\)
3. \(\dfrac{-3}{x}=\dfrac{1}{5}\)

Dans chacun des cas suivants, donner un encadrement de \(\dfrac{1}{x}\).

1. \(2\le x\le 5\)
2. \(-4\lt x\lt-\dfrac{1}{2}\)
3. \(10^2\le x\le 10^4\)
4. \(-1\lt x\lt-10^{-2}\)

Résoudre les inéquations suivantes en s^{\prime}aidant du graphique.

1. \(x^2\gt 1\)
2. \(x^2\le 4\)
3. \(\dfrac{1}{x}\gt 2\)
4. \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{2}\)

Dans chaque cas, calculer l’image du nombre proposé par la fonction racine carrée.

1. \(49\)
2. \(100\)
3. \(\dfrac{4}{25}\)
4. \(10^8\)
5. \(4\times10^{-6}\)

Dans chaque cas, donner les antécédents éventuels du nombre proposé par la fonction racine carrée.

1. \(3\)
2. \(0\)
3. \(\sqrt{5}\)
4. \(-1\)
5. \(10^{-2}\)

Calculer.

1. \(|8|\)
2. \(|0|\)
3. \(|-2^2|\)
4. \(|6-2\pi|\)
5. \(|\sqrt{2}-1|\)

Donner la valeur absolue des nombres suivants.

1. \(-4\)
2. \((-3)^2\)
3. \(\sqrt{5}-3\)
4. \(1-\pi\)
5. \(2-\sqrt{2}\)
6. \((-1)^5\)

Résoudre les équations.

1. \(|x|=5\)
2. \(|x|=\sqrt{2}\)
3. \(|x|=-\pi\)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0\lt a\lt b\lt 3\). Compléter par \(\lt\) ou \(\gt\).

1. \(\sqrt{a}\ldots\sqrt{b}\)
2. \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ldots\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
3. \(|a|\ldots|b|\)
4. \(a^2\ldots b^2\)
5. \(\dfrac{1}{a^2}\ldots\dfrac{1}{b^2}\)
6. \(\dfrac{-4}{a^2}\ldots\dfrac{-4}{b^2}\)
7. \(\sqrt{a}-1\ldots\sqrt{b}-1\)
8. \(|a-3|\ldots|b-3|\)
9. \(|3-a|\ldots|3-b|\)
10. \(-2\,|a|\ldots-2\,|b|\)

Soit \(u\) une fonction croissante sur un intervalle \(I\). Donner le sens de variations des fonctions suivantes sur \(I\).

1. \(u-2\)
2. \(u+3\)
3. \(-3u\)
4. \(-7u\)
5. \(-2u+8\)
6. \(4u-1\)

Soit \(u\) une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle \(I\). Donner le sens de variations des fonctions suivantes sur \(I\).

1. \(\dfrac{1}{u}\)
2. \(-\dfrac{2}{u}\)
3. \(\sqrt{u}\)

Comparer sans calculatrice.

1. \(0{,}3\)\u00a0; \(\sqrt{0{,}3}\) et \(0{,}3^2\)
2. \(1{,}2\)\u00a0; \(\sqrt{1{,}2}\) et \(1{,}2^2\)

Dans chaque cas, déterminer un encadrement de \(\sqrt{x}\).

1. \(0\lt x\lt 4\)
2. \(0\le x\le 0{,}04\)
3. \(1\le x\lt 9\times10^6\)

Soit \(x\) un réel tel que \(0\le x\le 9\). Dans chacun des cas, déterminer un encadrement de :

1. \(\sqrt{x}-5\)
2. \(-2\sqrt{x}+1\)
3. \(\sqrt{10-x}\)
4. \(\sqrt{\sqrt{x}+1}\)
5. \(-\sqrt{x^2+19}\)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs.

1. On pose \(X=a^2+b^2\) et \(Y=(a+b)^2\). Comparer les réels \(X\) et \(Y\) en étudiant le signe de leur différence.
2. En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, démontrer que \(\sqrt{a^2+b^2}\le a+b\).

Résoudre les équations.

1. \(\sqrt{x}=4\)
2. \(\sqrt{x}=-2\)
3. \(\sqrt{-3x}=3\)
4. \(\sqrt{2x-5}=9\)

Résoudre les inéquations.

1. \(\sqrt{x}\gt 3\)
2. \(\sqrt{x}\le 10^2\)
3. \(\sqrt{x}\le -2\).

