Produit scalaire et géométrie repérée : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « produit scalaire et géométrie repérée », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet de synthèse réunit le produit scalaire et la géométrie repérée autour d’un seul triangle placé dans un repère orthonormé. Tu calcules d’abord ses angles, puis tu traces par le calcul ses hauteurs et ses médiatrices grâce à un vecteur normal.
Ensuite, tu obtiens l’orthocentre et le cercle circonscrit, avant de démontrer que trois points remarquables sont alignés. Enfin, le dernier exercice étudie l’ensemble des points qui voient un segment sous un angle droit. Ce contrôle convient à la fin du second trimestre, comme entraînement à l’épreuve anticipée, puisqu’il se fait sans calculatrice.
Ce qu’évalue le contrôle : produit scalaire et géométrie repérée
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Produit scalaire et Géométrie repérée (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées et en déduire la mesure ou le cosinus d’un angle
- Écrire l’équation d’une hauteur ou d’une médiatrice à l’aide d’un vecteur normal
- Déterminer l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit d’un triangle, puis l’équation de ce cercle
- Démontrer l’alignement de trois points grâce à la colinéarité de deux vecteurs
- Reconnaître l’ensemble des points M tels que MA · MB = 0
Avant de commencer le devoir
Tous les exercices utilisent le même triangle : recopie donc ses coordonnées en haut de ta copie et garde la figure sous les yeux pour contrôler chaque résultat. Pour une hauteur, le vecteur normal est le côté opposé ; pour une médiatrice, c’est le côté lui-même, et la droite passe par le milieu. Par ailleurs, vérifie chaque équation en y remplaçant un point connu, car une erreur de signe fausse toute la suite.
Le sujet du contrôle : produit scalaire et géométrie repérée
Exercice 1 – Les angles du triangle ABC (4 points)
Dans tout le sujet, le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère alors les points \(A(-3 \,;\, -1)\), \(B(5 \,;\, -1)\) et \(C(4 \,;\, 6)\), représentés ci-dessous.
- Calcule d’abord les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
- Calcule ensuite les longueurs \(AB\) et \(AC\). Déduis-en la mesure exacte de l’angle \(\widehat{BAC}\).
- Montre de plus que \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{3}{5}\).
- Sans calculer sa mesure, justifie que l’angle \(\widehat{ABC}\) est aigu.
Exercice 2 – Deux hauteurs et l’orthocentre (4 points)
Dans cet exercice, on note \(h_A\) la hauteur du triangle issue de \(A\) et \(h_C\) celle issue de \(C\).
- Explique pourquoi \(\overrightarrow{BC}\) est un vecteur normal à \(h_A\), puis montre que \(h_A\) a pour équation \(x – 7y – 4 = 0\).
- Donne ensuite une équation de \(h_C\). Aide : observe la direction du côté \([AB]\).
- Déduis-en alors les coordonnées de l’orthocentre \(H\), point d’intersection des hauteurs.
- Vérifie enfin par un produit scalaire que la droite \((BH)\) est perpendiculaire à \((AC)\).
Exercice 3 – Médiatrices et cercle circonscrit (4,5 points)
- Détermine d’abord une équation de la médiatrice du segment \([AB]\).
- Calcule ensuite les coordonnées du milieu de \([AC]\), puis montre que la médiatrice de \([AC]\) a pour équation \(x + y – 3 = 0\).
- Déduis-en les coordonnées du centre \(\Omega\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).
- Calcule enfin le rayon de ce cercle, puis écris son équation. Vérifie aussi que \(B\) et \(C\) lui appartiennent.
Exercice 4 – Trois points alignés (3,5 points)
On note \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\) : ses coordonnées sont les moyennes de celles des trois sommets.
- Calcule d’abord les coordonnées de \(G\).
- Avec les points \(\Omega\) et \(H\) trouvés plus haut, montre que \(\overrightarrow{\Omega H} = 3\,\overrightarrow{\Omega G}\).
- Conclus ensuite sur l’alignement des points \(\Omega\), \(G\) et \(H\), puis donne une équation cartésienne de la droite qui les porte.
Exercice 5 – Le cercle de diamètre [AB] (4 points)
Dans ce dernier exercice, on garde les points \(A(-3 \,;\, -1)\) et \(B(5 \,;\, -1)\). Sur la figure, les points \(P(1 \,;\, 3)\) et \(Q(4 \,;\, 2)\) sont reliés à \(A\) et à \(B\). On cherche ainsi l’ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M(x \,;\, y)\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
- Montre que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = x^2 + y^2 – 2x + 2y – 14\).
- Mets alors cette expression sous forme canonique. Déduis-en que \(\mathcal{E}\) est un cercle dont tu donneras le centre \(I\) et le rayon.
- Les triangles \(APB\) et \(AQB\) sont-ils rectangles, respectivement en \(P\) et en \(Q\) ? Justifie.
Réviser produit scalaire et géométrie repérée avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon produit scalaire dans le plan puis vecteurs, droites et plans ; entraîne-toi sur la fiche produit scalaire dans le plan et vecteurs et droites du plan avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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