Résoudre les inéquations.

1. \(\sqrt{x^2}\lt 1\)
2. \(\sqrt{x-1}\le 2\)
3. \(\sqrt{x+2}\gt 3\).

Exprimer sans racine carrée au dénominateur.

1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
2. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\)
3. \(\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\)
4. \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)

1. On pose \(x=\sqrt{2}-1\).
   Sans utiliser de calculatrice, comparer \(x\), \(\sqrt{x}\) et \(x^2\).
2. On pose \(y=\sqrt{5}-1\).
   Sans utiliser de calculatrice, comparer \(y\), \(\sqrt{y}\) et \(y^2\).

Soit \(a\) un réel tel que \(1\le a\le 2\).

1. Comparer \(a-1\), \(\sqrt{a-1}\) et \((a-1)^2\).
2. Comparer \(2a-1\), \(\sqrt{2a-1}\) et \((2a-1)^2\).

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) respectivement par :

\(f(x)=x^2-3x-5\) et \(g(x)=-x^2+x+1\).

On note \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) leurs courbes représentatives.

1. Étudier le signe de \(f(x)-g(x)\).
2. En déduire la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

Étudier la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) représentatives des fonctions :

\(f : x \mapsto -3x^2+5x+2\)
\(g : x \mapsto -x+2\)

Étudier la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) représentatives des fonctions :

\(f : x \mapsto \dfrac{2-x}{x+1}\)
\(g : x \mapsto -\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}\)

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\,;\,2]\) par \(f(x)=\dfrac{1}{3}(2x+1)\) et \(g(x)=\sqrt{x}\).

1. Déterminer la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
2. Tracer les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) dans un repère orthonormé d^{\prime}unité 4\u00a0cm.

Calculer.

1. \(\left|10^{-5}-10^{-3}\right|\)
2. \(\left|9\times 10^{4}-10^{5}\right|\)
3. \(\left|-10^{-3}\right|\)
4. \(\left|\pi-4\right|\)
5. \(\left|-2-\sqrt{2}\right|\)
6. \(\left|10-3\pi\right|\)

Calculer la distance entre les réels \(a\) et \(b\) dans chacun des cas suivants.

1. \(a=7\) et \(b=-5\)
2. \(a=-3\) et \(b=-8\)
3. \(a=-5{,}1\) et \(b=2{,}3\)
4. \(a=\sqrt{2}\) et \(b=-\sqrt{8}\)
5. \(a=6\) et \(b=2\pi\)

Calculer.

\(A=|2{,}4-0{,}8|+|7{,}38+0{,}5|+|1{,}2-5{,}08|\)

\(B=\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\right|+\left|\dfrac{2}{3}-1\right|-\left|\dfrac{4}{3}-1\right|\)

Traduire les écritures suivantes par une phrase contenant le mot « distance ».

1. \(|x-8|=2\)
2. \(|x|\gt 1\)
3. \(|x+3|=4\)
4. \(|x-0{,}8|\leqslant 4\)

On considère l’algorithme suivant.

1. Variable : x réel
2. Entrée
3. Saisir x
4. Traitement
5. Si x − 3 ≥ 0
6.     Alors afficher x − 3
7.     Sinon afficher 3 − x
8. Fin Si

1. Faire fonctionner cet algorithme pour les valeurs de \(x\) suivantes : \(-8\) ; \(\dfrac{1}{3}\) ; \(0\) ; \(\pi\) et \(-3\).
2. Pour un nombre réel \(x\) quelconque, quel est le résultat affiché en sortie ?
3. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche en sortie l’image de \(x\), par la fonction : \(x\mapsto |-2x+5|\).

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction \(u\) définie sur l’intervalle \([-2\ ;\ 4]\).

Dresser le tableau de variations des fonctions \(f=u-2\) et \(g=u+3\) sur \([-2\ ;\ 4]\).

On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-1\ ;\ 5]\).

Reproduire le graphique et représenter les fonctions : \(f+2\) ; \(\dfrac{1}{2}f\) et \(-2f\).

On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}\) d^{\prime}une fonction \(u\), ainsi que quatre courbes représentant des fonctions du type \(u+k\) ou \(ku\).

Associer à chaque courbe \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) et \(C_4\) la fonction déduite de \(u\).

L’inéquation \(|x+2|\lt 5\) a pour ensemble de solutions :

1. \(\{-7\ ;\ 3\}\)
2. \(]-7\ ;\ 3[\)
3. \(]-\infty\ ;\ -7[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[\)
4. \(]-3\ ;\ 7[\)

Une forme factorisée de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=12-3(x+1)^2\) est :

1. \(3(3-x)(x+3)\)
2. \(3(3-x)(x+5)\)
3. \(3(5-x)(x+5)\)
4. \(-3(x-1)(x+3)\)

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-5-(x-1)^2\) est :

1. croissante sur \(]-\infty\ ;\ 1]\)
2. décroissante sur \(]-\infty\ ;\ 1]\)
3. croissante sur \(]-\infty\ ;\ -5]\)
4. décroissante sur \(]-\infty\ ;\ -5]\)

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2(5-x)(-x-1)\) est positive sur :

1. \(]-\infty\ ;\ 1]\cup[5\ ;\ +\infty[\)
2. \(]-\infty\ ;\ -1]\cup[5\ ;\ +\infty[\)
3. \([-1\ ;\ 5]\)
4. \([1\ ;\ 5]\)

La réunion d’intervalles \(]-\infty\ ;\ -3]\cup[5\ ;\ +\infty[\) est l^{\prime}ensemble des solutions de :

1. \(|x-1|\geqslant 4\)
2. \(|x-1|\leqslant 4\)
3. \(|1-x|\geqslant 4\)
4. \(|x+1|\leqslant 4\)

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x^2-4x+6\) admet pour expression :

1. \(-2(x+3)(x-1)\)
2. \(2(x+3)(1-x)\)
3. \(-2(x+1)^2+8\)
4. \(-2(x-1)^2+8\)

La courbe d’une fonction \(f : x\mapsto ax^2+bx+c\) est au-dessus de l^{\prime}axe des abscisses. Donc :

1. \(a\gt 0\)
2. \(a\lt 0\)
3. \(c\gt 0\)
4. \(c\lt 0\)

\(f\) et \(g\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=4x-1\) et \(g(x)=(x+5)^2-17\). Dans un repère orthonormé du plan,

1. \(C_f\) est en dessous de \(C_g\) sur \([-3\ ;\ +\infty[\).
2. \(C_g\) est en dessous de \(C_f\) sur \([-3\ ;\ +\infty[\).
3. \(C_f\) est en dessous de \(C_g\) sur \(]-\infty\ ;\ -3]\).
4. \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) sur \(]-\infty\ ;\ -3]\).

\(f\) est une fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb{R}\) dont la représentation graphique \(C_f\) passe par les points \((-5\ ;\ 0)\), \((0\ ;\ 15)\), \((3\ ;\ 0)\) et de sommet \(S(-1\ ;\ 16)\).

1. \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).
2. \(f\) admet pour expression \(f(x)=-x^2-2x+15\).
3. \(C_f\) coupe l^{\prime}axe des abscisses en \(x=15\).
4. \(f\) a pour expression \(f(x)=16-(x+1)^2\).

Sans utiliser la calculatrice, exprimer les nombres suivants sans le symbole valeur absolue.

1. \(|-5|\)
2. \(|1-\sqrt{3}|\)
3. \(|x-8|\) en distinguant les cas en fonction de \(x\).

Par la méthode de votre choix, résoudre les équations et inéquations suivantes.

1. \(|x|=-2\)
2. \(|x|\geqslant 3\)
3. \(3(x+1)^2-5=1\)
4. \(3(x+1)^2-1\geqslant 11\)

\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=7(x+1)^2-3\). Que peut-on dire sur cette fonction \(f\) et sur sa représentation graphique ?

\(f\), \(g\) et \(h\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-(x-2)(x+3)\), \(g(x)=3x^2+5x-1\) et \(h(x)=7(x-1)^2+2\).

1. Associer chaque courbe à sa fonction associée en expliquant la démarche.
2. Déterminer l^{\prime}ordonnée du point d^{\prime}intersection entre \(C_2\) et l’axe des ordonnées.

Voici trois fonctions polynômes du second degré.

\(f(x)=6(x-1)^2+1\)

\(g(x)=6(x+1)^2+1\)

\(h(x)=6(x+1)^2-1\)

Associer chaque courbe à sa fonction associée.

Résoudre les inéquations suivantes.

1. \(|x|\lt 2\)
2. \(3\leqslant|x|\leqslant 4\)
3. \(|x-3|\leqslant 5\)
4. \(|x+4|\gt 5\)

On considère un réel \(k\) quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d’obtenir les solutions éventuelles de l’équation \(|x|=k\) :

Définir Solution (k) :
  Si k < 0 alors :
    Retourner « … solution »
  Sinon
    Si … alors :
      Retourner 0
    Sinon m ← …
      n ← …
      Retourner m et n
    Fin Si
  Fin Si

1. Recopier et compléter l’algorithme.

2. a. Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur.

b. Tester l’algorithme avec : \(k=4\), \(k=0\) et \(k=-3\).

Le but de l’exercice est d’établir un lien entre \(|x|\times|y|\) et \(|xy|\), pour tous réels \(x\) et \(y\).

1. a. Choisir deux réels \(x\) et \(y\) quelconques.

b. Calculer \(|x|\times|y|\) et \(|xy|\).

c. Reproduire l’opération plusieurs fois pour établir une conjecture.

2. \(x\) et \(y\) sont maintenant des réels quelconques. Montrer la conjecture dans les quatre cas suivants :

1. \(x=0\) ou \(y=0\)
2. \(x\lt 0\) et \(y\lt 0\)
3. \(x\lt 0\) et \(y\gt 0\)
4. \(x\gt 0\) et \(y\gt 0\)

3. Conclure.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x^2-x\) et \(g(x)=\dfrac{2}{3}x\). On note respectivement \(C_f\) et \(C_g\) les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé.

1. a. Tracer, à l’aide d’une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\), notées respectivement \(C_f\) et \(C_g\).

b. Conjecturer alors les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes \(C_f\) et \(C_g\).

2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.

\(f\) est une fonction polynôme du second degré. Sans essayer de trouver l’expression de \(f\), compléter le tableau de valeurs suivant.

Voici la courbe représentative \(C\), dans un repère orthogonal, d’une fonction polynôme du second degré \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par les expressions suivantes :

• \(f(x)=ax^2+bx+c\) : forme développée ;
• \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) : forme factorisée ;
• \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) : forme canonique.

1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

a. Quel est le signe de \(a\) ?

b. Donner les valeurs de \(c\), \(x_1\), \(x_2\), \(\alpha\) et \(\beta\).

2. En déduire la valeur de \(a\).

\(f\) est une fonction polynôme définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\) dont voici le tableau de signes.

Dans chaque cas, préciser si l^{\prime}affirmation est vraie ou fausse. Justifier chacune de vos réponses.

Dans le cas où l^{\prime}affirmation est fausse, la rectifier pour que celle-ci soit vraie.

1. \(f(-10)\lt 0\)
2. \(f(-9)\geqslant f(1)\)
3. \(f(0)=2\)
4. \(a\lt 0\)
5. L’ensemble des solutions de l’équation \(f(x)=0\) est \(S=\{-8\ ;\ 2\}\).
6. L’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(x)\lt 0\) est \(S=[-8\ ;\ 2]\).

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3(x-1)\left(x-\dfrac{7}{3}\right)\).

\(C_f\) est la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé du plan.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a :

1. \(f(x)=3x^2-10x+7\).
2. \(f(x)=3\left(x-\dfrac{5}{3}\right)^2-\dfrac{4}{3}\).

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :

1. \(f(x)\leqslant 0\)
2. \(f(x)\gt 7\)
3. \(f(x)\leqslant 6\)

\(f\) et \(g\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x^2+4x+49\) et \(g(x)=x^2-2x+4\). \(C_f\) et \(C_g\) sont respectivement les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé du plan.

1. a. En remarquant que \(x^2-2x\) est le début d^{\prime}une identité remarquable, compléter les pointillés suivants :

Pour tous les réels \(x\), on a :

\(g(x)=(x-\ldots)^2-\ldots+4\) ;

\(g(x)=(x-\ldots)^2+\ldots\).

b. Déterminer les antécédents de 19 par \(g\).

2. a. Compléter les pointillés suivants. Pour tous les réels \(x\), on a :

\(-3x^2+6x+45=-3(\ldots-\ldots-\ldots)\)

\(=-3[(x-\ldots)^2-\ldots-\ldots]\)

En utilisant une identité remarquable, on obtient :

\(-3x^2+6x+45=-3(x-\ldots)(x+\ldots)\)

b. Étudier la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\).

3. Application : un jardinier doit faire le parterre suivant qui correspond aux courbes \(C_f\) et \(C_g\). L’unité est le mètre. Déterminer les dimensions AB et CD de ce parterre en s’aidant des informations du graphique.